4.4: Ecuaciones de movimiento de Lagrange

En la Sección 4.5 quiero derivar las ecuaciones de movimiento de Euler, que describen cómo cambian los componentes de velocidad angular de un cuerpo cuando un par actúa sobre él. Al derivar las ecuaciones de Euler, me parece conveniente hacer uso de las ecuaciones de movimiento de Lagrange. Esto no causará ninguna dificultad a nadie que ya esté familiarizado con la mecánica lagrangiana. Aquellos que no están familiarizados con la mecánica lagrangiana tal vez deseen entender qué es lo que están tratando las ecuaciones de Euler y tal vez deseen omitir su derivación en esta etapa. Más adelante en esta serie, espero agregar un capítulo más largo sobre la mecánica lagrangiana, cuando todo quedará claro (tal vez). Mientras tanto, para aquellos que no se contentan sólo con aceptar las ecuaciones de Euler sino que también deben entender su derivación, esta sección da un curso de cinco minutos en mecánica lagrangiana.

Para empezar, tengo que introducir la idea de coordenadas generalizadas y fuerzas generalizadas.

La descripción geométrica de un sistema mecánico en algún instante de tiempo se puede dar especificando un número de coordenadas. Por ejemplo, si el sistema consiste en una sola partícula, se podrían especificar sus coordenadas rectangulares\(xyz\) o sus coordenadas cilíndricas\( \rho\phi z\), o sus coordenadas esféricas\( r \theta \phi \). Ciertos teoremas a desarrollar serán igualmente aplicables a cualquiera de estos, por lo que podemos pensar en coordenadas generalizadas\( q_{1}q_{2}q_{3}\), lo que podría significar cualquiera de los conjuntos rectangulares, cilíndricos o esféricos.

En un sistema más complicado, por ejemplo una molécula poliatómica, podrías describir la geometría de la molécula en algún instante mediante un conjunto de distancias interatómicas más un conjunto de ángulos entre enlaces. Puede ser necesario un número bastante grande de distancias y ángulos. Estas distancias y ángulos se pueden llamar las coordenadas generalizadas. Observe que las coordenadas generalizadas no siempre necesitan ser de dimensión\( L\). Algunas coordenadas generalizadas, por ejemplo, pueden tener las dimensiones de ángulo.

[Véase el Apéndice de este Capítulo para una breve discusión sobre si el ángulo es una cantidad dimensionada o adimensional.]

Si bien las coordenadas generalizadas en un instante de tiempo describen la geometría de un sistema en un instante de tiempo, por sí solas no predicen el comportamiento futuro del sistema.

Ahora presento la idea de fuerzas generalizadas. Con cada una de las coordenadas generalizadas se asocia una fuerza generalizada. Con la coordenada generalizada\(q_i\) there is associated a corresponding generalized force \(P_i\). It is defined as follows. If, when the generalized coordinate \(q_i\) increases by \( \delta q_{i}\), the work done on the system is \( P_{i}\delta q_{i}\) then \(P_i\) is the generalized force associated with the generalized coordinate \(q_i\). For example, in our simple example of a single particle, if one of the generalized coordinates is merely the \(x\)-coordinate, the generalized force associated with \(x\) is the \(x\) -componente de la fuerza que actúa sobre la partícula.

Tenga en cuenta, sin embargo, que a menudo una de las coordenadas generalizadas podría ser un ángulo. En ese caso la fuerza generalizada asociada a ella es un par más que una fuerza. Es decir, una fuerza generalizada no necesita necesariamente tener las dimensiones MLT ^{- 2}.

Antes de continuar describiendo las ecuaciones de movimiento de Lagrange, recordemos cómo resolvemos problemas en la mecánica usando la ley del movimiento de Newton. Podemos tener una escalera apoyada contra una pared lisa y piso liso, o un cilindro rodando por una cuña, cuya hipotenusa es rugosa (para que el cilindro no se deslice) y cuya base lisa es libre de obedecer la tercera ley de movimiento de Newton sobre una mesa horizontal lisa, o cualquiera de una serie de similares problemas en la mecánica que nos visitan nuestros maestros. La forma en que resolvemos estos problemas es la siguiente. Dibujamos un diagrama grande usando un lápiz, regla y brújula. Entonces marcamos en rojo todas las fuerzas, y marcamos en verde todas las aceleraciones. Si el problema es un problema bidimensional, escribimos\( F = ma\) en dos direcciones cualesquiera; si se trata de un problema tridimensional, escribimos\( F = ma\) en tres direcciones cualquiera. Por lo general, esto es fácil y directo. A veces no parece ser tan fácil como parece, y podemos preferir resolver el problema por métodos lagrangianos.

Para ello, como antes, dibujamos un diagrama grande usando un lápiz, regla y brújula. Pero esta vez marcamos en azul todas las velocidades (incluidas las velocidades angulares).

Lagrange, en la Introducción a su libro La méchanique analytique (la ortografía francesa moderna omite la h) señaló que no había diagramas en absoluto en su libro, ya que toda la mecánica se podía hacer analíticamente —de ahí el título del libro. No todos nosotros, sin embargo, estamos tan dotados matemáticamente como Lagrange, y no podemos pasar por alto el paso de dibujar un diagrama grande, limpio y claro.

Habiendo dibujado en las velocidades (incluidas las velocidades angulares), ahora calculamos la energía cinética, que en textos avanzados a menudo se le da el símbolo\( T\), presumiblemente porque la energía potencial se escribe tradicionalmente\( U\) o\( V\). No habría daño si prefieres escribir\( E_{k}\),\( E_{p}\) y\( E\) para energía cinética, potencial y total. Voy a ceñirme a\( T\),\( U\) o\( V\), y\( E\).

Ahora, en lugar de escribir\( F = ma\), escribimos, para cada coordenada generalizada, la ecuación lagrangiana (cuya prueba espera un capítulo posterior):

\ begin {ecuación}\\ dfrac {d} {dt}\ izquierda (\ frac {\ T parcial} {\ parcial\ punto {q} _ _ {i}}\ derecha) -\ frac {\ T parcial} {\ parcial\ punto {q} _ _ {i}} = P_ {i}\ tag {4.4.1}\ etiqueta {eq:4.4.1}\ end {ecuación}

El único esfuerzo intelectual adicional de nuestra parte es determinar cuál es la fuerza generalizada asociada a esa coordenada. Aparte de eso, el procedimiento va de manera bastante automática. Lo usaremos en uso en la siguiente sección.

Eso termina nuestro curso de cinco minutos sobre mecánica lagrangiana.