15.4: La velocidad es relativa - El Postulado Fundamental de la Relatividad Especial

Estás sentado en un vagón de ferrocarril (o en un vagón de ferrocarril, si prefieres el término). Las ventanas y cortinas están cerradas y no se puede ver afuera. Se le pide que mida la velocidad constante del carruaje a lo largo de sus vías. Prueba una serie de experimentos. Se mide el periodo de un simple péndulo. Deslizas un disco y haces rodar una bola por un plano inclinado. Lanzas una pelota verticalmente hacia arriba en el aire y la atrapas a medida que baja. Lo vomitas en ángulo y lo ves describir una parábola agraciada. Haces que las bolas de billar choquen en la mesa de billar cuidadosamente provista en su carruaje. Experimentas con un péndulo de torsión. Te pones un lápiz en su extremo y lo miras mientras cae a una posición horizontal.

Todo tu trabajo cuidadoso es en ningún resultado. Ninguno de ellos te dice a qué velocidad te mueves, o incluso si te estás moviendo en absoluto. Después de agotar todos los experimentos mecánicos que se te ocurran, te llevan a la conclusión:

Es imposible determinar la velocidad de movimiento de un marco de referencia de movimiento uniforme por medio de cualquier experimento mecánico realizado dentro de ese marco.

Frustrado, abres una cortina a un lado del carruaje. Miras hacia afuera y ves que hay otro tren en la línea a tu lado. Parece estar moviéndose hacia atrás. ¿O te estás moviendo hacia adelante? ¿O ambos se mueven en la misma dirección pero a diferentes velocidades? Todavía no se puede decir.

Te mueves al otro lado del carruaje y abres ahí la cortina. Esta vez se ve la plataforma de la estación, y la plataforma de la estación se mueve hacia atrás. ¿O te estás moviendo hacia adelante? (Aquellos de ustedes que no han viajado mucho en tren pueden no apreciar lo fuerte que puede ser la impresión de que la plataforma se está moviendo). ¿Qué significa, de todas formas, decir que eres tú el que se mueve más que la plataforma?

La siguiente historia no es cierta, pero debería serlo. (Es una historia “apócrifa”.) Einstein viajaba en tren a través de Canadá. A mitad de camino a través de las praderas se inclinó y tocó la rodilla de su compañero de viaje y preguntó: “Disculpe, mein Herr, bitte, pero ¿Regina se detiene en este tren?”

Estás a punto de concluir que no es posible por ningún medio, ya sea por experimento o por observación, determinar la velocidad de tu marco de referencia, o incluso si es móvil o estacionario.

¡Pero no tan apresurado! Estoy a punto de inventar un velocímetro, que pretendo patentar y usar para hacerme rico. Voy a usar mi invento para medir la velocidad de nuestro tren — ¡sin siquiera mirar por la ventana!

Se instalarán dos largas varillas de vidrio paralelas en medio del corredor, paralelas a las líneas ferroviarias y a la velocidad del tren. Suspenderemos las varillas horizontalmente, lado a lado de un soporte común, y frotaremos cada una de ellas con un pañuelo de seda, para que cada una de ellas lleve una carga electrostática de\( \lambda Cm^{-1}\). Se repelerán entre sí con una fuerza electrostática por unidad de longitud de

\[ F_{e}=\frac{\lambda^{2}}{4\pi\epsilon_{0}r}Nm^{-1}, \label{15.4.1} \]

donde\( r\) esta su distancia entre si, y consecuentemente pasaran el rato fuera de la vertical — ver figura XV.4.

Ahora mira qué pasa cuando el tren avanza a velocidad\( \nu\). Cada varilla, que lleva una carga\( \lambda\) por unidad de longitud, ahora avanza a velocidad\( \nu\), y por lo tanto cada varilla constituye una corriente eléctrica\( \lambda\nu A\). Por lo tanto, por ley de Ampère, además de la repulsión de Coulomb, experimentarán una atracción magnética por unidad de longitud igual a

\[ F_{m}=\frac{\mu_{0}\lambda^{2}\nu^{2}}{4\pi r}Nm^{-1} \label{15.4.2} \]

La fuerza repulsiva neta por unidad de longitud es ahora

\[ \frac{\lambda^{2}}{4\pi\epsilon_{0}r^{2}}(1-\mu_{0}\epsilon_{0}\nu^{2}). \label{15.4.3} \]

Esto es un poco menos de lo que era cuando el tren estaba estacionario, por lo que el ángulo entre las cuerdas suspendidas es un poco menor, como se muestra en la figura XV.5. Cabe señalar que la fuerza entre las cuerdas se reduce a cero (y el ángulo también se convierte en cero) cuando el tren viaja a una velocidad\( \frac{1}{\sqrt{\mu_{0}\epsilon_{0}}}\). Recordamos de la teoría electromagnética que la permeabilidad del espacio libre es\( \mu_{0}=4\pi\)% 10 ^{- 7} H m ^{- 1} y que la permitividad\( \epsilon_{0}\) es 8.8542% 10 ^{- 12} F m ^{- 1}; consecuentemente la fuerza y el ángulo caen a cero y las cuerdas cuelgan verticalmente, cuando el tren se mueve a una velocidad de 2.998% 10 ⁸ m s ^{- 1}.

Para completar mi invención, ahora voy a adjuntar un prolongador al instrumento, pero en vez de marcar el trasportador en grados, voy a calibrarlo en millas por hora, y mi velocímetro ya está listo para su uso (figura XV.6).

Ahora tienes opción. O bien:

1. Puedes elegir creer que el velocímetro funcionará y me puedes acompañar a la oficina de patentes para ver si van a otorgar una patente para esta invención, que medirá la velocidad de un tren sin referencia alguna a ningún marco de referencia externo. Si eliges creer esto, no es necesario que leas el resto del capítulo sobre relatividad especial.

o

2. Se puede decir que desafía el sentido común creer que es posible determinar si un marco de referencia dado es móvil o estacionario, y mucho menos para determinar su velocidad. El sentido común dicta que

Es imposible determinar la velocidad de movimiento de un marco de referencia de movimiento uniforme por cualquier medio, ya sea por un medio mecánico o eléctrico o de hecho cualquier experimento realizado total o parcialmente dentro de ese marco, o incluso por referencia a otro marco.

Tu sentido común, entonces, te lleva —como debería— al principio fundamental de la relatividad especial. Mientras que algunas personas protestan que la relatividad “desafía el sentido común”, de hecho la relatividad es sentido común, y sus predicciones (como tu predicción de que mi velocímetro no funcionará) son exactamente lo que el sentido común te llevaría a esperar.