17.2: La molécula diatómica

Dos partículas, de masas\( m_{1}\) y\( m_{2}\) están conectadas por un resorte elástico de fuerza constante\( k\). ¿Cuál es el periodo de oscilación?

Supongamos que la separación en equilibrio de las masas —es decir, la longitud natural, sin estirar y sin comprimir del resorte— es\( a\). En algún momento supongamos que las\( x\) -coordenadas de las dos masas son\( x_{1}\) y\( x_{2}\). La extensión\( q\) del resorte desde su longitud natural en ese momento es\( q\ =\ x_{2}-x_{1}-a\). También supondremos que las velocidades de las dos masas en ese instante son\( \dot{x}_{1}\) y\( \dot{x}_{2}\). Sabemos por el Capítulo 13 cómo iniciar cualquier cálculo en mecánica lagrangiana. No tenemos que pensarlo. Siempre empezamos con\( T\) =... y\( V\) = ... :

\[ T=\frac{1}{2}m_{1}\dot{x}_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}\dot{x}_{2}^{2}, \label{17.2.1} \]

\[ V=\frac{1}{2}kq^{2}. \label{17.2.2} \]

Queremos poder expresar las ecuaciones en términos de la coordenada interna\( q\). \( V\)ya se expresa en términos de\( q\). Ahora necesitamos expresarnos\( T\) (y por lo tanto\( \dot{x}_{1}\) y\( \dot{x}_{2}\)) en términos de\( q\). Como\( q\ =\ x_{2}-x_{1}-a\) tenemos, por diferenciación con respecto al tiempo,

\[ \dot{q}=\dot{x}_{2}-\dot{x}_{1}. \label{17.2.3} \]

Necesitamos una ecuación más. El impulso lineal es constante y no hay pérdida de generalidad en la elección de un sistema de coordenadas tal que el impulso lineal sea cero:

\[ 0=m_{1}\dot{x}_{1}+m_{2}\dot{x}_{2}. \label{17.2.4} \]

A partir de estas dos ecuaciones, encontramos que

\[ \dot{x}_{1}=\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\dot{q} \label{17.2.5a}\tag{17.2.5a} \]

y

\[ \dot{x}_{2}=\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\dot{q}. \label{17.2.5b}\tag{17.2.5b} \]

Así obtenemos

\[ T=\frac{1}{2}m\dot{q}^{2} \label{17.2.6} \]

y

\( V=\frac{1}{2}kq^{2}\)

donde

\[ m=\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}. \label{17.2.7} \]

Ahora aplica la ecuación de Lagrange

\[ \frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{j}}-\frac{\partial T}{\partial q_{j}}=\frac{\partial V}{\partial q_{j}}. \label{13.4.13}\tag{13.4.13} \]

a la coordenada única\( q\) en la manera a la que nos acostumbramos en el Capítulo 13, y la ecuación del movimiento se convierte en

\[ m\ddot{q}=-kq, \label{17.2.8} \]

que es simple movimiento armónico de periodo\( 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\) donde\( m\) viene dado por Ecuación\( \ref{17.2.7}\). La frecuencia es el recíproco de esto, y la “frecuencia angular”\( \omega\), también llamada a veces la “pulsación”, es\( 2\pi\) multiplicada por la frecuencia, o\( \sqrt{\frac{k}{m}}\).

La cantidad\( \frac{m_{1}m_{2}}{(m_{1}+m_{2})}\) suele llamarse la “masa reducida” y uno puede preguntarse es qué sentido se “reduce”. Creo que el origen de este término puede provenir de un tratamiento elemental del átomo de hidrógeno de Bohr, en el que uno al principio asume que hay un electrón que se mueve alrededor de un núcleo inamovible —es decir, un núcleo de “masa infinita”. Se desarrollan fórmulas para diversas propiedades del átomo, como, por ejemplo, la constante de Rydberg, que es la energía requerida para ionizar el átomo desde su estado fundamental. Esta y otras fórmulas similares incluyen la masa\( m\) del electrón. Posteriormente, en un modelo más sofisticado, se tiene en cuenta la masa finita del núcleo, con núcleo y electrón moviéndose alrededor de su centro de masa mutuo. Uno llega a la misma fórmula, excepto que\( m\) se sustituye por\( \frac{mM}{(m+M)}\), donde\( M\) está la masa del núcleo. Esto es un poco menor (en aproximadamente 0.05%) que la masa del electrón, y la idea es que puedas hacer el cálculo con un núcleo fijo siempre que uses esta “masa reducida del electrón” en lugar de su verdadera masa. Si este es el término apropiado para usar en nuestro contexto actual es discutible, pero en la práctica es el término casi universalmente utilizado.

También puede ser remarcado por lectores con cierta familiaridad con la mecánica cuántica que he llamado a esta sección “La molécula diatómica”; sin embargo, he ignorado los aspectos mecánicos cuánticos de la vibración molecular. Esto es cierto —en esta serie de notas sobre Mecánica Clásica he adoptado un tratamiento enteramente clásico. Sería erróneo, sin embargo, suponer que la mecánica clásica no se aplica a una molécula, o que la mecánica cuántica no se aplicaría a un sistema que consiste en una pelota de cricket y una pelota de béisbol conectadas por un resorte metálico. De hecho, tanto la mecánica clásica como la mecánica cuántica se aplican a ambas. La fórmula derivada para la frecuencia de vibración en términos de la masa reducida y la constante de fuerza (“fuerza de unión”) se aplica con tanta precisión para la molécula como para la pelota de cricket y béisbol. La mecánica cuántica, sin embargo, predice que la energía total (el valor propio del operador hamiltoniano) puede tomar solo ciertos valores discretos, y también que el valor más bajo posible no es cero. Esto predice no sólo para la molécula, sino también para la pelota de cricket y el béisbol —aunque en este último caso los niveles de energía están tan estrechamente espaciados como para formar un cuasi continuo, y la energía vibratoria del punto cero es tan cercana a cero como para ser inconmensurable. La mecánica cuántica hace evidentes sus efectos a nivel molecular, pero esto no quiere decir que no se aplique a niveles macroscópicos. También se podría tomar nota de que no es probable que uno entienda por qué la mecánica de las olas predice solo niveles discretos de energía a menos que uno haya tenido una buena formación en la mecánica clásica de las olas. Es decir, no se debe suponer que la mecánica clásica no se aplica a los sistemas microscópicos, o que la mecánica cuántica no se aplica a los sistemas macroscópicos.

Abajo saliendo de esta sección, en caso de que intentaras resolver este problema por métodos newtonianos y te encontraras con dificultades, aquí tienes una pista. Mantener fijo el centro de masa. Cuando la longitud del resorte es\( x\), las longitudes de las porciones a cada lado del centro de masa son\( \frac{m_{2}x}{m_{1}+m_{2}}\) y\( \frac{m_{1}x}{m_{1}+m_{2}}\). Las constantes de fuerza de las dos porciones del resorte son inversamente proporcionales a sus longitudes. Llévala de ahí.