2.3: Función hamiltoniana y energía

La forma canónica (19) de la ecuación de Lagrange se ha derivado utilizando la Ec. (18), la cual es formalmente similar a la Eq. (1.22) para una fuerza potencial. ¿Significa esto que el sistema descrito por la Ec. (19) siempre conserva energía? No necesariamente, porque la “energía potencial”\(U\) que participa en la ecuación (18), puede depender no sólo de las coordenadas generalizadas sino también del tiempo. Comencemos el análisis de este tema con la introducción de dos nuevos (¡y muy importantes!) nociones: el impulso generalizado correspondiente a cada coordenada generalizada\(q_{j}\),

\[p_{j} \equiv \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}},\]y la función hamiltoniana 12\[H \equiv \sum_{j} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}} \dot{q}_{j}-L \equiv \sum_{j} p_{j} \dot{q}_{j}-L .\] Para ver si la función hamiltoniana se conserva durante el movimiento, diferenciemos ambos lados de su definición (32) a lo largo del tiempo:\[\frac{d H}{d t}=\sum_{j}\left[\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}\right) \dot{q}_{j}+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}} \ddot{q}_{j}\right]-\frac{d L}{d t} .\] Si queremos hacer uso de la ecuación de Lagrange (19), la última derivada tiene que ser calculada considerando \(L\)en función de argumentos independientes\(q_{j}, \dot{q}_{j}\), y\(t\), de manera que\[\frac{d L}{d t}=\sum_{j}\left(\frac{\partial L}{\partial q_{j}} \dot{q}_{j}+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}} \ddot{q}_{j}\right)+\frac{\partial L}{\partial t},\] donde el último término es derivado de\(L\) como una función explícita del tiempo. Vemos que el último término entre corchetes de la Ec. (33) cancela inmediatamente con el último término entre paréntesis de la Ec. (34). Además, utilizando la ecuación de Lagrange (19a) para el primer término entre corchetes de la Ec. (33), vemos que se cancela con el primer término entre paréntesis de la Ec. (34). Como resultado, llegamos a un resultado muy simple e importante:\[\frac{d H}{d t}=-\frac{\partial L}{\partial t} .\] El corolario más importante de esta fórmula es que si la función lagrangiana no depende del tiempo explícitamente\((\partial L / \partial t=0)\), la función hamiltoniana es una integral del movimiento:\[H=\text { const. }\] Veamos cómo funciona esto, utilizando los dos primeros ejemplos discutidos en la sección anterior. Para una partícula 1D, la definición (31) del impulso generalizado rinde de\[p_{x} \equiv \frac{\partial L}{\partial v}=m v,\] manera que coincide con el impulso lineal habitual\(x\) -o más bien con su componente-. De acuerdo con la Ec. (32), la función hamiltoniana para este caso (con solo un grado de libertad) es\[H \equiv p_{x} v-L=p_{x} \frac{p_{x}}{m}-\left(\frac{m}{2} \dot{x}^{2}-U\right)=\frac{p_{x}^{2}}{2 m}+U,\] decir, coincide con la energía mecánica de la partícula\(E=T+U\). Dado que el lagrangiano no depende del tiempo explícitamente, ambos\(H\) y\(E\) se conservan.

Sin embargo, ¡no siempre es tan sencillo! En efecto, volvamos de nuevo a nuestro problema del banco de pruebas (Figura 1). En este caso, el impulso generalizado correspondiente a la coordenada generalizada\(\theta\) es\[p_{\theta} \equiv \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}=m R^{2} \dot{\theta},\] y la Ec. (32) rinde:\[\begin{aligned} H & \equiv p_{\theta} \dot{\theta}-L=m R^{2} \dot{\theta}^{2}-\left[\frac{m}{2} R^{2}\left(\dot{\theta}^{2}+\omega^{2} \sin ^{2} \theta\right)+m g R \cos \theta\right]+\text { const } \\ & \equiv \frac{m}{2} R^{2}\left(\dot{\theta}^{2}-\omega^{2} \sin ^{2} \theta\right)-m g R \cos \theta+\text { const. } \end{aligned}\] Esto significa que (tan pronto como\(\omega \neq 0\)), la función hamiltoniana difiere de la energía mecánica\[E \equiv T+U=\frac{m}{2} R^{2}\left(\dot{\theta}^{2}+\omega^{2} \sin ^{2} \theta\right)-m g R \cos \theta+\text { const }\] La diferencia,\(E-H=m R^{2} \omega^{2} \sin ^{2} \theta\) (además de una intrascendente constante), puede cambiar en el movimiento de la cuenta a lo largo del anillo, de manera que aunque\(H\) es una integral del movimiento (ya que\(\partial L / \partial t=0\)), la energía no se conserva. En este contexto, vamos a averiguar cuándo estas dos funciones,\(E\) y\(H\), si coinciden. En matemáticas, existe una noción de una función homogénea\(f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots\right)\) de grado\(\lambda\), definida de la siguiente manera: para una constante arbitraria\(a\),\[f\left(a x_{1}, a x_{2}, \ldots\right)=a^{\lambda} f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots\right) .\] Tales funciones obedecen al siguiente teorema de Euler: 13\[\sum_{j} \frac{\partial f}{\partial x_{j}} x_{j}=\lambda f \text {, }\] que puede probarse fácilmente diferenciando ambas partes de la Ec. (42) \(a\)y luego establecer este parámetro en el valor particular\(a=1\). Ahora, consideremos el caso cuando la energía cinética es una forma cuadrática de todas las velocidades generalizadas\(\dot{q}_{j}\):\[T=\sum_{j, j^{\prime}} t_{j j^{\prime}}\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, t\right) \dot{q}_{j} \dot{q}_{j^{\prime}}\] sin otros términos. Es evidente que tal\(T\) satisface la definición de una función homogénea de las velocidades con\(\lambda=2,{ }^{14}\) lo que el teorema de Euler (43) da\[\sum_{j} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{j}} \dot{q}_{j}=2 T \text {. }\] Pero ya que\(U\) es independiente de las velocidades generalizadas,\(\partial L / \partial \dot{q}_{j}=\partial T / \partial \dot{q}_{j}\), y el lado izquierdo de la Ec. (45) es exactamente el primero término en la definición (32) de la función hamiltoniana, de manera que en este caso\[H=2 T-L=2 T-(T-U)=T+U=E .\] Así, para un sistema con una energía cinética del tipo (44), por ejemplo, una partícula libre con\(T\) considerada como una función de sus velocidades cartesianas,\[T=\frac{m}{2}\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}\right),\] las nociones de la función hamiltoniana y la la energía mecánica son idénticas. En efecto, algunos libros de texto, muy lamentablemente, ¡no distinguen en absoluto estas nociones! Sin embargo, como hemos visto en nuestro ejemplo de perla-en-anillo rotativo, estas variables no siempre coinciden. Para ese problema, la energía cinética, además del término proporcional a\(\dot{\theta}^{2}\), tiene otro término independiente de la velocidad\(-\) ver la primera de Eqs. (23) - y por lo tanto no es una función cuadrática-homogénea de la velocidad angular, dando\(E \neq H\).

Así, la Ec. (36) expresa una nueva ley de conservación, generalmente diferente a la de la conservación de energía mecánica.

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\({ }^{12}\)Lleva el nombre de Sir William Rowan Hamilton, quien desarrolló su enfoque de la mecánica analítica en 1833, sobre la base de la mecánica lagrangiana. Esta función a veces se le llama solo la “hamiltoniana”, pero es recomendable utilizar el término completo “función hamiltoniana” en la mecánica clásica, para distinguirla del operador hamiltoniano utilizado en la mecánica cuántica. (Su relación será discutida en la Sec. \(10.1\)abajo.)

\({ }^{13}\)Este es solo uno de los muchos teoremas que llevan el nombre de su autor: el genio matemático Leonhard Euler (1707-1783).

\({ }^{14}\)Tales funciones se llaman cuadrático-homogéneas.

\({ }^{15}\)Dichas coordenadas se denominan frecuentemente cíclicas, porque en algunos casos (como en el segundo ejemplo considerado a continuación) representan coordenadas periódicas como ángulos. Sin embargo, esta terminología es engañosa, porque algunas coordenadas “cíclicas” (por ejemplo,\(x\) en nuestro primer ejemplo) no tienen nada que ver con la rotación.