2.4: Otras leyes de conservación

Al observar la ecuación de Lagrange (19), inmediatamente vemos que si\(L \equiv T-U\) es independiente de alguna coordenada generalizada\(q_{j}, \partial L / \partial q_{j}=0,{ }^{15}\) entonces el impulso generalizado correspondiente es una integral del movimiento: 16\[p_{j} \equiv \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}=\text { const. }\] Por ejemplo, para una partícula 1D con la lagrangiana (21), el impulso\(p_{x}\) es conservada si la energía potencial es constante (y por lo tanto el\(x\) -componente de la fuerza es cero) - por supuesto. Como ejemplo menos obvio, consideremos un movimiento 2D de una partícula en el campo de las fuerzas centrales. Si utilizamos coordenadas polares\(r\) y\(\varphi\) en el papel de coordenadas generalizadas, la función lagrangiana,\({ }^{17}\)\[L \equiv T-U=\frac{m}{2}\left(\dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\varphi}^{2}\right)-U(r),\] es independiente\(\varphi\) y por lo tanto\[p_{\varphi} \equiv \frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}}=m r^{2} \dot{\varphi},\] se conserva el impulso generalizado correspondiente. Este es solo un caso particular (2D) de la conservación del momento angular - ver Ec. (1.24). De hecho, para el\(\mathrm{D}\) movimiento 2 dentro del\([x, y]\) plano, el vector de momento angular,\[\mathbf{L} \equiv \mathbf{r} \times \mathbf{p}=\left|\begin{array}{ccc} \mathbf{n}_{x} & \mathbf{n}_{y} & \mathbf{n}_{z} \\ x & y & z \\ m \dot{x} & m \dot{y} & m \dot{z} \end{array}\right|,\] tiene solo un componente diferente de cero, a saber, el componente normal al plano de movimiento:\[L_{z}=x(m \dot{y})-y(m \dot{x}) \text {. }\] Diferenciando las relaciones bien conocidas entre las coordenadas polares y cartesianas, \[x=r \cos \varphi, \quad y=r \sin \varphi,\]a lo largo del tiempo, y enchufando el resultado a la ecuación (52), vemos que\[L_{z}=m r^{2} \dot{\varphi} \equiv p_{\varphi} .\] Así el formalismo lagrangiano proporciona una poderosa manera de buscar integrales no evidentes del movimiento. Por otro lado, si tal cantidad conservada es evidente o conocida a priori, resulta útil para la selección de las coordenadas generalizadas más apropiadas, dando las ecuaciones de Lagrange más simples. Por ejemplo, en el último problema, si sabíamos de antemano que\(p_{\varphi}\) había que conservar, esto podría proporcionar una motivación para usar el ángulo\(\varphi\) como una de coordenadas generalizadas.

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\({ }^{16}\)Este hecho puede considerarse un caso particular de una afirmación matemática más general llamada teorema de Noether -que lleva el nombre de su autor, Emmy Nöther, a veces llamada la “mejor mujer matemática jamás vivida”. Desafortunadamente, por restricciones de tiempo/espacio, para su discusión tengo que remitir al lector interesado a otra parte -por ejemplo a la Sec. \(13.7\)en H. Goldstein et al., Mecánica Clásica,\(3^{\text {rd }}\) ed. Addison Wesley, 2002

\({ }^{17}\)Tenga en cuenta que aquí\(\dot{r}^{2}\) está el cuadrado de la derivada escalar\(\dot{r}\), en lugar del cuadrado del vector\(\dot{\mathbf{r}}=\mathbf{v}\).