3.3: Sistemas Hamiltonianos 1D

Los sistemas autónomos que son descritos por lagrangianos independientes del tiempo se denominan frecuentemente hamiltonianos porque su función hamiltoniana\(H\) (de nuevo, no necesariamente igual a la energía mecánica genuina\(E !\)) se conserva. En nuestro\(1 \mathrm{D}\) caso actual, descrito por la Ec. (3),\[H=\frac{m_{\mathrm{ef}}}{2} \dot{q}^{2}+U_{\mathrm{ef}}(q)=\text { const } .\] Desde el punto de vista matemático, esta ley de conservación es apenas la primera integral del movimiento. Resolviendo la Ec. (24) para\(\dot{q}\), obtenemos la ecuación diferencial de primer orden,\[\frac{d q}{d t}=\pm\left\{\frac{2}{m_{\mathrm{ef}}}\left[H-U_{\mathrm{ef}}(q)\right]\right\}^{1 / 2}, \quad \text { i.e. } \pm\left(\frac{m_{\mathrm{ef}}}{2}\right)^{1 / 2} \frac{d q}{\left[H-U_{\mathrm{ef}}(q)\right]^{1 / 2}}=d t,\] que puede integrarse fácilmente:\[\pm\left(\frac{m_{\mathrm{ef}}}{2}\right)^{1 / 2} \int_{q\left(t_{0}\right)}^{q(t)} \frac{d q^{\prime}}{\left[H-U_{\mathrm{ef}}\left(q^{\prime}\right)\right]^{1 / 2}}=t-t_{0} .\] Dado que la constante\(H\) (así como el signo propio antes de la integral - ver abajo) se fija por condiciones iniciales, la Ec. (26) da la forma recíproca,\(t=t(q)\), de la ley deseada del movimiento del sistema,\(q(t)\). Por supuesto, para cualquier problema en particular la integral en la Ec. (26) todavía tiene que elaborarse, ya sea analítica o numéricamente, pero incluso este último procedimiento suele ser mucho más fácil que la integración numérica de la ecuación diferencial inicial de movimiento de segundo orden, porque al sumar muchos valores (a lo que se reduce cualquier integración numérica\(^{7}\)) se promedian efectivamente los errores de redondeo.

Además, la Ec. (25) también permite una clasificación general del movimiento del sistema 1D. Efectivamente:

(i) Si\(H>U_{\mathrm{ef}}(q)\) en todo el rango de interés, la energía cinética efectiva\(T_{\mathrm{ef}}\) (3) es siempre positiva. De ahí que la derivada\(d q / d t\) no pueda cambiar su signo, por lo que la velocidad efectiva retiene el signo que tenía inicialmente. Este es un movimiento desatado en una dirección (Figura 2a).

Figura 3.2. Representaciones gráficas de la Ec. (25) para tres casos diferentes: (a) un movimiento no ligado, con el signo de velocidad conservado, (b) una reflexión desde un “punto de inflexión clásico”, acompañado por el cambio de signo de velocidad, y (c) movimiento periódico encuadernado entre dos puntos de inflexión, esquemáticamente. (d) La energía potencial efectiva (6) de la perla en el anillo giratorio (Figura 2.1) para un caso particular con\(\omega>\Omega\).

(ii) Ahora dejemos que la partícula se acerque a un punto de inflexión clásico\(A\) donde\(H=U_{\mathrm{ef}}(q)-\operatorname{see} \operatorname{Fig} .2 \mathrm{~b} .{ }^{8}\) Según la Ec. (25), en ese punto la velocidad de la partícula se desvanece, mientras que su aceleración, según la Ec. (4), sigue siendo finita. Esto corresponde a la reflexión de partículas de esta pared potencial, con el cambio del signo de velocidad.

(iii) Si, después de la reflexión desde el punto\(A\), la partícula se encuentra en otro punto de inflexión clásico\(B\) (Figura 2c), el proceso de reflexión se repite una y otra vez, de manera que la partícula se une a un movimiento periódico entre dos puntos de inflexión.

El último caso de oscilaciones periódicas presenta un gran interés conceptual y práctico, y todo el siguiente capítulo se dedicará a un análisis detallado de este fenómeno y numerosos efectos asociados. Aquí sólo voy a señalar que para un sistema hamiltoniano autónomo descrito por la Ec. (4), la Ec. (26) habilita inmediatamente el cálculo del periodo de oscilación:\[\tau=2\left(\frac{m_{\mathrm{ef}}}{2}\right)^{1 / 2} \int_{B}^{A} \frac{d q}{\left[H-U_{\mathrm{ef}}(q)\right]^{1 / 2}}\] donde el factor frontal adicional 2 da cuenta de dos intervalos de tiempo: del movimiento desde\(B\) hacia\(A\) y hacia atrás ver Figura 2c. En efecto, según la Ec. (25), en cada punto clásicamente permitido\(q\), la magnitud de la velocidad es la misma de manera que estos intervalos de tiempo son iguales entre sí.

(Obsérvese que la dependencia de los puntos\(A\) y\(B\) sobre no\(H\) es necesariamente continua. Por ejemplo, para nuestro problema del banco de pruebas, cuya energía potencial efectiva se traza en la Figura\(2 \mathrm{~d}\) para un valor particular de\(\omega>\)\(\Omega\), un aumento gradual de\(H\) conduce a un salto repentino, en\(H=H_{1}\), del punto\(B\) a una nueva posición\(B\) ', correspondiente a una repentina cambiar de oscilaciones alrededor de un punto fijo\(\theta_{2,3}\) a oscilaciones alrededor de dos puntos fijos adyacentes - antes del comienzo de una rotación persistente alrededor del anillo en\(H>H_{2}\).)

Ahora consideremos un límite particular, pero muy importante, de la Ec. (27). Como muestra la Figura 2c, si\(H\) se reduce a acercarse\(U_{\min }\), las oscilaciones periódicas se producen en la parte inferior del “pozo potencial”, alrededor de un punto fijo estable\(q_{0}\). Por lo tanto, si el perfil de energía potencial es lo suficientemente suave, podemos limitar la expansión de Taylor (10) al término cuadrático mostrado. Conectándolo a la ecuación (27), y usando la simetría especular de este problema particular sobre el punto fijo\(q_{0}\), obtenemos\[\tau=4\left(\frac{m_{\mathrm{ef}}}{2}\right)^{1 / 2} \int_{0}^{A} \frac{d \widetilde{q}}{\left[H-\left(U_{\min }+\kappa_{\mathrm{ef}} \tilde{q}^{2} / 2\right)\right]^{1 / 2}}=\frac{4}{\omega_{0}} I, \quad \text { with } I \equiv \int_{0}^{1} \frac{d \xi}{\left(1-\xi^{2}\right)^{1 / 2}}\] donde\(\xi \equiv \widetilde{q} / A\),\(A \equiv\left(2 / \kappa_{\mathrm{ef}}\right)^{1 / 2}\left(H-U_{\mathrm{min}}\right)^{1 / 2}\) siendo el punto de inflexión clásico, es decir, la amplitud de oscilación, y\(\omega_{0}\) la frecuencia dada por la Ec. (15). Teniendo en cuenta que la integral elemental\(I\) en esa ecuación es igual finalmente\(\pi / 2,{ }^{9}\) obtenemos\[\tau=\frac{2 \pi}{\omega_{0}},\] como debería ser para las oscilaciones armónicas (16). Obsérvese que el periodo de oscilación no depende de la amplitud de oscilación\(A\), es decir, de la diferencia\(\left(H-U_{\min }\right)-\) mientras sea suficientemente pequeño.

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\({ }^{7}\)Véase, por ejemplo, las ecuaciones MA (5.2) y (5.3).

\({ }^{8}\)Esta terminología proviene de la mecánica cuántica, lo que demuestra que una partícula (o más bien su función ondulada) en realidad puede, en cierta medida, penetrar en el “rango clásicamente prohibido” donde\(H<U_{\mathrm{ef}}(q)\).

\({ }^{9}\)En efecto, introduciendo una nueva variable\(\zeta\) como\(\xi \equiv \sin \zeta\), obtenemos\(d \xi=\cos \zeta d \zeta=\left(1-\xi^{2}\right)^{1 / 2} d \zeta\), para que la función bajo la integral sea justa\(d \zeta\), y sus límites son\(\zeta=0\) y\(\zeta=\pi / 2\).