3.4: Problemas planetarios

Dejando un estudio más detallado de las oscilaciones para el Capítulo 5, discutamos ahora los llamados sistemas planetarios\({ }^{10}\) cuya descripción, algo sorprendentemente, también puede reducirse a un\(1 \mathrm{D}\) problema efectivo. Consideremos dos partículas que interactúan a través de una fuerza conservadora central\(\mathbf{F}_{21}=-\mathbf{F}_{12}=\mathbf{n}_{r} F(r)\), donde\(r\) y\(\mathbf{n}_{r}\) son, respectivamente, la magnitud y dirección del vector de distancia que\(\mathbf{r} \equiv \mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2}\) conecta las dos partículas (Figura 3).

Figura 3.3. Vectores en el problema “planetario”.

Generalmente, dos partículas que se mueven sin restricciones en el\(3 \mathrm{D}\) espacio, tienen\(3+3=6\) grados de libertad, los cuales pueden describirse, por ejemplo, por sus coordenadas cartesianas\(\left\{x_{1}, y_{1}, z_{1}, x_{2}, y_{2}, z_{2}\right\}\) Sin embargo, para esta forma particular de interacción, la siguiente serie de trucos permite el número de grados esenciales de libertad para ser reducido a solo uno.

En primer lugar, la fuerza central conservadora de la interacción de las partículas puede ser descrita por una energía potencial independiente del tiempo\(U(r)\), tal que de\(F(r)=-\partial U(r) / \partial r .{ }^{11}\) ahí el lagrangiano del sistema es\[L \equiv T-U(r)=\frac{m_{1}}{2} \dot{\mathbf{r}}_{1}^{2}+\frac{m_{2}}{2} \dot{\mathbf{r}}_{2}^{2}-U(r) .\] Vamos a realizar la transferencia de las seis coordenadas escalares iniciales de las partículas a las seis siguientes coordenadas generalizadas: tres componentes cartesianos del vector de distancia\[\mathbf{r} \equiv \mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2},\] y tres componentes escalares del siguiente vector: el\[\mathbf{R} \equiv \frac{m_{1} \mathbf{r}_{1}+m_{2} \mathbf{r}_{2}}{M}, \quad \text { with } M \equiv m_{1}+m_{2},\] cual define la posición del centro de masa del sistema, con la masa total\(M\). Resolviendo el sistema de dos ecuaciones lineales (31) y (32) para\(\mathbf{r}_{1}\) y\(\mathbf{r}_{2}\), obtenemos\[\mathbf{r}_{1}=\mathbf{R}+\frac{m_{2}}{M} \mathbf{r}, \quad \mathbf{r}_{2}=\mathbf{R}-\frac{m_{1}}{M} \mathbf{r} .\] Tapando estas relaciones en la ecuación (30), vemos que se reduce a\[L=\frac{M}{2} \dot{\mathbf{R}}^{2}+\frac{m}{2} \dot{\mathbf{r}}^{2}-U(r),\] donde\(m\) está la llamada masa reducida:\[m \equiv \frac{m_{1} m_{2}}{M}, \text { so that } \frac{1}{m} \equiv \frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{2}} .\] Obsérvese que de acuerdo con la Ec. (35), la masa reducida es menor que la del componente más ligero del sistema de dos cuerpos. Si uno de\(m_{1,2}\) es mucho menor que su contraparte (como lo es en la mayoría de los sistemas estrella-planeta o planeta-satélite), entonces con una buena precisión\(m \approx \min \left[m_{1}, m_{2}\right]\).

Dado que la función lagrangiana (34) depende\(\mathbf{R}\) más que de\(\mathbf{R}\) sí misma, según nuestra discusión en la Sec. 2.4, todos los componentes cartesianos de\(R\) son coordenadas cíclicas, y se conservan los momentos generalizados correspondientes:\[P_{j} \equiv \frac{\partial L}{\partial \dot{R}_{j}} \equiv M \dot{R}_{j}=\mathrm{const}, \quad j=1,2,3 .\] Físicamente, esto es solo la ley de conservación para el impulso pleno\(\mathbf{P} \equiv M \mathbf{R}\) de nuestro sistema, debido a la ausencia de fuerzas externas. En realidad, en los axiomáticos utilizados en la Sec. \(1.3\)esta ley se postula - ver Ec. (1.10) - pero ahora podemos atribuir el impulso\(\mathbf{P}\) a un cierto punto geométrico, con el vector de radio del centro de masa\(\mathbf{R}\). En particular, dado que según la ecuación (36) el centro se mueve con una velocidad constante en el marco de referencia inercial utilizado para escribir la ecuación (30), podemos considerar un nuevo marco inercial con el origen en el punto\(\mathbf{R}\). En este nuevo marco,\(\mathbf{R} \equiv 0\), de manera que el vector\(\mathbf{r}\) (y por lo tanto el escalar\(r\)) siga siendo el mismo que en el cuadro antiguo (porque el vector de transferencia de trama se suma igualmente a\(\mathbf{r}_{1}\) y\(\mathbf{r}_{2}\), y cancela en\(\mathbf{r}=\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2}\)), y el lagrangiano (34) ahora se reduce a\[L=\frac{m}{2} \dot{\mathbf{r}}^{2}-U(r)\] Así nuestro problema inicial se ha reducido a sólo tres grados de libertad - tres componentes escalares del vector\(\mathbf{r}\). Además, la Ec. (37) muestra que la dinámica del vector\(\mathbf{r}\) de nuestro sistema inicial de dos partículas es idéntica a la del vector de radio de una sola partícula con la masa efectiva\(m\), moviéndose en el campo potencial central\(U(r)\).

Dos grados más de libertad pueden ser excluidos del problema planetario al notar que de acuerdo con la Ecuación (1.35), también\(m\) se conserva el momento angular\(\mathbf{L}=\mathbf{r} \times \mathbf{p}\) de nuestra partícula única efectiva de masa, tanto en magnitud como en dirección. Dado que la dirección de\(\mathbf{L}\) es, por su definición, perpendicular a ambos de\(\mathbf{r}\) y\(\mathbf{v}=\mathbf{p} / m\), esto significa que el movimiento de la partícula está confinado al plano cuya orientación está determinada por las direcciones iniciales de los vectores\(\mathbf{r}\) y\(\mathbf{v}\). De ahí que podamos describir completamente la posición de la partícula por solo dos coordenadas en ese plano, por ejemplo por la distancia\(r\) al origen, y el ángulo polar\(\varphi\). En estas coordenadas, la Ec. (37) toma la forma idéntica a la Ec. (2.49):\[L=\frac{m}{2}\left(\dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\varphi}^{2}\right)-U(r) .\] Además, esta última coordenada\(\varphi\), ángulo polar, también puede eliminarse utilizando la conservación de la magnitud del momento angular, en forma de la Ec. (\(2.50):{ }^{12}\)\[L_{z}=m r^{2} \dot{\varphi}=\text { const. }\]

Un corolario directo de esta conservación es la llamada ley\(2^{\text {nd }}\) Kepler:\(^{13}\) el vector radio\(\mathbf{r}\) barre áreas iguales\(A\) en tiempos iguales. En efecto, en la aproximación lineal en\(d A<<A\), el diferencial de área\(d A\) es igual al área de un triángulo rectángulo estrecho siendo la base el diferencial de arco\(r d \varphi\), y la altura igual a\(r\) -ver Figura 4. Como resultado, de acuerdo con la Ec. (39), la derivada de tiempo del área,\[\frac{d A}{d t}=\frac{r(r d \varphi) / 2}{d t} \equiv \frac{1}{2} r^{2} \dot{\varphi}=\frac{L_{z}}{2 m},\] permanece constante. Dado que el factor\(L_{z} / 2 m\) es constante, la integración de esta ecuación sobre una arbitraria (¡no necesariamente pequeña!) intervalo de tiempo\(\Delta t\) prueba la ley\(2^{\text {nd }}\) Kepler:\(A \propto \Delta t\).

Figura 3.4. El diferencial de área\(d A\) en las coordenadas polares.

Ahora notemos que ya que\(\partial L / \partial t=0\), también\(H\) se conserva la función hamiltoniana, y dado que, según la ecuación (38), la energía cinética del sistema es una función cuadrática-homogénea de las velocidades generalizadas\(\dot{r}\) y\(\dot{\varphi}\), tenemos\(H=E\), de manera que la energía del sistema\(E\), \[E=\frac{m}{2} \dot{r}^{2}+\frac{m}{2} r^{2} \dot{\varphi}^{2}+U(r),\]es también una primera integral del movimiento. \({ }^{14}\)Pero de acuerdo con la Ec. (39), el segundo término en el lado derecho de la ecuación (41) puede representarse de\[\frac{m}{2} r^{2} \dot{\varphi}^{2}=\frac{L_{z}^{2}}{2 m r^{2}},\] manera que la energía (41) pueda expresarse como la de una partícula 1D que se mueve a lo largo del eje\(r\),\[E=\frac{m}{2} \dot{r}^{2}+U_{\text {ef }}(r),\] en el siguiente potencial efectivo:\[U_{\text {ef }}(r) \equiv U(r)+\frac{L_{z}^{2}}{2 m r^{2}}\] (El sentido físico del segundo término es similar al del primer término en la\(U_{\text {ef }}\) deletreada en la Ec. (6), y se volverá a discutir en la Sec. \(4.6\)abajo.) Por lo que el problema del movimiento planetario se ha reducido a la dinámica de un sistema efectivamente-1D. \({ }^{15}\)

Ahora podemos proceder igual que hicimos en la Sec. 3, con el debido respeto al potencial efectivo muy específico (44) que, en particular, diverge en\(r \rightarrow 0\) - además del caso muy especial de un movimiento exactamente radial,\(L_{z}=0\). En particular, podemos resolver la Ec. (43)\(d r / d t\) para obtener\[d t=\left(\frac{m}{2}\right)^{1 / 2} \frac{d r}{\left[E-U_{\mathrm{ef}}(r)\right]^{1 / 2}}\] Esta ecuación nos permite no sólo obtener una relación directa entre el tiempo\(t\) y la distancia\(r\), similar a la Ec. (26),\[t=\pm\left(\frac{m}{2}\right)^{1 / 2} \int \frac{d r}{\left[E-U_{\mathrm{ef}}(r)\right]^{1 / 2}}=\pm\left(\frac{m}{2}\right)^{1 / 2} \int \frac{d r}{\left[E-U(r)-L_{z}^{2} / 2 m r^{2}\right]^{1 / 2}},\] sino también hacer un cálculo similar del ángulo\(\varphi\). De hecho, integrando la Ec. (39),\[\varphi \equiv \int \dot{\varphi} d t=\frac{L_{z}}{m} \int \frac{d t}{r^{2}},\] y tapando\(d t\) de la Ec. (45), obtenemos una expresión explícita para la trayectoria de la partícula\(\varphi(r)\):\[\varphi=\pm \frac{L_{z}}{(2 m)^{1 / 2}} \int \frac{d r}{r^{2}\left[E-U_{\mathrm{ef}}(r)\right]^{1 / 2}}=\pm \frac{L_{z}}{(2 m)^{1 / 2}} \int \frac{d r}{r^{2}\left[E-U(r)-L_{z}^{2} / 2 m r^{2}\right]^{1 / 2}} .\] Tenga en cuenta que de acuerdo con la Ec. (39), la derivada\(d \varphi / d t\) no cambia signo en la reflexión desde ningún punto de inflexión clásico\(r \neq 0\) , de manera que, a diferencia de la Ecuación (46), el signo del lado derecho de la Ecuación (48) está determinado únicamente por las condiciones iniciales y no puede cambiar durante el movimiento.

Usemos estos resultados, válidos para cualquier ley de interacción\(U(r)\), para la clasificación del movimiento planetario. (Siguiendo una buena tradición, en lo que sigue voy a seleccionar la constante arbitraria en la energía potencial en la forma de proporcionar\(U \rightarrow 0\), y de ahí\(U_{\text {ef }} \rightarrow 0\) en\(r \rightarrow \infty\).) Deberían distinguirse los siguientes casos.

Si\(U(r)<0\), es decir, la interacción de la partícula es atractiva (como siempre lo es en el caso de la gravedad), y la divergencia del potencial atractivo a\(r \rightarrow 0\) es más rápida que\(1 / r^{2}\), entonces\(U_{\mathrm{ef}}(r) \rightarrow-\infty\) a\(r \rightarrow 0\), de modo que en condiciones iniciales apropiadas la partícula puede caer sobre el centro incluso si \(L_{z} \neq 0\)- el evento llamado captura. Por otro lado,\(U(r)\) ya sea con convergencia o divergencia más lento que\(1 / r^{2}\), en\(r \rightarrow 0\), el perfil de energía efectiva\(U_{\mathrm{ef}}(r)\) tiene la forma mostrada esquemáticamente en la Figura 5. Esto es cierto, en particular, para el caso muy importante\[U(r)=-\frac{\alpha}{r}, \quad \text { with } \alpha>0\] que describe, en particular, la interacción Coulomb (electrostática) de dos partículas con cargas eléctricas de signos opuestos, y la ley de gravedad de Newton (1.15). Este caso particular se analizará a continuación, pero ahora volvamos al análisis de un potencial atractivo arbitrario que\(U(r)<0\) conduce al potencial efectivo mostrado en la Figura 5, cuando el término de impulso angular en la Ec. (44) domina a pequeñas distancias\(r\).

Figura 3.5. Perfil potencial efectivo de un campo central atractivo, y dos tipos de movimiento en él.

De acuerdo con el análisis de la Sec. 3, dicho perfil de potencial, con un mínimo a cierta distancia\(r_{0}\), puede sostener dos tipos de movimiento, dependiendo de la energía\(E\) (que está determinada por las condiciones iniciales):

(i) Si\(E>0\), solo hay un punto de inflexión clásico donde\(E=U_{\text {ef }}\), de manera que la distancia o\(r\) bien crece con el tiempo desde el principio mismo o (si el valor inicial de\(\dot{r}\) fue negativo) primero disminuye y luego, después de la reflexión desde el potencial creciente\(U_{\mathrm{ef}}\), comienza a crecer indefinidamente. Este último caso, por supuesto, describe la dispersión de la partícula efectiva por el centro atractivo. \({ }^{16}\)

(ii) Por el contrario, si la energía está dentro del rango\[U_{\mathrm{ef}}\left(r_{0}\right) \leq E<0,\] el sistema se mueve periódicamente entre dos puntos de inflexión clásicos\(r_{\min }\) y\(r_{\max }-\) ver Figura 5. Estas oscilaciones de la distancia\(r\) corresponden al movimiento orbital ligado de nuestra partícula efectiva alrededor del centro de atracción.

Comencemos con la discusión del movimiento encuadernado, con la energía dentro del rango (50). Si la energía tiene su valor mínimo posible,\[E=U_{\mathrm{ef}}\left(r_{0}\right) \equiv \min \left[U_{\mathrm{ef}}(r)\right],\] la distancia no puede cambiar,\(r=r_{0}=\) const, de manera que la órbita es circular, con el radio\(r_{0}\) satisfaciendo la condición\(d U_{\mathrm{ef}} / d r=0\). Usando la Eq. (44), vemos que la condición para\(r_{0}\) puede escribirse como\[\frac{L_{z}^{2}}{m r_{0}^{3}}=\left.\frac{d U}{d r}\right|_{r=r_{0}} .\] Dado que en movimiento circular, la velocidad\(\mathbf{v}\) es perpendicular al vector de radio\(\mathbf{r}, L_{z}\) es justa\(m r_{0} v\), el lado izquierdo de la ecuación (52) es igual\(m v^{2} / r_{0}\), mientras que su lado derecho es solo la magnitud de la fuerza atractiva, para que esta igualdad exprese la conocida ley\(2^{\text {nd }}\) Newton para el movimiento circular. Conectando este resultado a la ecuación (47), obtenemos una ley lineal de cambio de ángulo,\(\varphi=\omega t+\) const, con la velocidad angular\[\omega=\frac{L_{z}}{m r_{0}^{2}}=\frac{v}{r_{0}},\] y de ahí que el periodo de rotación\(\tau_{\varphi} \equiv 2 \pi / \omega\) obedezca a la relación elemental\[\tau_{\varphi}=\frac{2 \pi r_{0}}{v} .\] Ahora deja que la energía esté por encima de su valor mínimo (pero aún negativo). Usando la Eq. (46) al igual que en la Sec. 3, vemos que la distancia\(r\) ahora oscila con el periodo\[\tau_{r}=(2 m)^{1 / 2} \int_{r_{\min }}^{r_{\max }} \frac{d r}{\left[E-U(r)-L_{z}^{2} / 2 m r^{2}\right]^{1 / 2}} .\] Este periodo no es necesariamente igual a otro periodo\(T_{\varphi}\),, que corresponde al\(2 \pi\) -cambio del ángulo. En efecto, de acuerdo con la Ec. (48), el cambio del ángulo\(\varphi\) entre dos puntos secuenciales de la aproximación más cercana,\[|\Delta \varphi|=2 \frac{L_{z}}{(2 m)^{1 / 2}} \int_{r_{\min }}^{r_{\max }} \frac{d r}{r^{2}\left[E-U(r)-L_{z}^{2} / 2 m r^{2}\right]^{1 / 2}}\] es generalmente diferente de\(2 \pi\). Por lo tanto, la trayectoria general del movimiento encuadernado tiene una forma espiral ver, por ejemplo, una ilustración en la Figura\(6 .\)

Figura 3.6. Una órbita abierta típica de una partícula que se mueve en un campo central no Coulomb.

La situación es especial, sin embargo, para un caso particular muy importante, a saber, el del potencial de Coulomb descrito por la Ec. (49). En efecto, enchufando este potencial en la Eq. (48), obtenemos\[\varphi=\pm \frac{L_{z}}{(2 m)^{1 / 2}} \int \frac{d r}{r^{2}\left(E+\alpha / r-L_{z}^{2} / 2 m r^{2}\right)^{1 / 2}} .\] Esta es una integral de tabla,\({ }^{17}\) dando\[\varphi=\pm \cos ^{-1} \frac{L_{z}^{2} / m \alpha r-1}{\left(1+2 E L_{z}^{2} / m \alpha^{2}\right)^{1 / 2}}+\text { const. }\] La función recíproca\(r(\varphi)\),, es\(2 \pi\) -periódica: de\[r=\frac{p}{1+e \cos (\varphi+\mathrm{const})},\] manera que at\(E<0\), la órbita es una línea cerrada,\({ }^{18}\) caracterizada por los siguientes parámetros: \({ }^{19}\)\[p \equiv \frac{L_{z}^{2}}{m \alpha}, \quad e \equiv\left(1+\frac{2 E L_{z}^{2}}{m \alpha^{2}}\right)^{1 / 2}\]El significado físico de estos parámetros es muy sencillo. En efecto, la ecuación general (52), en el potencial de Coulomb para el cual\(d U / d r=\alpha / r^{2}\), muestra que\(p\) es solo el radio de órbita circular\(^{20}\) para lo dado\(L_{z}: r_{0}=L_{z}^{2} / m \alpha \equiv p\), de manera que\[\min \left[U_{\mathrm{ef}}(r)\right] \equiv U_{\mathrm{ef}}\left(r_{0}\right)=-\frac{\alpha^{2} m}{2 L_{z}^{2}} .\] Usando esta igualdad junto con la segunda de Eqs. (60), vemos que el parámetro\(e\) (llamado el excentricidad) puede representarse así como la geometría\[e=\left\{1-\frac{E}{\min \left[U_{\mathrm{ef}}(r)\right]}\right\}^{1 / 2} .\] analítica nos dice que la Ec. (59)\(e<1\), con, es una de las representaciones canónicas de una elipse, con uno de sus dos focos ubicados en el origen. El hecho de que los planetas tengan tales trayectorias se conoce como la ley\(1^{\text {st }}\) Kepler. La Figura 7 muestra las relaciones entre las dimensiones de la elipse y los parámetros\(p\) y\(e .{ }^{21}\)

Figura 3.7. Elipse, y sus puntos y dimensiones especiales.

En particular, el semieje mayor\(a\) y el semieje menor\(b\) están simplemente relacionados\(p\)\(e\) y, por lo tanto, a través de las ecuaciones (60), con las integrales de movimiento\(E\) y\(L_{z}\):

\[a=\frac{p}{1-e^{2}}=\frac{\alpha}{2|E|}, \quad b=\frac{p}{\left(1-e^{2}\right)^{1 / 2}}=\frac{L_{z}}{(2 m|E|)^{1 / 2}} .\]Como se mencionó anteriormente, en\(E \rightarrow \min \left[U_{\mathrm{ef}}(r)\right]\) la órbita es casi circular, con\(r(\varphi) \cong r_{0} \approx p\). Por el contrario, a medida que\(E\) se incrementa para acercarse a cero (su valor máximo para la órbita cerrada), entonces\(e \rightarrow 1\), de manera que el punto del afelión\(r_{\max }=p /(1-e)\) tiende al infinito, es decir, la órbita se alarga extremadamente\(-\) ver las líneas rojas en la Figura 8.

Figura 3.8. (a) Acercar y (b) alejar las trayectorias de Coulombfield correspondientes al mismo parámetro\(p\) (es decir, el mismo\(L_{z}\)), pero diferentes valores del parámetro de excentricidad\(e\), es decir, de la energía\(E\) - ver Ec. (60): elipses\((e<1\), líneas rojas), una parábola\((e=1\), línea magenta) e hipérbolas (\(e>1\), líneas azules). Tenga en cuenta que la transición de trayectorias cerradas a abiertas en\(e=1\) es dramática sólo a distancias muy grandes,\(r>>p\).

Las relaciones anteriores permiten, en particular, un cálculo listo del período de rotación\(T \equiv T_{r}=\tau_{\varphi}\). (En el caso de una trayectoria cerrada,\(\tau_{r}\) y\(\tau_{\varphi}\) coinciden.) En efecto, es bien sabido que el área de elipse\(A=\)\(\pi a b\). Pero según la ley\(2^{\text {nd }}\) Kepler (40),\(d A / d t=L_{z} / 2 m=\) const. Por lo tanto,\[\tau=\frac{A}{d A / d t}=\frac{\pi a b}{L_{z} / 2 m} .\] usando las ecuaciones (60) y (63), este importante resultado puede representarse en varias otras formas:\[\tau=\frac{\pi p^{2}}{\left(1-e^{2}\right)^{3 / 2}\left(L_{z} / 2 m\right)}=\pi \alpha\left(\frac{m}{2|E|^{3}}\right)^{1 / 2}=2 \pi a^{3 / 2}\left(\frac{m}{\alpha}\right)^{1 / 2} .\] Dado que para la gravedad newtoniana (1.15),\(\alpha=G m_{1} m_{2}=G m M\), at\(m_{1}<<m_{2}\) (es decir,\(m<<M\) esta constante es proporcional a\(m\), y la última forma de la Ec. (64b) produce el\(3^{\text {rd }}\) Ley Kepler: periodos de movimiento de diferentes planetas en un mismo campo central, digamos el de nuestro Sol, escala como\(\tau \propto a^{3 / 2}\). Tenga en cuenta que en contraste con la ley\(2^{\text {nd }}\) Kepler (que es válida para cualquier campo central), las leyes\(1^{\text {st }}\) y\(3^{\text {rd }}\) Kepler son específicas del potencial.

Ahora revisando la derivación anterior de Eqs. (59) - (60), vemos que también son válidas en el caso de\(E \geq 0\) - ver la línea horizontal superior en la Figura 5 y su discusión anterior, si limitamos los resultados al rango físicamente significativo\(r \geq 0\). Esto significa que si la energía es exactamente cero, la ecuación (59) (con\(e=1\)) sigue siendo válida para todos los valores de\(\varphi\) (excepto para un punto especial\(\varphi=\pi\) donde\(r\) se vuelve infinito) y describe una trayectoria parabólica (es decir, abierta) - ver las líneas magenta en la Figura\(8 .\)

Además, si\(E>0\), la Ec. (59) sigue siendo válida dentro de cierto sector de ángulos\(\varphi\),\[\Delta \varphi=2 \cos ^{-1} \frac{1}{e} \equiv 2 \cos ^{-1}\left(1+\frac{2 E L_{z}^{2}}{m \alpha^{2}}\right)^{-1 / 2}<\pi, \quad \text { for } E>0,\] y describe una trayectoria abierta e hiperbólica (ver las líneas azules en la Figura 8). Como se mencionó anteriormente, tales trayectorias son típicas, en particular, para la dispersión de partículas.

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\({ }^{10}\)Este nombre es muy condicional, porque este grupo de problemas incluye, por ejemplo, la dispersión de partículas cargadas (ver Sec. \(3.7\)abajo).

\({ }^{11}\)Véase, por ejemplo, MA Ec. (10.8) con\(\partial / \partial \theta=\partial / \partial \varphi=0\).

\({ }^{12}\)Aquí índice\(z\) representa la coordenada perpendicular al plano de movimiento. Dado que otros componentes del momento angular son iguales a cero, el índice no es realmente necesario, pero seguiré usándolo, solo para hacer una clara distinción entre el momento angular\(L_{z}\) y la función lagrangiana\(L\).

\({ }^{13}\)Esta es una de las tres leyes deducidas, de los datos astronómicos sumamente detallados recopilados por Tycho Brahe (1546-1601), por Johannes Kepler a principios de\(17^{\text {th }}\) siglo. A su vez, las tres leyes Kepler se han convertido en la base principal para el descubrimiento de Newton, unas décadas después, de la ley de la gravedad (1.15). Esa implacable marcha de la física...

\({ }^{14}\)Se puede argumentar que este hecho debería haber sido evidente desde el principio porque la partícula efectiva de masa\(m\) se mueve en un campo potencial\(U(r)\), que conserva energía.

\({ }^{15}\)Tenga en cuenta que esta reducción se ha hecho de una manera diferente a la utilizada para nuestro problema del banco de pruebas (mostrado en la Figura 2.1) en la Sec. 2 anterior. (Se anima al lector a analizar esta diferencia.) Para enfatizar este hecho, seguiré escribiendo\(E\) en lugar de\(H\) aquí, aunque para el problema planetario que estamos discutiendo ahora, estas dos nociones coinciden.

\({ }^{16}\)En el caso contrario cuando la interacción es repulsiva,\(U(r)>0\), la adición del término de energía angular positiva sólo aumenta la tendencia, y el escenario de dispersión es el único posible.

\({ }^{17}\)Véase, por ejemplo, MA Ec. (6.3a).

\({ }^{18}\)Se puede probar que para la interacción poder-ley,\(U \propto r^{v}\), las órbitas son curvas cerradas solo si\(v=-1\) (nuestro caso actual del potencial de Coulomb) o si\(v=+2\) (el oscilador armónico 3D) - el llamado teorema de Bertrand.

\({ }^{19}\)Permítanme esperar que la diferencia entre el parámetro\(p\) y la magnitud del impulso de la partícula sea absolutamente clara a partir del contexto, de manera que el uso de la misma notación (tradicional) para ambas nociones no pueda generar confusión.

\({ }^{20}\)Los matemáticos prefieren una terminología más solemne: el parámetro\(2 p\) se llama el recto latus de la elipse.

\({ }^{21}\)En esta cifra, se supone que la constante que participa en las ecuaciones (58) - (59) es cero. Una elección diferente de la constante corresponde solo a un origen diferente de\(\varphi\), es decir, un giro constante de la elipse alrededor del origen.