3.5: Dispersión elástica

Si\(E>0\), el movimiento está libre para cualquier potencial de interacción realista. En este caso, los dos parámetros más importantes de la trayectoria de la partícula son el parámetro de impacto\(b\) y el ángulo de dispersión\(\theta\) (Figura 9), y la tarea principal para la teoría es encontrar la relación entre ellos en el potencial dado\(U(r)\).

Figura 3.9. Parámetros geométricos principales del problema de dispersión.

Para ello, es conveniente señalar que\(b\) se relaciona con las dos cantidades conservadas, la energía de la partícula\(^{22} E\) y su momento angular\(L_{z}\), de una manera sencilla. En efecto, at\(r \gg b\), la definición\(\mathbf{L}=\mathbf{r} \times(m \mathbf{v})\) rinde\(L_{z}=b m v_{\infty}\), donde\(v_{\infty}=(2 E / m)^{1 / 2}\) está la velocidad inicial (y por lo tanto la final) de la partícula, de manera que\[L_{z}=b(2 m E)^{1 / 2} .\] De ahí la contribución angular al potencial efectivo (44) puede representarse como\[\frac{L_{z}^{2}}{2 m r^{2}}=E \frac{b^{2}}{r^{2}} .\] Segundo, según a la Eq. (48), las secciones de trayectoria que van desde el infinito hasta el punto de aproximación más cercano\(\left(r=r_{\min }\right)\) y desde ese punto hasta el infinito, tienen que ser similares, y por lo tanto corresponden a cambios de ángulo iguales\(\varphi_{0}-\) ver Figura 9. De ahí que podamos aplicar la ecuación general (48) a solo una de las secciones, digamos\(\left[r_{\min }\right.\),\(\infty\)], para encontrar el ángulo de dispersión:\[\theta=\pi-2 \varphi_{0}=\pi-2 \frac{L_{z}}{(2 m)^{1 / 2}} \int_{r_{\min }}^{\infty} \frac{d r}{r^{2}\left[E-U(r)-L_{z}^{2} / 2 m r^{2}\right]^{1 / 2}}=\pi-2 \int_{r_{\min }}^{\infty} \frac{b d r}{r^{2}\left[1-U(r) / E-b^{2} / r^{2}\right]^{1 / 2}} .\] En particular, para el potencial Coulomb (49), ahora con un signo arbitrario de\(\alpha\), podemos aplicar la misma integral de tabla que en la sección anterior para obtener\({ }^{23}\)\[|\theta|=\left|\pi-2 \cos ^{-1} \frac{\alpha / 2 E b}{\left[1+(\alpha / 2 E b)^{2}\right]^{1 / 2}}\right| .\] Este resultado puede ser reescrito de manera más conveniente como\[\tan \frac{|\theta|}{2}=\frac{|\alpha|}{2 E b} \text {. }\] Muy claramente, la magnitud del ángulo de dispersión aumenta con la fuerza potencial\(\alpha\), y disminuye a medida que aumenta la energía de la partícula o el parámetro de impacto (o ambos).

El resultado general (68) y las relaciones específicas de culombios (69) representan una solución formalmente completa del problema de la dispersión. Sin embargo, en un experimento típico sobre dispersión elemental de partículas, se desconoce el parámetro\(b\) de impacto de una sola partícula. En este caso, nuestros resultados pueden ser utilizados para obtener las estadísticas del ángulo de dispersión\(\theta\), en particular, la denominada sección transversal diferencial\(^{24}\)\[\frac{d \sigma}{d \Omega} \equiv \frac{1}{n} \frac{d N}{d \Omega},\] donde\(n\) es el número promedio de las partículas incidentes por unidad de área, y\(d N\) es el número promedio de las partículas se dispersaron en un pequeño rango de ángulo sólido\(d \Omega\). Para un haz uniforme de partículas iniciales, se\(d \sigma / d \Omega\) puede calcular contando el número promedio de partículas incidentes que tienen los parámetros de impacto dentro de un rango pequeño\(d b\):\[d N=n 2 \pi b d b .\] y están dispersadas por un centro esféricamente simétrico, lo que proporciona una simetría axial patrón de dispersión, en el rango de ángulo sólido pequeño correspondiente\(d \Omega=2 \pi|\sin \theta d \theta|\). Conectando estas dos igualdades en la Ec. \((70)\), obtenemos la siguiente relación geométrica general:\[\frac{d \sigma}{d \Omega}=b\left|\frac{d b}{\sin \theta d \theta}\right| .\] En particular, para el potencial de Coulomb (49), una diferenciación directa de la ecuación (69) produce la llamada fórmula de dispersión de Rutherford (según se informa derivada de Ralph Howard Fowler):\[\frac{d \sigma}{d \Omega}=\left(\frac{\alpha}{4 E}\right)^{2} \frac{1}{\sin ^{4}(\theta / 2)}\] Esta resultado, que muestra una dispersión muy fuerte a ángulos pequeños (tan fuerte que la integral que expresa la sección transversal\[\sigma \equiv \oint_{4 \pi} \frac{d \sigma}{d \Omega} d \Omega\] total diverge en\(\theta \rightarrow 0),{ }^{25}\) y la retrodispersión muy débil (a los ángulos\(\theta \approx \pi\)) fue históricamente extremadamente significativa: a principios de la década de 1910: su buena acuerdo con experimentos\(\alpha\) de dispersión de partículas llevados a cabo por el grupo de Ernest Rutherford dieron una fuerte justificación para su introducción del modelo planetario de átomos, con electrones moviéndose alrededor de núcleos muy pequeños, así como los planetas se mueven alrededor de las estrellas.

Tenga en cuenta que la dispersión elemental de partículas suele ir acompañada de radiación electromagnética y/u otros procesos que conducen a la pérdida de la energía mecánica inicial del sistema. Dicha dispersión inelástica puede dar resultados significativamente diferentes. (En particular, la captura de una partícula entrante se hace posible incluso para un centro de atracción de Coulomb). Además, los efectos cuántico-mecánicos pueden ser importantes en la dispersión de partículas de luz con energías relativamente bajas,\({ }^{26}\) por lo que los resultados anteriores deben usarse con precaución.

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\({ }^{22}\)La ley de conservación de energía se enfatiza frecuentemente al llamar a dicho proceso dispersión elástica.

\({ }^{23}\)Alternativamente, este resultado puede ser recuperado directamente de la primera forma de la Ec. (65), con la excentricidad\(e\) expresada a través del mismo parámetro adimensional\((2 E b / \alpha): e=\left[1+(2 E b / \alpha)^{2}\right]^{1 / 2}>1\).

\({ }_{24}\)Esta terminología deriva del hecho de que una integral (74) de\(d \sigma / d \Omega\) sobre el ángulo sólido completo, llamada sección transversal total\(\sigma\), tiene la dimensión del área:\(\sigma=N / n\), donde\(N\) está el número total de partículas dispersas.

\({ }^{25}\)Esta divergencia, que persiste en el tratamiento cuántico-mecánico del problema (ver, e.g., QM Capítulo 3), se debe a partículas con valores muy grandes de\(b\), y desaparece a una cuenta, por ejemplo, de cualquier concentración distinta de cero de los centros de dispersión.

\({ }^{26}\)Su discusión se puede encontrar en QM Secs. \(3.3\)y 3.8.