4.6: Marcos de referencia no inerciales

Para completar este capítulo, utilicemos los resultados de nuestro análisis de la cinemática de rotación en la Sec. 1 para completar la discusión de la transferencia entre dos marcos de referencia, iniciada en el Capítulo introductorio 1. Como muestra la Figura 12 (que reproduce la Figura\(1.2\) en una notación más conveniente), incluso si el cuadro “móvil” 0 gira con relación al cuadro “lab” 0', los vectores de radio observados a partir de estos dos fotogramas siguen relacionados, en cualquier momento, por la simple Ec. (1.5). En nuestra nueva notación:\[\mathbf{r}^{\prime}=\mathbf{r}_{0}+\mathbf{r} \text {. }\]
entre dos marcos de referencia.

Figura 4.12. El caso general de traslado

Sin embargo, como se mencionó en la Sec. 1, para las velocidades la regla general de suma ya es más compleja. Para encontrarlo, diferenciemos la ecuación (86) a lo largo del tiempo:\[\frac{d}{d t} \mathbf{r}^{\prime}=\frac{d}{d t} \mathbf{r}_{0}+\frac{d}{d t} \mathbf{r} .\] El lado izquierdo de esta relación es evidentemente la velocidad de la partícula medida en el cuadro de laboratorio, y el primer término en el lado derecho es la velocidad\(\mathbf{v}_{0}\) del punto 0, medida en el mismo cuadro de laboratorio. El último término es más complejo: debido a la posible rotación mutua de los marcos 0 y 0', ese término puede no desaparecer aunque la partícula no se mueva con relación al marco giratorio 0 - ver Figura 12.

Afortunadamente, ya hemos derivado la ecuación general (8) para analizar situaciones exactamente como ésta. Tomando\(\mathbf{A}=\mathbf{r}\) en ella, podemos aplicar el resultado al último término de la Ec. (87), para llegar\[\left.\mathbf{v}\right|_{\text {in lab }}=\left.\mathbf{v}_{0}\right|_{\text {in lab }}+(\mathbf{v}+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}),\] donde\(\omega\) está la velocidad angular instantánea de un cuerpo rígido imaginario conectado al marco de referencia móvil (o podríamos decir, de este marco como tal), como se mide en el cuadro de laboratorio 0', mientras que\(\mathbf{v}\) es\(d \mathbf{r} / d t\) como se mide en el marco móvil 0. La relación (88), por un lado, es una generalización natural de la ecuación (10) para\(\mathbf{v} \neq 0\); por otro lado, si\(\omega=0\), se reduce a la ecuación simple (1.8) para el movimiento traslacional del fotograma 0.

Para calcular la aceleración de la partícula, podemos simplemente repetir el mismo truco: diferenciar la ecuación (88) a lo largo del tiempo, y luego usar la ecuación (8) nuevamente, ahora para el vector\(\mathbf{A}=\mathbf{v}+\omega \times \mathbf{r}\). El resultado es\[\left.\left.\mathbf{a}\right|_{\text {in lab }} \equiv \mathbf{a}_{0}\right|_{\text {in lab }}+\frac{d}{d t}(\mathbf{v}+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r})+\boldsymbol{\omega} \times(\mathbf{v}+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}) .\] Llevar a cabo la diferenciación en el segundo término, finalmente obtenemos la relación meta,\[\left.\left.\mathbf{a}\right|_{\text {in lab }} \equiv \mathbf{a}_{0}\right|_{\text {in lab }}+\mathbf{a}+\dot{\boldsymbol{\omega}} \times \mathbf{r}+2 \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}+\boldsymbol{\omega} \times(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}),\] donde\(\mathbf{a}\) está la aceleración de la partícula, medida en el marco móvil. Este resultado es una generalización natural de la ecuación simple (1.9) a la caja del marco giratorio.

Ahora que el cuadro de laboratorio 0' sea inercial; entonces la ley de\(2^{\text {nd }}\) Newton para una partícula de masa\(m\) es\[\left.m \mathbf{a}\right|_{\text {in lab }}=\mathbf{F},\] donde\(\mathbf{F}\) está la suma vectorial de todas las fuerzas ejercidas sobre la partícula. Esto es simple y claro; sin embargo, en muchos casos es mucho más conveniente trabajar en un marco de referencia no inercial; por ejemplo, al describir la mayoría de los fenómenos en la superficie de la Tierra, resulta bastante inconveniente utilizar un marco de referencia que descansa sobre el Sol (o en el centro galáctico, etc.). Para entender lo que debemos pagar por la conveniencia de usar un marco móvil, podemos combinar las ecuaciones (90) y (91) para escribir\[m \mathbf{a}=\mathbf{F}-\left.m \mathbf{a}_{0}\right|_{\text {in lab }}-m \boldsymbol{\omega} \times(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r})-2 m \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}-m \dot{\boldsymbol{\omega}} \times \mathbf{r} .\] Este resultado significa que si queremos usar un análogo de la ley de\(2^{\text {nd }}\) Newton en un marco de referencia no inercial, tenemos que sumar, a la fuerza neta real\(\mathbf{F}\) ejercida sobre una partícula, cuatro términos pseudo-fuerza, llamados fuerzas inerciales, todos proporcionales a la masa de la partícula. Analicémoslos uno por uno, recordando siempre que estos son solo términos matemáticos, no fuerzas reales. (En particular, sería inútil buscar la contraparte de la ley\(3^{\text {rd }}\) Newton para cualquier fuerza inercial).

El primer término,\(-\left.m \mathbf{a}_{0}\right|_{\text {in lab }}\), es el único no relacionado con la rotación y es bien conocido por la mecánica de licenciatura. (Permítanme esperar que el lector recuerde todos estos problemas de peso en el elevador móvil). Sin embargo, a pesar de su sencillez, este término tiene consecuencias más sutiles. Como ejemplo, consideremos, semi-cualitativamente, el movimiento de un planeta, como nuestra Tierra, orbitando una estrella y girando también alrededor de su propio eje - ver Figura 13. Las fuerzas de gravedad distribuidas en masa, que actúan sobre un planeta desde su estrella, no son del todo uniformes, porque obedecen a la ley de\(1 / r^{2}\) gravedad (1.15), y por lo tanto equivalen a una sola fuerza aplicada a un punto A ligeramente desplazado del centro de masa 0 del planeta, hacia la estrella. Para un planeta esféricamente simétrico, la dirección de 0 a A estaría exactamente alineada con la dirección hacia la estrella. Sin embargo, los planetas reales no son absolutamente rígidos, por lo que, debido a la “fuerza” centrífuga (que se discutirá inminentemente), la rotación alrededor de su propio eje los hace ligeramente elipsoidales - ver Figura 13. (Para nuestra Tierra, esta protuberancia ecuatorial está a punto\(10 \mathrm{~km}\).) Como resultado, la fuerza de gravedad neta crea un par pequeño en relación con el centro de masa 0. Por otro lado, repitiendo todos los argumentos de esta sección para un cuerpo (más que un punto), podemos ver que, en el marco de referencia que se mueve con el planeta, la fuerza inercial\(-M \mathbf{a}_{0}\) (con la magnitud de la fuerza de gravedad total, pero dirigida desde la estrella) se aplica exactamente al centro de masa y por lo tanto, no crea un par al respecto. Como resultado, este par de fuerzas crea un par\(\tau\) perpendicular tanto a la dirección hacia la estrella como al vector 0A. (En la Figura 13, el vector de par es perpendicular al plano del dibujo). Si se fijara el ángulo\(\delta\) entre el eje de rotación “polar” del planeta y la dirección hacia la estrella, entonces, como hemos visto en la sección anterior, este par induciría una precesión lenta del eje alrededor de esa dirección.

Figura 4.13. La precesión axial de un planeta (con el abultamiento ecuatorial y el desplazamiento 0A fuertemente exagerado).

Sin embargo, como resultado del movimiento orbital, el ángulo\(\delta\) oscila en el tiempo mucho más rápido (una vez al año) entre los valores\((\pi / 2+\varepsilon)\) y\((\pi / 2-\varepsilon)\), donde\(\varepsilon\) está la inclinación del eje, es decir, ángulo entre el eje polar (la dirección de los vectores\(\mathbf{L}\) y\(\omega_{\text {rot }}\)) y la normal a la eclíptica plano de la órbita del planeta. (Para la Tierra,\(\varepsilon \approx 23.4^{\circ} .\)) Un promedio directo sobre estas oscilaciones rápidas\(^{22}\) muestra que el par conduce a la precesión del eje polar alrededor del eje perpendicular al plano eclíptico, manteniendo\(\varepsilon\) constante el ángulo\(-\) ver Figura 13. Para la Tierra, el periodo\(T_{\text {pre }}=2 \pi / \omega_{\text {pre }}\) de esta precesión de los equinoccios, corregido a un efecto sustancial de la gravedad de la Luna, es cercano a 26,000 años. \({ }^{23}\)

Volviendo a la Ec. (92), la dirección del segundo término de su lado derecho,\[\mathbf{F}_{\text {cf }} \equiv-m \boldsymbol{\omega} \times(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}),\] llamada fuerza centrífuga, siempre es perpendicular a, y dirigida fuera del eje de rotación instantánea - ver Figura 14. En efecto, el vector\(\omega \times \mathbf{r}\) es perpendicular a ambos\(\omega\) y\(\mathbf{r}\) (en la Figura 14, normal al plano de dibujo y dirigido desde el lector) y tiene la magnitud\(\omega r \sin \theta=\omega \rho\), donde\(\rho\) está la distancia de la partícula desde el eje de rotación. De ahí que el producto del vector exterior, con la cuenta del signo menos, es normal al eje de rotación\(\omega\), dirigido desde este eje, y es igual a\(\omega^{2} r \sin \theta=\omega^{2} \rho\). La “fuerza centrífuga” es, por supuesto, solo el resultado de que la aceleración centrípeta\(\omega^{2} \rho\), explícita en el marco de referencia inercial, desaparece en el marco giratorio. Para una ubicación típica de la Tierra\(\left(\rho \sim R_{\mathrm{E}} \approx 6 \times 10^{6} \mathrm{~m}\right)\), con su velocidad angular\(\omega_{\mathrm{E}} \approx 10^{-4} \mathrm{~s}^{-1}\), la aceleración es bastante considerable, del orden de\(3 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}^{2}\), es decir\(\sim 0.003 \mathrm{~g}\), y es responsable, en particular, de la mayor parte del abultamiento ecuatorial mencionado anteriormente.

Fig. 4.14. La fuerza centrífuga.

Como ejemplo del uso del concepto de fuerza centrífuga, volvamos de nuevo a nuestro problema de “banco de pruebas” en la cuenta que se desliza a lo largo de un anillo giratorio - ver Figura 2.1. En el marco de referencia no inercial unido al anillo, tenemos que sumar, a las fuerzas reales\(m \mathbf{g}\) y\(\mathbf{N}\) actuando sobre el cordón, la fuerza centrífuga horizontal\({ }^{24}\) dirigida desde el eje de rotación, con la magnitud\(m \omega^{2} \rho\). Su componente tangencial al anillo es igual\(\left(m \omega^{2} \rho\right) \cos \theta=m \omega^{2} R \sin \theta \cos \theta\), y de ahí el componente de la Ec. (92) a lo largo de esta dirección es\(m a=-m g \sin \theta+m \omega^{2} R \sin \theta \cos \theta\). Con\(a=R \ddot{\theta}\), esto nos da una ecuación de movimiento equivalente a la Ec. (2.25), que se había derivado en la Sec. \(2.2\)(en el marco inercial) utilizando el formalismo lagrangiano.

El tercer término en el lado derecho de la ecuación (92),\[\mathbf{F}_{\mathrm{C}} \equiv-2 m \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v},\] es la llamada fuerza de Coriolis\({ }^{25}\) que es diferente de cero solo si la partícula se mueve en el marco de referencia giratorio. Su sentido físico puede entenderse considerando un proyectil disparado horizontalmente, digamos desde el Polo Norte - ver Figura 15.

Figura 4.15. La trayectoria de un proyectil disparado horizontalmente desde el Polo Norte, desde el punto de vista de un observador con destino a la Tierra mirando hacia abajo. Los círculos muestran paralelos, mientras que las líneas rectas marcan meridianos.

Desde el punto de vista del observador terrestre, el proyectil se verá afectado por una fuerza adicional de Coriolis (94), dirigida hacia el oeste, con magnitud\(2 m \omega_{\mathrm{E}} v\), donde\(\mathbf{v}\) se encuentra el componente principal, hacia el sur, de la velocidad. Esta fuerza provocaría la aceleración hacia el oeste\(a=2 \omega_{\mathrm{E}} v\), y de ahí que la desviación hacia el oeste crezca con el tiempo como\(d=a t^{2} / 2=\omega_{\mathrm{E}} v t^{2}\). (Esta fórmula es exacta sólo si\(d\) es mucho menor que la distancia que\(r=v t\) atraviesa el proyectil). Por otro lado, desde el punto de vista de un observador de marco inercial, la trayectoria del proyectil en el plano horizontal es una línea recta. Sin embargo, durante el tiempo de vuelo\(t\), la superficie de la Tierra se desliza hacia el este desde debajo de la trayectoria por la distancia\(d=r \varphi=(v t)\left(\omega_{\mathrm{E}} t\right)=\omega_{\mathrm{E}} v t^{2}\), donde\(\varphi=\omega_{\mathrm{E}} t\) está el ángulo azimutal de la rotación de la Tierra durante el vuelo). Así, ambos enfoques dan el mismo resultado -como deberían hacerlo.

De ahí que la “fuerza” de Coriolis no sea más que una forma elegante (pero a menudo muy conveniente) de descripción de un efecto puramente geométrico pertinente a la rotación, desde el punto de vista del observador que participa en ella. Esta fuerza es responsable, en particular, de las orillas superiores derechas de los ríos del hemisferio norte, independientemente de la dirección de su caudal - ver Figura 16. A pesar de la pequeñez de la fuerza Coriolis (para una velocidad típica del agua en un río,\(v \sim 1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\), es equivalente a la aceleración\(a_{\mathrm{C}} \sim 10^{-2}\)\(\mathrm{cm} / \mathrm{s}^{2} \sim 10^{-5} \mathrm{~g}\)), sus efectos de varios siglos pueden ser bastante prominentes. \({ }^{26}\)

Figura 4.16. Fuerzas de Coriolis debido a la rotación de la Tierra, en el hemisferio norte.

Finalmente, el último, cuarto término de la Ec. (92)\(-m \dot{\boldsymbol{\omega}} \times \mathbf{r}\),, existe solo cuando la frecuencia de rotación cambia en el tiempo, y puede interpretarse como una adición específica de posición local al primer término.La relación clave (92), derivada anteriormente de la ecuación de Newton (91), puede obtenerse alternativamente del Lagrangiano , que da, como subproducto, algunas percepciones importantes sobre el impulso, así como sobre la relación entre\(E\) y\(H\), en rotación. Usemos la ecuación (88) para representar la energía cinética de la partícula en un marco inercial de “laboratorio” en términos de\(\mathbf{v}\) y\(\mathbf{r}\) medida en un marco giratorio:\[T=\frac{m}{2}\left[\left.\mathbf{v}_{0}\right|_{\text {in lab }}+(\mathbf{v}+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r})\right]^{2},\] y usar esta expresión para calcular la función lagrangiana. Para el caso relativamente simple del movimiento de una partícula en el campo de fuerzas potenciales, medido a partir de un marco de referencia que realiza una rotación pura (de manera que\(\mathbf{v}_{0}\) |en laboratorio\(=0\))\({ }^{27}\) con una velocidad angular constante\(\omega\), obtenemos\[L \equiv T-U=\frac{m}{2} v^{2}+m \mathbf{v} \cdot(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r})+\frac{m}{2}(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r})^{2}-U \equiv \frac{m}{2} v^{2}+m \mathbf{v} \cdot(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r})-U_{\mathrm{ef}},\] donde la energía potencial efectiva, \({ }^{28}\)\[U_{\mathrm{ef}} \equiv U+U_{\mathrm{cf}}, \quad \text { with } U_{\mathrm{cf}} \equiv-\frac{m}{2}(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r})^{2},\]es solo la suma de la energía potencial real\(U\) de la partícula y la llamada energía potencial centrífuga, asociada a la fuerza centrífuga (93):\[\mathbf{F}_{\mathrm{cf}}=-\nabla U_{\mathrm{cf}}=-\nabla\left[-\frac{m}{2}(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r})^{2}\right]=-m \boldsymbol{\omega} \times(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r})\] Es sencillo verificar que las ecuaciones lagrangianas de movimiento deriven de las ecuaciones (96), considerando los componentes cartesianos de\(\mathbf{r}\) y\(\mathbf{v}\) como coordenadas y velocidades generalizadas, coinciden con la Ec. (92) (con\(\left.\mathbf{a}_{0}\right|_{\text {in lab }}=0, \dot{\boldsymbol{\omega}}=0\), y\(\mathbf{F}=-\nabla U\)). Ahora es muy informativo echar un vistazo a un subproducto de este cálculo, el impulso generalizado (2.31) correspondiente a la coordenada de la partícula\(\mathbf{r}\) medida en el marco de referencia giratorio,\({ }^{29}\)\[\boldsymbol{h} \equiv \frac{\partial L}{\partial \mathbf{v}}=m(\mathbf{v}+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r})\] Según la Ec. (88) con\(\left.\mathbf{v}_{0}\right|_{\text {in lab }}=0\), la expresión entre paréntesis es solo\(\left.\mathbf{v}\right|_{\text {in lab. However, from }}\) el punto de vista del marco móvil, es decir, al no conocer el simple sentido físico del vector\(\boldsymbol{p}\), tendríamos una razón para hablar de dos momentos lineales diferentes de una misma partícula, el llamado impulso cinético\(\mathbf{p}=m \mathbf{v}\) y el impulso canónico\(\boldsymbol{\mu}=\mathbf{p}+m \omega \times \mathbf{r} .{ }^{30}\)

Ahora calculemos la función hamiltoniana\(H\), definida por la ecuación (2.32), y la energía\(E\) como funciones de las mismas variables de marco móvil:\[\begin{aligned} &H \equiv \sum_{j=1}^{3} \frac{\partial L}{\partial v_{j}} v_{j}-L=\boldsymbol{\mu} \cdot \mathbf{v}-L=m(\mathbf{v}+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}) \cdot \mathbf{v}-\left[\frac{m}{2} v^{2}+m \mathbf{v} \cdot(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r})-U_{\mathrm{ef}}\right]=\frac{m v^{2}}{2}+U_{\mathrm{ef}}, \\ &E \equiv T+U=\frac{m}{2} v^{2}+m \mathbf{v} \cdot(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r})+\frac{m}{2}(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r})^{2}+U=\frac{m}{2} v^{2}+U_{\mathrm{ef}}+m \mathbf{v} \cdot(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r})+m(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r})^{2} . \end{aligned}\] Estas expresiones muestran claramente eso\(E\) y no\(H\) son iguales. \({ }^{31}\)En retrospectiva, esto no es sorprendente, ya que la energía cinética (95), expresada en las variables de marco móvil, incluye un término lineal en\(\mathbf{v}\), y por lo tanto no es una función cuadrático-homogénea de esta velocidad generalizada. La diferencia de estas funciones puede representarse como\[E-H=m \mathbf{v} \cdot(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r})+m(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r})^{2} \equiv m(\mathbf{v}+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}) \cdot(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r})=\left.m \mathbf{v}\right|_{\text {in lab }} \cdot(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}) .\] Ahora usando nuevamente la regla de rotación de operando, podemos transformar esta expresión en una forma más simple:\({ }^{32}\)\[E-H=\boldsymbol{\omega} \cdot\left(\mathbf{r} \times\left. m \mathbf{v}\right|_{\text {in lab }}\right)=\boldsymbol{\omega} \cdot(\mathbf{r} \times \boldsymbol{\mu})=\left.\boldsymbol{\omega} \cdot \mathbf{L}\right|_{\text {in lab }} \cdot\] Como comprobación de cordura, apliquemos esta expresión general al caso particular de nuestro problema del banco de pruebas - ver Figura 2.1. En este caso, el vector\(\omega\) se alinea con el\(z\) eje -, de manera que de todos los componentes cartesianos del vector\(\mathbf{L}\), solo el componente\(L_{z}\) es importante para el producto escalar en la Ec. (102). Este componente evidentemente es igual\(\omega I_{z}=\omega m \rho^{2}=\omega m(R \sin \theta)^{2}\), de manera que\[E-H=m \omega^{2} R^{2} \sin ^{2} \theta,\] es decir, el mismo resultado que se desprende de la resta de las ecuaciones (2.40) y (2.41).

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\({ }^{23}\)Los detalles de este cálculo se pueden encontrar, p. ej., en la Sec. \(5.8\)del libro de texto de H. Goldstein et al., Mecánica Clásica,\(3^{\text {rd }}\) ed., Addison Wesley, 2002.

\({ }^{24}\)Este efecto es conocido desde la antigüedad, aparentemente descubierto por Hiparco de Rodas (190-120 a.C.)

\({ }^{25}\)Para este problema, todas las demás “fuerzas” inerciales, además de la fuerza Coriolis (ver abajo) desaparecen, mientras que esta última fuerza se dirige perpendicular al anillo y no afecta el movimiento de la cuenta a lo largo de él.

\({ }^{26}\)Nombrado así por G.-G. de Coriolis (ya reverentemente mencionado en el Capítulo 1) quien describió su teoría y aplicaciones en detalle en 1835, aunque los primeros análisis semicuantitativos de este efecto fueron dados por Giovanni Battista Riccioli y Claude François Dechales ya a mediados del siglo XVII, y todos componentes básicos de la teoría de Coriolis se remontan a una obra de 1749 de Leonard Euler.

\({ }^{27}\)La misma fuerza provoca la circulación en sentido antihorario en las tormentas “Nor'easter” en la costa este de Estados Unidos, teniendo un componente de velocidad del aire dirigido hacia el centro del ciclón, debido a la menor presión en su medio.

\({ }^{28}\)Un análisis similar de los casos con\(\left.\mathbf{v}_{0}\right|_{\text {in lab }} \neq 0\), por ejemplo, de un movimiento relativo traslacional de los marcos de referencia, se deja para el ejercicio del lector.

\({ }^{29}\)Para el lector atento que ha notado la diferencia entre el signo negativo en la expresión for\(U_{\mathrm{cf}}\), y el signo positivo antes del segundo término similar en la Ec. (3.44): como ya se discutió en el Capítulo 3, esta diferencia se debe a la diferencia de supuestos. En el problema planetario, el momento angular\(\mathbf{L}\) (y por lo tanto su componente\(L_{z}\)) es fijo, mientras que la velocidad angular correspondiente no lo\(\dot{\varphi}\) es. Por el contrario, en nuestra discusión actual, se supone que la velocidad angular\(\omega\) del marco de referencia es fija, es decir, es independiente de\(\mathbf{r}\) y\(\mathbf{v}\).

\({ }^{30}\)Aquí\(\partial L / \partial \mathbf{v}\) hay solo una taquigrafía para un vector con componentes cartesianos\(\partial L / \partial v_{j}\). En un lenguaje más formal, este es el gradiente de la función escalar\(L\) en el espacio de velocidad.

\({ }^{31}\)Una situación muy similar surge al movimiento de una partícula con carga eléctrica\(q\) en campo magnético\(\mathscr{B}\). En ese caso, el papel del término\(\boldsymbol{\mu}-\mathbf{p}=m \omega \times \mathbf{r}\) adicional lo juega el producto\(q \mathscr{A}\), donde\(\mathscr{A}\) está el potencial vectorial del campo\((\mathscr{B}=\nabla \times \mathscr{A})\) - véase, por ejemplo, EM Sec. 9.7, y en particular las ecuaciones (9.183) y (9.192).

\({ }^{32}\)Tenga en cuenta la última forma de la Ec. (99), que muestra muy claramente el sentido físico de la función hamiltoniana de una partícula en el marco giratorio, como la suma de su energía cinética (medida en el marco móvil), y la energía potencial efectiva (96b), incluida la de la “fuerza” centrífuga.