5.1: Oscilaciones libres y forzadas

En la Sec. \(3.2\)discutimos brevemente las oscilaciones en un sistema hamiltoniano trapezoidal, un oscilador armónico 1D descrito por un lagrangiano muy simple\({ }^{1}\)\[L \equiv T(\dot{q})-U(q)=\frac{m}{2} \dot{q}^{2}-\frac{\kappa}{2} q^{2},\] cuya ecuación de movimiento de Lagrange,\({ }^{2}\)

\(\begin{aligned}&\text { Harmonic } \\&\text { oscillator: } \\&\text { equation }\end{aligned} \quad m \ddot{q}+\kappa q=0, \quad\)es decir\(\omega_{0}^{2} \equiv \frac{\kappa}{m} \geq 0\),\(\ddot{q}+\omega_{0}^{2} q=0, \quad\) con,

es una ecuación diferencial homogénea lineal. Su solución general viene dada por (3.16), que frecuentemente se refunde en otra forma de amplitud-fase:\[q(t)=u \cos \omega_{0} t+v \sin \omega_{0} t=A \cos \left(\omega_{0} t-\varphi\right),\] donde\(A\) está la amplitud y\(\varphi\) la fase de las oscilaciones, las cuales están determinadas por las condiciones iniciales. Matemáticamente, frecuentemente es más fácil trabajar con funciones sinusoidales como exponentes complejos, reescribiendo la última forma de la ecuación (3a) en una forma más:\(^{3}\)\[q(t)=\operatorname{Re}\left[A e^{-i\left(\omega_{0} t-\varphi\right)}\right]=\operatorname{Re}\left[a e^{-i \omega_{0} t}\right],\]\[a \equiv A e^{i \varphi}, \quad|a|=A, \quad \operatorname{Re} a=A \cos \varphi=u, \quad \operatorname{Im} a=A \sin \varphi=v .\] Para un oscilador hamiltoniano autónomo, la Ec. (3) da la descripción clásica completa de su dinámica. Sin embargo, es importante entender que esta solución de oscilación libre, con una amplitud constante\(A\), se debe a la conservación de la energía\(E \equiv T+U=\kappa A^{2} / 2\) del oscilador. Si su energía cambia por alguna razón, es necesario generalizar la descripción.

En primer lugar, si la energía se escurre del oscilador a su entorno (el efecto generalmente llamado disipación de energía), las oscilaciones libres disminuyen con el tiempo. El modelo más simple de este efecto está representado por una fuerza de arrastre lineal adicional (o “fricción cinemática”), proporcional a la velocidad generalizada y dirigida opuesta a ella:\[F_{v}=-\eta \dot{q},\] donde constante\(\eta\) se llama coeficiente de arrastre. \({ }^{4}\)La inclusión de esta fuerza modifica la ecuación de movimiento (2) para llegar a ser\[m \ddot{q}+\eta \dot{q}+\kappa q=0 .\] Esta ecuación se reescribe frecuentemente en la forma\[\ddot{q}+2 \delta \ddot{q}+\omega_{0}^{2} q=0, \quad \text { with } \delta \equiv \frac{\eta}{2 m},\] donde el parámetro\(\delta\) se denomina coeficiente de amortiguación (o simplemente “amortiguación”). Obsérvese que la Ec. (6) sigue siendo una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden, y su solución general aún tiene la forma de la suma (3.13) de dos exponentes del tipo\(\exp \{\lambda t\}\), con coeficientes preexponenciales arbitrarios. Conectando tal exponente en la Ec. (6), obtenemos la siguiente ecuación característica algebraica para\(\lambda\):\[\lambda^{2}+2 \delta \lambda+\omega_{0}^{2}=0 .\] Resolviendo esta ecuación cuadrática, obtenemos de\[\lambda_{\pm}=-\delta \pm i \omega_{0}^{\prime}, \quad \text { where } \omega_{0}^{\prime} \equiv\left(\omega_{0}^{2}-\delta^{2}\right)^{1 / 2},\] manera que por amortiguación no muy alta\(\left(\delta<\omega_{0}\right)^{5}\) obtenemos la siguiente generalización de la Ec. (3):\[q_{\text {free }}(t)=c_{+} e^{\lambda_{+} t}+c_{-} e^{\lambda_{-} t}=\left(u_{0} \cos \omega_{0}^{\prime} t+v_{0} \sin \omega_{0}^{\prime} t\right) e^{-\delta t}=A_{0} e^{-\delta t} \cos \left(\omega_{0}^{\prime} t-\varphi_{0}\right) .\] El resultado muestra que, además de una cierta corrección a la frecuencia de oscilación libre (que es muy pequeña en el límite de amortiguación bajo más interesante\(\delta<<\omega_{0}\)), la disipación de energía conduce a una disminución exponencial de la amplitud de oscilación con la constante de tiempo\(\tau=1 / \delta\):\[A=A_{0} e^{-t / \tau}, \quad \text { where } \tau \equiv \frac{1}{\delta}=\frac{2 m}{\eta}\] Una medida adimensional muy popular de amortiguación es el llamado factor de calidad\(Q\) (o simplemente el\(Q\) factor -) que se define como\(\omega_{0} / 2 \delta\), y puede ser reescrito en varias otras formas útiles:\[Q \equiv \frac{\omega_{0}}{2 \delta}=\frac{m \omega_{0}}{\eta}=\frac{(m \kappa)^{1 / 2}}{\eta}=\pi \frac{\tau}{\tau}=\frac{\omega_{0} \tau}{2},\] donde\(\tau=2 \pi / \omega_{0}\) está el periodo de oscilación en ausencia de amortiguación - ver Ec. (3.29). Dado que la energía de oscilación\(E\) es proporcional a\(A^{2}\), es decir, decae ya que\(\exp \{-2 t / \tau\}\), con la constante de tiempo\(\tau / 2\), se puede usar la última forma de la ecuación (11) para reescribir el\(Q\) factor -en una forma más:\[Q=\omega_{0} \frac{E}{(-\dot{E})} \equiv \omega_{0} \frac{E}{\mathscr{P}},\] donde\(\mathscr{P}\) está la potencia de disipación. (A continuación se\(Q\) discutirán otras dos formas prácticas de medición.) La gama\(Q\) de factores de osciladores importantes es muy amplia, desde\(Q \sim 10\) para una pierna humana (con músculos relajados), hasta los cristales\(Q \sim 10^{4}\) de cuarzo utilizados en relojes electrónicos y relojes, hasta\(Q \sim 10^{12}\) para cavidades de microondas cuidadosamente diseñadas con paredes superconductoras.

En contraste con las oscilaciones libres en descomposición, las oscilaciones forzadas, inducidas por una fuerza externa\(F(t)\), pueden mantener su amplitud (y por lo tanto la energía) infinitamente, incluso con amortiguamiento distinto de cero. Este proceso puede describirse usando una ecuación diferencial todavía lineal pero ahora no homogénea\[m \ddot{q}+\eta \dot{q}+\kappa q=F(t),\] o, más convenientemente para el análisis, la siguiente generalización de la ecuación (6b):

\(\begin{aligned}&\text { Forced } \\&\text { oscillator } \\&\text { with } \\&\text { damping }\end{aligned} \quad \ddot{q}+2 \delta \dot{q}+\omega_{0}^{2} q=f(t), \quad\)donde\(f(t) \equiv F(t) / m .\)

Para un\(1 \mathrm{D}\) oscilador mecánico lineal disipativo\((6)\), bajo el efecto de una fuerza externa adicional\(F(t)\), la ecuación (13a) es solo una expresión de la ley de\(2^{\text {nd }}\) Newton. Sin embargo, de acuerdo con la Ec. (1.41), la Ec. (13) es válida para cualquier sistema disipativo lineal 6 1D cuya energía potencial Gibbs\((1.39)\) tenga la forma\(U_{\mathrm{G}}(q, t)=\)\(\kappa q^{2} / 2-F(t) q\).

Las soluciones de oscilación forzada pueden analizarse mediante dos métodos matemáticamente equivalentes cuya conveniencia relativa depende del carácter de la función\(f(t)\).

(i) Dominio de la frecuencia. Representando la función\(f(t)\) como una suma de Fourier de armónicos sinusoidales:\(^{7}\)\[f(t)=\sum_{\omega} f_{\omega} e^{-i \omega t},\] y usando la linealidad de la ecuación (13), podemos representar su solución general como una suma de las oscilaciones libres en descomposición (9) con la frecuencia\(\omega_{0}^{\prime}\), independiente de la función\(f(t)\), y forzada oscilaciones debidas a cada uno de los componentes de Fourier de la fuerza:\(^{8}\)\[q(t)=q_{\text {free }}(t)+q_{\text {forced }}(t), \quad q_{\text {forced }}(t)=\sum_{\omega} a_{\omega} e^{-i \omega t}\] Taponando la Ec. (15) en la Ec. (13), y requiriendo que los factores antes de cada uno\(e^{-i \omega t}\) en ambos lados sean iguales, obtenemos\[a_{\omega}=f_{\omega} \chi(\omega),\] donde\[\chi(\omega)=\frac{1}{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)-2 i \omega \delta},\] se llama la función compleja\(\chi(\omega)\), en nuestro caso particular igual a ya sea la función de respuesta o (especialmente para osciladores no mecánicos) la susceptibilidad generalizada. A partir de aquí, y la Ec. (4), la amplitud de las oscilaciones bajo el efecto de una fuerza sinusoidal es\[A_{\omega} \equiv\left|a_{\omega}\right|=\left|f_{\omega} \| \chi(\omega)\right|, \quad \text { with }|\chi(\omega)|=\frac{1}{\left[\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+(2 \omega \delta)^{2}\right]^{1 / 2}}\] Esta fórmula describe, en particular, un aumento de la amplitud de oscilación\(A_{\omega}\) en\(\omega \rightarrow \omega_{0}-\) ver el panel izquierdo en la Figura 1. En particular, a la igualdad exacta de estas dos frecuencias, de\[|\chi(\omega)|_{\omega=\omega_{0}}=\frac{1}{2 \omega_{0} \delta},\] manera que, según la ecuación (11), la relación de las magnitudes de respuesta en\(\omega=\omega_{0}\) y\(\omega=0\left(|\chi(\omega)|_{\omega=0}=\right.\)\(1 / \omega_{0}{ }^{2}\)) es exactamente igual al\(Q\) factor -del oscilador. Así, el aumento de la respuesta es especialmente fuerte en el límite de amortiguación bajo\(\left(\delta<<\omega_{0}\right.\), es decir\(\left.Q>>1\right)\); además at\(Q \rightarrow \infty\) y\(\omega \rightarrow \omega_{0}\) la respuesta diverge. (Este hecho es muy útil para los métodos que se discutirán más adelante en esta sección.) Esta es la descripción clásica del famoso fenómeno de la resonancia, tan omnipresente en la física.

Figura 5.1. Resonancia en el oscilador lineal, para varios valores de\(Q\).

Debido al aumento de la altura del pico de resonancia, su ancho es inversamente proporcional a\(Q\). Cuantitativamente, en el límite de amortiguación baja más interesante, es decir\(Q>>1\), at, el\(Q\) factor recíproco da el valor normalizado del llamado ancho completo a la mitad del máximo (FWHM) de la curva de resonancia:\(^{9}\)\[\frac{\Delta \omega}{\omega_{0}}=\frac{1}{Q} .\] De hecho, esto\(\Delta \omega\) se define como la diferencia\(\left(\omega_{+}-\omega_{-}\right)\) entre los dos valores de\(\omega\) a que el cuadrado de la función de respuesta del oscilador,\(|\chi(\omega)|^{2}\) (que es proporcional a la energía de oscilación), equivale a la mitad de su valor de resonancia (19). En el límite de amortiguación bajo, ambos puntos están muy cerca de\(\omega_{0}\), de manera que en la aproximación lineal en\(\left|\omega^{-} \omega_{0}\right|<<\omega_{0}\), podemos escribir\(\left(\omega_{0}{ }^{2-} \omega^{2}\right) \equiv-\left(\omega+\omega_{0}\right)\left(\omega^{-} \omega_{0}\right) \approx-2 \omega \xi \approx-2 \omega_{0} \xi\), donde\[\xi \equiv \omega-\omega_{0}\] es un parámetro muy conveniente llamado desafinación, que será utilizado repetidamente más adelante en este capítulo. En esta aproximación, la segunda de las Ecuaciones (18) se reduce a\({ }^{10}\)\[|\chi(\omega)|^{2}=\frac{1}{4 \omega_{0}^{2}\left(\delta^{2}+\xi^{2}\right)} .\] Como resultado, los puntos\(\omega_{\pm}\) corresponden a, es decir\(\xi^{2}=\delta^{2}\), de manera que\(\omega_{\pm}=\omega_{0} \pm \delta=\omega_{0}(1 \pm 1 / 2 Q)\)\(\Delta \omega \equiv \omega_{+}-\omega_{-}=\)\(\omega_{0} / Q\), demostrando así la Ec. (20).

(ii) Dominio del tiempo. Volviendo a la fuerza externa arbitraria\(f(t)\), se puede argumentar que las ecuaciones (9), (15) a (17) proporcionan una solución completa del problema de la oscilación forzada incluso en este caso general. Esto es formalmente correcto, pero esta solución puede ser muy inconveniente si la fuerza externa está lejos de ser una función sinusoidal del tiempo, especialmente si no es periódica en absoluto. En este caso, primero debemos calcular las amplitudes complejas\(f_{\omega}\) que participan en la suma de Fourier (14). En el caso general de una no periódica\(f(t)\), ésta es en realidad la integral de Fourier,\({ }^{11}\)\[f(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} f_{\omega} e^{-i \omega t} d t,\] por lo que\(f_{\omega}\) debería calcularse usando la transformada recíproca de Fourier,\[f_{\omega}=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} f\left(t^{\prime}\right) e^{i \omega t^{\prime}} d t^{\prime}\] Ahora podemos usar la ecuación (16) para cada componente de Fourier de las oscilaciones forzadas resultantes, y reescribir la last of Eqs. (15) como\[\begin{aligned} q_{\text {forced }}(t) &=\int_{-\infty}^{+\infty} a_{\omega} e^{-i \omega t} d \omega=\int_{-\infty}^{+\infty} \chi(\omega) f_{\omega} e^{-i \omega t} d \omega=\int_{-\infty}^{+\infty} d \omega \chi(\omega) \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} d t^{\prime} f\left(t^{\prime}\right) e^{i \omega\left(t^{\prime}-t\right)} \\ &=\int_{-\infty}^{+\infty} d t^{\prime} f\left(t^{\prime}\right)\left[\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} d \omega \chi(\omega) e^{i \omega\left(t^{\prime}-t\right)}\right] \end{aligned}\] con la función de respuesta\(\chi(\omega)\) dada, en nuestro caso, por la Eq. (17). Además de requerir dos integraciones, la ecuación (25) es conceptualmente incómoda: parece indicar que la coordenada del oscilador en el momento\(t\) depende no sólo de la fuerza externa ejercida en tiempos anteriores\(t\) '\(<t\), sino también en tiempos futuros. Esto contradiría uno de los principios más fundamentales de la física (y de hecho, de la ciencia en su conjunto), la causalidad: ningún efecto puede preceder a su causa.

Afortunadamente, un cálculo sencillo (dejado para el ejercicio del lector) muestra que la función de respuesta (17) satisface la siguiente regla:\({ }^{12}\)\[\int_{-\infty}^{+\infty} \chi(\omega) e^{-i \omega \tau} d \omega=0, \quad \text { for } \tau<0 .\] Este hecho permite que la última forma de la ecuación (25) se reescriba en cualquiera de las siguientes formas equivalentes:\[q_{\text {forced }}(t)=\int_{-\infty}^{t} f\left(t^{\prime}\right) G\left(t-t^{\prime}\right) d t^{\prime} \equiv \int_{0}^{\infty} f(t-\tau) G(\tau) d \tau,\] donde\(G(\tau)\), definida como la transformada de Fourier de la función de respuesta,\[G(\tau) \equiv \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \chi(\omega) e^{-i \omega \tau} d \omega,\] se llama la función verde (temporal) del sistema. De acuerdo con la Ec. (26),\(G(\tau)=0\) para todos\(\tau<0\).

Mientras que la segunda forma de la Ec. (27) es frecuentemente más conveniente para los cálculos, su primera forma es más adecuada para la interpretación física de la función del Verde. En efecto, consideremos el caso particular cuando la fuerza es una función delta\[f(t)=\delta\left(t-t^{\prime}\right), \quad \text { with } t^{\prime}<t \text {, i.e. } \tau \equiv t-t^{\prime}>0 \text {, }\] que representa un pulso finalmente corto en este momento\(t\) ', con unidad “área”\(\int f(t) d t\). Sustituyendo la Ec. (29a) en la Ec. (27),\({ }^{13}\) obtenemos\[q(t)=G\left(t-t^{\prime}\right) .\] Así la función del Verde\(G\left(t-t^{\prime}\right)\) es solo la respuesta del oscilador, medida en el tiempo\(t\), a un pulso de fuerza corto de unidad “área”, ejercida en el tiempo\(t\) '. De ahí que la Eq. (27) expresa el principio de superposición lineal en el dominio del tiempo: el efecto completo de la fuerza\(f(t)\) sobre un sistema lineal es una suma de efectos de pulsos cortos de duración\(d t\) 'y magnitud\(f\left(t^{\prime}\right)\), cada uno con su propio “peso”\(G\left(t-t^{\prime}\right)\) - ver Figura 2.

Figura 5.2. Una representación esquemática de intervalo finito de una fuerza\(f(t)\) como suma de pulsos cortos en todo momento\(t^{\prime}<t\), y sus contribuciones a la respuesta del sistema lineal\(q(t)\), como lo da la Ec. (27).

Esta imagen puede ser utilizada para el cálculo de la función de Green para nuestro sistema particular. En efecto, las ecuaciones (29) - (30) significan que\(G(\tau)\) es solo la solución de la ecuación diferencial de movimiento del sistema, en nuestro caso, la Ec. (13), con el reemplazo\(t \rightarrow \tau\), y un lado derecho\(\delta\) -funcional:\[\frac{d^{2} G(\tau)}{d \tau^{2}}+2 \delta \frac{d G(\tau)}{d \tau}+\omega_{0}^{2} G(\tau)=\delta(\tau) .\] Dado que las ecuaciones (27) describen solo el segundo término en la Ec. (15), es decir, solo el forzadas, en lugar de oscilaciones libres, tenemos que excluir a estas últimas resolviendo la Ec. (31) con cero condiciones iniciales:\[G(-0)=\frac{d G}{d \tau}(-0)=0,\] donde\(\tau=-0\) significa el instante inmediatamente anterior\(\tau=0\).

Este cálculo puede simplificarse aún más. Integremos ambos lados de la ecuación (31) sobre un intervalo infinitesimal incluyendo el origen, e.g. [-\(d \tau / 2,+d \tau / 2]\), y luego seguir el límite\(d \tau \rightarrow 0\). Dado que la función del Verde tiene que ser continua por su sentido físico como la coordenada (generalizada), todos los términos del lado izquierdo pero el primero desaparecen, mientras que el primer término cede\(d G /\left.d \tau\right|_{+0}-d G /\left.d \tau\right|_{-0}\). Debido a la segunda de las ecuaciones (32), la última de estas dos derivadas es igual a cero, mientras que el lado derecho de la ecuación (31) rinde 1 tras la integración. Así, la función\(G(\tau)\) puede calcularse para\(\tau>0\) (es decir, para todos los momentos en que es diferente de cero) resolviendo la versión homogénea de la ecuación de movimiento del sistema para\(\tau>0\), con las siguientes condiciones iniciales especiales:\[G(0)=0, \quad \frac{d G}{d \tau}(0)=1 .\] Este enfoque nos da una forma conveniente para el cálculo de las funciones de Green de los sistemas lineales. En particular para el oscilador con una amortiguación no muy alta\(\left(\delta<\omega_{0}\right.\), es decir\(\left.Q>1 / 2\right)\), imponiendo las condiciones límite\((33)\) en la solución de la ecuación homogénea\((9)\), obtenemos inmediatamente\[G(\tau)=\frac{1}{\omega_{0}{ }^{\prime}} e^{-\delta \tau} \sin \omega_{0}{ }^{\prime} \tau\] (El mismo resultado se puede obtener directamente de la Ec. (28) con la función de respuesta \(\chi(\omega)\)dada por la Ec. (19). Esta forma es, sin embargo, un poco más engorrosa, y se deja para el ejercicio del lector.)

Las relaciones (27) y (34) proporcionan una receta muy conveniente para resolver muchos problemas de oscilaciones forzadas. Como ejemplo muy sencillo, calculemos el proceso transitorio en un oscilador bajo el efecto de una fuerza constante que se enciende en\(t=0\), es decir proporcional a la función theta del tiempo:\[f(t)=f_{0} \theta(t) \equiv \begin{cases}0, & \text { for } t<0, \\ f_{0}, & \text { for } t>0,\end{cases}\] siempre que en\(t<0\) el oscilador estuviera en reposo, de modo que en la Ec. (15),\(q_{\text {free }}(t) \equiv 0\). Entonces la segunda forma de Eq. (27), y Eq. (34), yield\[q(t)=\int_{0}^{\infty} f(t-\tau) G(\tau) d \tau=f_{0} \int_{0}^{t} \frac{1}{\omega_{0}{ }^{\prime}} e^{-\delta \tau} \sin \omega_{0}{ }^{\prime} \tau d \tau .\] La forma más sencilla de elaborar tales integrales es representar la función sinusoidal debajo de ella como la parte imaginaria de\(\exp \left\{i \omega_{0}^{\prime} t\right\}\), y fusionar los dos exponentes, obteniendo\[q(t)=f_{0} \frac{1}{\omega_{0}^{\prime}} \operatorname{Im}\left[\frac{1}{-\delta+i \omega_{0}^{\prime}} e^{-\delta \tau+i \omega_{0}^{\prime} \tau}\right]_{0}^{t}=\frac{F_{0}}{k}\left[1-e^{-\delta t}\left(\cos \omega_{0}^{\prime} t+\frac{\delta}{\omega_{0}^{\prime}} \sin \omega_{0}^{\prime} t\right)\right]\]

Este resultado, trazado en la Figura 3, es bastante natural: no describe más que el transitorio desde la posición inicial\(q=0\) hasta la nueva posición de equilibrio\(q_{0}=f_{0} / \omega_{0}{ }^{2}=F_{0} / \kappa\), acompañado de oscilaciones en descomposición. Para esta función simple en particular\(f(t)\), también se podría obtener el mismo resultado introduciendo una nueva variable\(\widetilde{q}(t) \equiv q(t)-q_{0}\) y resolviendo la ecuación homogénea resultante para\(\widetilde{q}\) (con la condición inicial apropiada\(\ \widetilde{q}(0)=-q_{0}\). Sin embargo, para funciones más complicadas\(\ f(t)\) el enfoque de función de Green es insustituible.

Figura 5.3. El proceso transitorio en un oscilador lineal, inducido por una fuerza escalonada\(f(t)\), para el caso particular\(\delta / \omega_{0}=0.1\) (i.e.,\(Q=5\)).

Tenga en cuenta que para cualquier sistema lineal en particular, su función de Green debe calcularse solo una vez, y luego puede usarse repetidamente en la ecuación (27) para calcular la respuesta del sistema a diversas fuerzas externas, ya sea analítica o numéricamente. Esta propiedad hace que el enfoque funcional del Verde sea muy popular en muchos otros campos de la física\(-\) con la generalización o redefinición correspondiente de la función. \({ }^{14}\)

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\({ }^{1}\)Por la brevedad de la notación, en este capítulo bajaré índices “ef” en los componentes energéticos\(T\) y\(U\), y parámetros como\(m, \kappa\), etc. Sin embargo, el lector aún debe recordarlo\(T\) y\(U\) no necesariamente coinciden con la cinética y potencial real energías (aunque esas energías puedan ser identificadas de manera única) - ver Sec. 3.1.

\({ }^{2} \omega_{0}\)se suele llamar la propia frecuencia del oscilador. En mecánica cuántica, se usa más la versión germanizada del mismo término, eigenfrequency. En esta serie, utilizaré cualquiera de los términos, dependiendo del contexto.

\({ }^{3}\)Tenga en cuenta que esta es la llamada convención de física. La mayoría de los textos de ingeniería utilizan el signo opuesto en el exponente imaginario\(\exp \{-i \omega t\} \rightarrow \exp \{i \omega t\}\), con las implicaciones de signo correspondientes para fórmulas intermedias, pero (por supuesto) resultados finales similares para variables reales.

\({ }^{4}\)Aquí la Ec. (5) es tratada como un modelo fenomenológico, pero en la mecánica estadística, dicho término disipativo puede derivarse como una fuerza promedio ejercida sobre un sistema por su entorno, en supuestos muy generales. Como se discutió en detalle en otra parte de esta serie (SM Capítulo 5 y QM Capítulo 7), debido a los numerosos grados de libertad de un ambiente típico (piense en las moléculas de aire que rodean el péndulo mecánico habitual), su fuerza también tiene un componente aleatorio; como resultado, la disipación es fundamentalmente relacionados con las fluctuaciones. Estos últimos efectos pueden ser descuidados (como lo son en este curso) solo si\(E\) es mucho mayor que la escala de energía de las fluctuaciones aleatorias del oscilador -en el equilibrio térmico a temperatura\(T\), cuanto mayor sea\(k_{\mathrm{B}} T\) y\(\hbar \omega_{0} / 2\).

\({ }^{5}\)Los sistemas con alta amortiguación difícilmente\(\left(\delta>\omega_{0}\right)\) pueden llamarse osciladores, y aunque se utilizan en experimentos de ingeniería y física (por ejemplo, para el choque, vibración y aislamiento acústico), para su discusión detallada tengo que referir al lector interesado a literatura especial - ver, por ejemplo, C. Harris y A. Piersol, Manual de Choque y Vibración,\(5^{\text {th }}\) ed., McGraw Hill, 2002. Permítanme solo señalar que la dinámica de los sistemas con amortiguación muy alta\((\delta \gg>\)\(\omega_{0}\)) tiene dos escalas de tiempo muy diferentes: un “tiempo de relajación de impulso” relativamente corto\(1 / \lambda \approx 1 / 2 \delta=m / \eta\), y un “tiempo de relajación de coordenadas” mucho más largo\(1 / \lambda_{+} \approx 2 \delta / \omega_{0}{ }^{2}=\eta / \kappa\).

\({ }^{6}\)Esta es una jerga muy desafortunada, pero común, que significa “el sistema descrito por ecuaciones lineales de movimiento”.

\({ }^{7}\)Aquí, en contraste con la Ec. (3b), podemos caer al operador Re, asumiendo que\(f_{-\omega}=f_{\omega}{ }^{*}\), de manera que los componentes imaginarios de la suma se compensen entre sí.

\({ }^{8}\)En física, esta propiedad matemática de las ecuaciones lineales se denomina frecuentemente el principio de superposición lineal.

\({ }^{9}\)Obsérvese que el desplazamiento de fase\(\varphi \equiv \arg [\chi(\omega)]\) entre las oscilaciones y la fuerza externa (ver el panel derecho en la Figura 1) realiza su cambio más pronunciado, por\(\pi / 2\), dentro del mismo intervalo de frecuencia\(\Delta \omega\).

\({ }^{10}\)Dicha función de frecuencia se cumple en muchas ramas de la ciencia, frecuentemente bajo nombres especiales, entre ellos la “distribución Cauchy”, “la función Lorentz” (o “línea lorentziana”, o “distribución lorentziana”), “la función BreitWigner” (o “la distribución Breit-Wigner”), etc.

\({ }^{11}\)Permítanme esperar que el lector sepa que la Ec. (23) puede ser utilizada también para funciones periódicas; en tal caso,\(f_{\omega}\) es un conjunto de funciones delta equidistantes. (Se puede encontrar un recordatorio de las propiedades básicas\(\delta\) de la función Dirac, por ejemplo, en MA Sec. 14.)

\({ }^{12}\)La ecuación (26) sigue siendo cierta para cualquier sistema físico lineal en el que\(f(t)\) represente una causa, y\(q(t)\) su efecto. Siguiendo la tradición, discuto la expresión de dominio frecuencia-dominio de esta relación de causalidad (llamadas relaciones KramerSkronig) en la parte Electrodinámica Clásica de esta serie de conferencias - ver EM Sec. 7.2.

\({ }^{13}\)Técnicamente, para esta integración,\(t\) 'en la Ec. (27) se debería sustituir temporalmente por otra letra, digamos\(t\)”.

\({ }^{14}\)Véase, por ejemplo, EM Sec. 2.7 y QM Sec. \(2.2 .\)