5.2: Oscilaciones débilmente no lineales

En comparación con los sistemas discutidos en la última sección, que se describen mediante ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes y así permiten una solución analítica completa y exacta, las oscilaciones en sistemas no lineales (muy desafortunadamente pero comúnmente llamadas oscilaciones no lineales) presentan un complejo y , generalmente, problema analíticamente intratable. Sin embargo, se puede obtener mucha información sobre los posibles procesos en dichos sistemas a partir de una discusión de un caso importante de sistemas débilmente no lineales, que puede ser explorado analíticamente. Un ejemplo importante de tales sistemas lo da un oscilador anarmónico, un sistema 1D cuyos términos más altos en la expansión potencial (3.10) no se pueden descuidar, sino que son pequeños y pueden contabilizarse aproximadamente. Si, además, la amortiguación es baja (o insignificante), y la fuerza armónica externa ejercida sobre el sistema no es demasiado grande, la ecuación de movimiento es una versión ligeramente modificada de la Ec. (13):\[\ddot{q}+\omega^{2} q=f(t, q, \dot{q}, \ldots),\] donde\(\omega \approx \omega_{0}\) está la frecuencia anticipada de oscilaciones (cuya elección es en cierta medida arbitraria ver abajo), y el lado derecho\(f\) es pequeño (digamos, escalas como algún pequeño parámetro adimensional\(\varepsilon<<\) 1), y puede considerarse como una pequeña perturbación.

Dado que en\(\varepsilon=0\) esta ecuación tiene la solución sinusoidal dada por la Ec. (3), uno podría pensar ingenuamente que a un distinto de cero pero pequeño\(\varepsilon\), la solución aproximada a la Ec. (38) debe buscarse en la forma\[q(t)=q^{(0)}+q^{(1)}+q^{(2)}+\ldots, \quad \text { where } q^{(n)} \propto \varepsilon^{n},\] con\(q^{(0)}=A \cos \left(\omega_{0} t-\varphi\right) \propto \varepsilon^{0}\). Este es un buen ejemplo de razonamiento matemático aparentemente impecable que conduciría a un procedimiento muy ineficiente. En efecto, vamos a aplicarlo al problema para el que ya conocemos la solución exacta, es decir, las oscilaciones libres en un oscilador lineal pero amortiguado, para esta ocasión suponiendo que la amortiguación sea muy baja,\(\delta / \omega_{0} \sim \varepsilon<<1\). La ecuación de movimiento correspondiente, la Ec. (6), puede representarse en forma (38) si tomamos\(\omega=\omega_{0}\) y\[f=-2 \delta \dot{q}, \quad \text { with } \delta \propto \varepsilon .\] El enfoque ingenuo descrito anteriormente nos permitiría encontrar pequeñas correcciones, del orden de\(\delta\), a las oscilaciones libres, no decayentes\(A \cos \left(\omega_{0} t-\varphi\right)\). Sin embargo, ya sabemos por la ecuación (9) que el efecto principal de la amortiguación es una disminución gradual de la amplitud de oscilación libre a cero, es decir, un cambio muy grande de la amplitud, aunque a baja amortiguación\(\delta<<\omega_{0}\), esta disminución lleva mucho tiempo\(t \sim \tau>>1 / \omega_{0}\). Por lo tanto, si queremos que nuestro método aproximado sea productivo (es decir, trabajar en todas las escalas de tiempo, en particular para oscilaciones forzadas con amplitud y fase estacionarias), necesitamos tener en cuenta el hecho de que el lado derecho pequeño de la ecuación (38) puede eventualmente conducir a cambios esenciales de la amplitud de la oscilación \(A\)(y a veces, como veremos más adelante, también de la fase de oscilación\(\varphi\)) en grandes momentos, debido a los efectos que se acumulan lentamente de la pequeña perturbación. \({ }^{15}\)

Este objetivo se puede lograr\({ }^{16}\) por el recuento de estos lentos cambios ya en la "\(0^{\text {th }}\)aproximación”, es decir, la parte básica de la solución en la expansión (39):\[q^{(0)}=A(t) \cos [\omega t-\varphi(t)], \quad \text { with } \dot{A}, \dot{\varphi} \rightarrow 0 \quad \text { at } \varepsilon \rightarrow 0\] (Es evidente que la Ec. (9) es un caso particular de esta forma.) Permítanme discutir este enfoque utilizando un ejemplo simple pero representativo de un péndulo disipativo (pero alto\(Q\)) impulsado por una fuerza externa sinusoidal débil con una frecuencia casi resonante:\[\ddot{q}+2 \delta \ddot{q}+\omega_{0}^{2} \sin q=f_{0} \cos \omega t,\] con\(\left|\omega-\omega_{0}\right|, \delta<<\omega_{0}\), y la amplitud de fuerza\(f_{0}\) tan pequeña que\(|q|<<1\) en todo momento. Por lo que sabemos sobre las oscilaciones forzadas de la Sec. 1, en este caso es natural identificarse\(\omega\) en el lado izquierdo de la ecuación (38) con la frecuencia de la fuerza. \(\sin q\)Ampliándose a la serie Taylor en pequeño\(q\), manteniendo solo los dos primeros términos de esta expansión, y moviendo todos los términos pequeños hacia el lado derecho, podemos reescribir la ecuación (42) en la siguiente forma popular (38):\({ }^{17}\)\[\ddot{q}+\omega^{2} q=-2 \delta \ddot{q}+2 \xi \omega q+\alpha q^{3}+f_{0} \cos \omega t \equiv f(t, q, \dot{q}) .\] Aquí\(\alpha=\omega_{0}^{2} / 6\) en el caso del péndulo (aunque los cálculos a continuación serán válidos para cualquiera\(\alpha\)), y el segundo término en el lado derecho se obtuvo utilizando la aproximación ya empleada en la Sec. \(1:\left(\omega^{2}-\omega_{0}^{2}\right) q \approx 2 \omega\left(\omega-\omega_{0}\right) q=2 \omega \xi q\), donde\(\xi \equiv \omega-\omega_{0}\) está el parámetro de desafinación que ya se utilizó anteriormente - ver Ec. (21).

Ahora, siguiendo la receta general expresada por las ecuaciones (39) y (41), en la\(1^{\text {st }}\) aproximación en\(f\)\(\propto \varepsilon\) podemos buscar la solución a la Eq. (43) en la siguiente forma:\({ }^{18}\)\[q(t)=A \cos \Psi+q^{(1)}(t), \quad \text { where } \Psi \equiv \omega t-\varphi, \quad q^{(1)} \sim \varepsilon .\] Tapemos esta solución en ambas partes de la Ec. (43), manteniendo únicamente los términos del primer orden en \(\varepsilon\). Gracias a nuestra elección (inteligente: -) del\(\omega\) lado izquierdo de esa ecuación, los dos términos de orden cero en esa parte se cancelan entre sí. Además, dado que cada término del lado derecho de la Ec. (43) ya es del orden de\(\varepsilon\), podemos caer\(q^{(1)} \propto \varepsilon\) de la sustitución a esa parte en absoluto, porque esto nos daría sólo términos\(O\left(\varepsilon^{2}\right)\) o superiores. Como resultado, obtenemos la siguiente ecuación aproximada:\[\ddot{q}^{(1)}+\omega^{2} q^{(1)}=f^{(0)} \equiv-2 \delta \frac{d}{d t}(A \cos \Psi)+2 \xi \omega(A \cos \Psi)+\alpha(A \cos \Psi)^{3}+f_{0} \cos \omega t .\] De acuerdo con la Ec. (41), generalmente,\(A\) y se\(\varphi\) deben considerar funciones (lentas) del tiempo. Sin embargo, dejemos los análisis del proceso transitorio y la estabilidad del sistema hasta la siguiente sección, y utilicemos la ecuación (45) para encontrar oscilaciones estacionarias en el sistema, que se establecen después de un transitorio inicial. Para esa tarea limitada, podemos tomar\(A=\) const,\(\varphi=\) const, de modo que\(q^{(0)}\) represente oscilaciones sinusoidales de frecuencia\(\omega\). Clasificando los términos en el lado derecho según su dependencia del tiempo,\({ }^{19}\) vemos que tiene términos con frecuencias\(\omega\) y\(3 \omega\):\[f^{(0)}=\left(2 \xi \omega A+\frac{3}{4} \alpha A^{3}+f_{0} \cos \varphi\right) \cos \Psi+\left(2 \delta \omega A-f_{0} \sin \varphi\right) \sin \Psi+\frac{1}{4} \alpha A^{3} \cos 3 \Psi .\] Ahora viene el punzón principal del enfoque de van der Pol: matemáticamente, la Eq. (45) puede verse como la ecuación de oscilaciones en un lineal, oscilador armónico libre de disipación de frecuencia\(\omega\) (no\(\omega_{0} !\)) bajo la acción de una fuerza externa\(f(t)\) representada por el lado derecho de la ecuación. En nuestro caso particular, tiene tres términos: dos componentes de “cuadratura” a esa misma frecuencia\(\omega\), y el tercero en frecuencia\(3 \omega\). Como sabemos por nuestro análisis de este problema en la Sec. 1, si alguno de los dos primeros componentes no es igual a cero,\(q^{(1)}\) crece hasta el infinito - ver Eq. (19) con\(\delta=0\). Al mismo tiempo, por la estructura misma de la aproximación van der Pol,\(q^{(1)}\) tiene que ser finita\(-\) además, ¡pequeña! La única manera de salir de esta contradicción es exigir que las amplitudes de ambas componentes de cuadratura de\(f^{(0)}\) con frecuencia\(\omega\) sean iguales a cero:\[2 \xi \omega A+\frac{3}{4} \alpha A^{3}+f_{0} \cos \varphi=0, \quad 2 \delta \omega A-f_{0} \sin \varphi=0 .\] Estas dos ecuaciones de equilibrio armónico nos permiten encontrar ambos parámetros de las oscilaciones forzadas: su amplitud\(A\) y fase\(\varphi\). La fase puede eliminarse fácilmente de este sistema (más fácilmente, expresando\(\sin \varphi\) y\(\cos \varphi\) a partir de las ecuaciones (47), y luego requiriendo que sea igual\(\operatorname{sum} \sin ^{2} \varphi+\cos ^{2} \varphi\) a 1), y la solución para\(A\) refundir en la siguiente forma implícita pero conveniente:\[A^{2}=\frac{f_{0}^{2}}{4 \omega^{2}} \frac{1}{\xi^{2}(A)+\delta^{2}}, \quad \text { where } \xi(A) \equiv \xi+\frac{3}{8} \frac{\alpha A^{2}}{\omega}=\omega-\left(\omega_{0}-\frac{3}{8} \frac{\alpha A^{2}}{\omega}\right) .\] Esta expresión difiere de la Ec. (22) para la resonancia lineal en el límite de baja amortiguación solo por la sustitución del\(\xi\) desintonizado por su valor efectivo dependiente de la amplitud\(\xi(A)\) - o, equivalentemente, la sustitución de la frecuencia\(\omega_{0}\) del oscilador por su valor efectivo, dependiente de la amplitud\[\omega_{0}(A)=\omega_{0}-\frac{3}{8} \frac{\alpha A^{2}}{\omega} .\] El significado físico de\(\omega_{0}(A)\) es simple: esto es solo la frecuencia de oscilaciones libres de amplitud\(A\) en un sistema no lineal similar, pero con amortiguación cero. \({ }^{20}\)En efecto, para\(\delta=0\) y\(f_{0}=0\) podríamos repetir nuestros cálculos, asumiendo que\(\omega\) es una frecuencia propia dependiente de la amplitud\(\omega_{0}(A)\). Entonces la segunda de las Ecuaciones (47) queda trivialmente satisfecha, mientras que la segunda de ellas da la Eq. (49). La relación implícita (48) nos permite dibujar las curvas de esta resonancia no lineal simplemente doblando las gráficas de resonancia lineal (Figura 1) de acuerdo con la llamada curva esqueleto expresada por la Ec. (49). La Figura 4 muestra el resultado de este procedimiento. Obsérvese que a pequeña amplitud\(\omega(A) \rightarrow \omega_{0}\), es decir, volvemos a la resonancia habitual, “lineal” (22).

Para llevar nuestra solución a su conclusión lógica, aún debemos encontrar la primera perturbación\(q^{(1)}(t)\) de lo que queda de la ecuación (45). Dado que la estructura de esta ecuación es similar a la Eq. (13) con la fuerza de frecuencia\(3 \omega\) y amortiguación cero, podemos usar las ecuaciones (16) - (17) para obtener\[q^{(1)}(t)=-\frac{1}{32 \omega^{2}} \alpha A^{3} \cos 3(\omega t-\varphi) .\] Sumando esta perturbación (¡anote el signo negativo!) a la oscilación sinusoidal (41), vemos que a medida que crece la amplitud\(A\) de las oscilaciones en un sistema con\(\alpha>0\) (por ejemplo, un péndulo), su forma de onda se vuelve un poco más “roma” cerca de las mayores desviaciones del equilibrio.

Figura 5.4. La resonancia no lineal en el oscilador Duffing, como se describe en la Ec. (48), para el caso particular\(\alpha=\omega_{0}^{2} / 6, \delta / \omega=0.01\) (i.e.\(Q=50\)), y varios valores del parámetro\(f_{0} / \omega_{0}{ }^{2}\), aumentaron en pasos iguales\(0.005\) de 0 a\(0.03\).

La misma Ec. (50) también permite una estimación del rango de validez de nuestra primera aproximación: ya que se ha basado en el supuesto\(\left|q^{(1)}\right|<<\left|q^{(0)}\right| \leq A\), para este problema en particular tenemos que requerir\(\alpha A^{2} / 32 \omega^{2}<<1\). Para un péndulo (es decir, para\(\alpha=\omega_{0}^{2} / 6\)), esta condición se vuelve\(A^{2}<<192\). Aunque los coeficientes numéricos en desigualdades tan fuertes deben tomarse con un grano de sal, la gran magnitud de este coeficiente en particular da una buena pista de que el método puede dar resultados muy precisos incluso para oscilaciones relativamente grandes con\(A \sim 1\). En la Sec. 7 a continuación, veremos que efectivamente es así.

Desde el punto de vista matemático, el siguiente paso sería escribir la siguiente aproximación como\[q(t)=A \cos \Psi+q^{(1)}(t)+q^{(2)}(t), \quad q^{(2)} \sim \varepsilon^{2},\] y conectarla a la ecuación Duffing (43), que (gracias a nuestra elección especial de\(q^{(0)}\) y\(q^{(1)}\)) retendría solo la suma\(\ddot{q}^{(2)}+\omega^{2} q^{(2)}\) en su lado izquierdo. Nuevamente, requiriendo que las amplitudes de dos componentes de cuadratura de la frecuencia\(\omega\) en el lado derecho desaparecieran, podemos obtener correcciones de segundo orden a\(A\) y\(\varphi\). Entonces podemos usar la parte restante de la ecuación para calcular\(q^{(2)}\), y luego ir tras los términos de tercer orden, etc. Sin embargo, para la mayoría de los propósitos, la suma\(q^{(0)}+q^{(1)}\), y a veces incluso solo la aproximación más cruda por\(q^{(0)}\) sí sola, son completamente suficientes. Por ejemplo, de acuerdo con la Ec. (50), para un péndulo simple que se balancea tanto como entre las posiciones horizontales opuestas\((A=\pi / 2)\), la corrección de\(1^{\text {st }}\) orden\(q^{(1)}\) es del orden de\(0.5 \%\). (Poco más allá de este valor, comienzan fenómenos dinámicos completamente nuevos\(-\) ver Sec. 7 a continuación\(-\) pero no pueden describirse en absoluto por estas sucesivas aproximaciones). Debido a tales razones, rara vez se persiguen aproximaciones más altas para sistemas particulares.

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\({ }^{15}\)El mismo enfoque flexible es necesario para aproximaciones utilizadas en mecánica cuántica. El método aquí discutido es mucho más cercano en espíritu (aunque no completamente idéntico) a la aproximación WKB (ver, por ejemplo, QM Sec. 2.4) en lugar de la mayoría de los enfoques perturbadores (QM Ch. 6).

\({ }^{16}\)La idea básica de este enfoque fue supuestamente sugerida en 1920 por Balthasar van der Pol, y su primera aproximación (en la que me centraré) se llama frecuentemente el método van der Pol. Sin embargo, en óptica y mecánica cuántica, se le llama más comúnmente la Aproximación de Onda Rotatoria (RWA). En los textos orientados a las matemáticas, este enfoque, especialmente sus extensiones a aproximaciones superiores, suele denominarse método de parámetros pequeños o método asintótico. La lista de otros científicos acreditados por el desarrollo de este método, sus variaciones y extensiones incluye, más notablemente, a N. Krylov, N. Bogolyubov y Yu. Mitroplolski.

\({ }^{17}\)Esta ecuación se llama frecuentemente la ecuación Duffing (o la ecuación del oscilador Duffing), después de Georg Duffing quien realizó su primer análisis (bastante incompleto) en\(1918 .\)

\({ }^{18}\)Para un tratamiento matemáticamente riguroso de aproximaciones superiores, véase, e.g., Yu. Mitropolsky y N. Dao, Métodos asintóticos aplicados en oscilaciones no lineales, Springer, 2004. En el texto clásico A. Andronov, A. Vitt, y S. Khaikin, Theory of Oscillators, Dover, se puede encontrar una discusión más laica (y, según los estándares actuales, algo verbosa) sobre diversos fenómenos oscilatorios,\(2011 .\)

\({ }^{19}\)Usando el segundo de Eqs. (44),\(\cos \omega t\) puede ser reescrito como\(\cos (\Psi+\varphi) \equiv \cos \Psi \cos \varphi-\sin \Psi \sin \varphi\). Luego usando la identidad dada, por ejemplo, por MA Eq. (3.4):\(\cos ^{3} \Psi=(3 / 4) \cos \Psi+(1 / 4) \cos 3 \Psi\), obtenemos la Eq. (46).

\({ }^{20}\)El efecto de la dependencia de la frecuencia del péndulo en su amplitud de oscilación fue observado ya en 1673 por Christiaan Huygens, quien por cierto había inventado el reloj de péndulo, aumentando la precisión de cronometraje en aproximadamente tres órdenes de magnitud (y también descubrió la más grande de las lunas de Saturno, Titán).