5.6: Clasificación de Punto Fijo

Las ecuaciones reducidas (79) nos dan un buen pretexto para una breve discusión de un importante tema general de la dinámica: puntos fijos de un sistema descrito por dos ecuaciones diferenciales de primer orden independientes del tiempo con coeficientes independientes del tiempo. \({ }^{29}\)Después de su linealización cerca de un punto fijo, las ecuaciones para desviaciones siempre se pueden expresar en la forma similar a la Ec. (79):\[\begin{aligned} &\dot{\tilde{q}}_{1}=M_{11} \widetilde{q}_{1}+M_{12} \widetilde{q}_{2}, \\ &\dot{\widetilde{q}}_{2}=M_{21} \widetilde{q}_{1}+M_{22} \widetilde{q}_{2}, \end{aligned}\] donde\(M_{i j^{\prime}}\) (con\(j, j^{\prime}=1,2\)) son algunos escalares reales, que pueden verse como los elementos de una\(2 \times 2\) matriz M. Buscando un exponencial solución del tipo (80),\[\widetilde{q}_{1}=c_{1} e^{\lambda t}, \quad \widetilde{q}_{2}=c_{2} e^{\lambda t},\] obtenemos un sistema general de dos ecuaciones lineales para los coeficientes de distribución\(c_{1,2}\):\[\begin{aligned} &\left(M_{11}-\lambda\right) c_{1}+M_{12} c_{2}=0, \\ &M_{21} c_{1}+\left(M_{22}-\lambda\right) c_{2}=0 . \end{aligned}\] Estas ecuaciones son consistentes si nos\[\left|\begin{array}{cc} M_{11}-\lambda & M_{12} \\ M_{21} & M_{22}-\lambda \end{array}\right|=0\] dan una ecuación característica cuadrática:\[\lambda^{2}-\lambda\left(M_{11}+M_{22}\right)+\left(M_{11} M_{22}-M_{12} M_{21}\right)=0 .\] Su solución,\({ }^{30}\)\[\lambda_{\pm}=\frac{1}{2}\left(M_{11}+M_{22}\right) \pm \frac{1}{2}\left[\left(M_{11}-M_{22}\right)^{2}+4 M_{12} M_{21}\right]^{1 / 2},\] muestra que la son posibles las siguientes situaciones:

A. La expresión bajo la raíz cuadrada,\(\left(M_{11}-M_{22}\right)^{2}+4 M_{12} M_{21}\), es positiva. En este caso, ambos exponentes característicos\(\lambda_{\pm}\) son reales, y podemos distinguir tres subcasos:

(i) Ambos\(\lambda_{+}\) y\(\lambda_{-}\) son negativos. Como muestran las ecuaciones (88), en este caso las desviaciones\(\widetilde{q}\) tienden a cero en\(t \rightarrow \infty\), es decir, el punto fijo es estable. Debido a las magnitudes generalmente diferentes de los exponentes\(\lambda_{\pm}\), el proceso representado en el plano de fase\(\left[\widetilde{q}_{1}, \widetilde{q}_{2}\right]\) (ver Figura 8a, con las flechas continuas, por ejemplo) puede verse como que consta de dos etapas: primero, una relajación más rápida (con la velocidad\(\left|\lambda_{-}\right|>\left|\lambda_{+}\right|\)) a una asíntota lineal,\({ }^{31}\) y luego una disminución más lenta, con la tasa\(\left|\lambda_{+}\right|\), a lo largo de esta línea, es decir, a una relación prácticamente fija de las variables. Tal punto fijo se llama el nodo estable.

Figura 5.8. Trayectorias típicas en el plano de fase\(\left[\widetilde{q}_{1}, \widetilde{q}_{2}\right]\) cerca de puntos fijos de diferentes tipos: (a) nodo, (b) silla de montar, (c) foco y (d) centro. Los elementos particulares de la matriz M, utilizados en los tres primeros paneles, corresponden a las ecuaciones (81) para la excitación paramétrica, con\(\xi=\delta\) y tres valores diferentes de la relación\(\mu \omega / 4 \delta\): (a)\(1.25\), (b)\(1.6\) y (c) 0.

(ii) Ambos\(\lambda_{+}\) y\(\lambda_{\text {are positive. This case of an unstable node differs from the previous }}\) uno solo por la dirección del movimiento a lo largo de las trayectorias del plano de fase - ver las flechas discontinuas en la Figura 8a. Aquí la relación variable también se acerca a una constante pronto, ahora la correspondiente a\(\lambda_{+}>\lambda\).

(iii) Finalmente, en el caso de una silla de montar\(\left(\lambda_{+}>0, \lambda_{-}<0\right)\), la dinámica del sistema es diferente (Figura 8b): después de la\(\lambda_{-} \mid\) relajación a una asíntota, la perturbación comienza a crecer, con la velocidad\(\lambda_{+}\), en una de dos direcciones opuestas. (La dirección se determina en qué lado de otra línea recta, llamada separatriz, el sistema ha estado inicialmente.) Entonces el sillín\({ }^{32}\) es un punto fijo inestable.

B. La expresión bajo la raíz cuadrada en la Ec. (92),\(\left(M_{11}-M_{22}\right)^{2}+4 M_{12} M_{21}\), es negativa. En este caso, la raíz cuadrada es imaginaria, haciendo iguales las partes reales de ambas raíces\(\operatorname{Re} \lambda_{\pm}=\left(M_{11}+M_{22}\right) / 2\), y sus partes imaginarias iguales pero opuestas. Como resultado, aquí puede haber solo dos tipos de puntos fijos:

(i) Enfoque estable, at\(\left(M_{11}+M_{22}\right)<0\). Las trayectorias del plano de fase son espirales que van al origen (es decir, hacia el punto fijo) - ver Figura\(8 \mathrm{c}\) con la flecha sólida.

(ii) El enfoque inestable, que tiene lugar en\(\left(M_{11}+M_{22}\right)>0\), difiere del estable solo por la dirección del movimiento a lo largo de las trayectorias de fase - ver la flecha discontinua en la misma Figura 8c.

C. Frecuentemente, también se distingue el caso fronterizo\(M_{11}+M_{22}=0\), correspondiente a la estabilidad orbital (“indiferente”) ya discutida en la Sec. 3.2, y el punto fijo correspondiente se denomina centro (Figura 8d). Considerar los centros como una categoría separada tiene sentido porque tales puntos fijos son típicos de los sistemas hamiltonianos, cuya primera integral de movimiento puede representarse frecuentemente como la distancia del punto de fase desde un punto fijo. Por ejemplo, introduciendo nuevas variables\(\widetilde{q}_{1} \equiv \tilde{q}, \tilde{q}_{2} \equiv m \dot{\tilde{q}}_{1}\), podemos reescribir la Eq. (3.12) de un oscilador armónico sin disipación (nuevamente, con índices “ef” caídos por brevedad), como un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden:\[\dot{\tilde{q}}_{1}=\frac{1}{m} \widetilde{q}_{2}, \quad \dot{\widetilde{q}}_{2}=-\kappa \tilde{q}_{1},\] es decir, como un caso particular de la Ec. (87), con\(M_{11}=M_{22}=0\), y\(M_{12} M_{21}=-\kappa / m \equiv-\omega_{0}^{2}<0\), y por lo tanto\(\left(M_{11}-\right.\)\(\left.M_{22}\right)^{2}+4 M_{12} M_{21}=-4 \omega_{0}^{2}<0\), y\(M_{11}+M_{22}=0\). En el plano de fase simétrico\(\left[\widetilde{q}_{1}, \widetilde{q}_{2} / Z\right]\), donde el parámetro\(Z \equiv(\kappa m)^{1 / 2} \equiv m \omega_{0}\) es la impedancia del oscilador, las oscilaciones sinusoidales de amplitud\(A\) están representadas por un círculo de radio\(A\) alrededor del punto fijo de tipo central\(A=0\). En el caso cuando\(\widetilde{q}_{1} \equiv \widetilde{q}\) es la coordenada lineal\(q\) de un oscilador mecánico real, de modo que ese\(\widetilde{q}_{2} \equiv m \dot{\widetilde{q}}_{1}\) es su momento lineal\(p=m \dot{q}\), tal trayectoria circular corresponde a la conservación de la energía del oscilador\[E \equiv T+U \equiv \frac{p^{2}}{2 m}+\frac{\kappa q^{2}}{2} \equiv \frac{\kappa}{2}\left[\widetilde{q}_{1}^{2}+\left(\frac{\widetilde{q}_{2}}{Z}\right)^{2}\right]=\frac{\kappa A^{2}}{2}=\mathrm{const}\] Este es un momento conveniente para una breve discusión de el llamado plano Poincaré (o “variable lenta”, o “estroboscopico”). \({ }^{33}\)Desde el punto de vista de la ecuación básica (41), las oscilaciones sinusoidales\(q(t)\)\(=A \cos (\omega t-\varphi)\), descritas por una trayectoria circular en el plano de fase real (simétrico), corresponden a un punto fijo\(\{A, \varphi\}\), que puede ser convenientemente representado por un punto geométrico estacionario en el plano con estas coordenadas polares - ver Figura 9a. (Como se desprende de la Ec. (4), las coordenadas cartesianas del punto en ese plano son solo las variables\(u \equiv A \cos \varphi\) y\(v \equiv A \cos \varphi\) que se utilizaron, en particular, en la última sección.) El proceso cuasi-sinusoidal (41), con cambios lentos\(A\) y\(\varphi\), puede ser representado por una cámara lenta de ese punto en este plano de Poincaré.

Figura 5.9. a) Representación de una oscilación sinusoidal (punto) y un proceso transitorio lento (línea) en el plano Poincaré, y (b) la relación entre el plano de fase “rápido” y el plano “lento” (Poincaré).

La figura\(9 \mathrm{~b}\) muestra una manera conveniente de visualizar la relación entre el plano de fase real de un oscilador, con las coordenadas simétricas “rápidas”\(q\) y\(p / m \omega\), y el plano de Poincaré con las coordenadas “lentas”\(u\) y\(v\): este último plano gira en relación con el primero uno, sobre el origen, en el sentido de las agujas del reloj, con la velocidad angular\(\omega .{ }^{34}\) Otra forma “estroboscópica” de generar el patrón plano Poincare es echar un vistazo rápido al plano de fase “real” solo una vez durante el período de oscilación\(T=2 \pi / \omega\).

En muchos casos, la representación en el plano Poincaré es más conveniente que la del plano de fase “real”. En particular, ya hemos visto que las ecuaciones reducidas para fenómenos tan importantes como el bloqueo de fase y las oscilaciones paramétricas, cuyas ecuaciones diferenciales originales incluyen explícitamente el tiempo, son independientes del tiempo - cf., e.g.,\((75)\) y\((79)\) describiendo este último efecto. Esta simplificación lleva las ecuaciones a la categoría considerada anteriormente en esta sección, y permite una clasificación fácil de sus puntos fijos, lo que puede arrojar luz adicional sobre sus propiedades dinámicas.

En particular, la Figura 10 muestra la clasificación del único punto fijo (trivial)\(A_{1}=0\) en el plano Poincaré del oscilador paramétrico, que se desprende de la Ec. (83). A medida que aumenta la profundidad\(\mu\) de modulación del parámetro, el tipo de este punto fijo cambia de un foco estable (pertinente a un oscilador simple con amortiguación) a un nodo estable y luego a un sillín que describe la excitación paramétrica. En el último caso, las dos direcciones del crecimiento de perturbación, tan destacadas en la Figura\(8 \mathrm{~b}\), corresponden a los dos posibles valores de la fase de oscilación\(\varphi\), con la elección de fase determinada por las condiciones iniciales.

Fig. 5.10. Tipos del punto fijo trivial de un oscilador paramétrico.

Esta doble degeneración de la fase de la oscilación paramétrica ya podría notarse a partir de las ecuaciones (77), porque evidentemente son invariantes con respecto al reemplazo\(\varphi \rightarrow \varphi+\pi\). Además, la degeneración no es un artefacto de la aproximación de van der Pol, porque la ecuación inicial (75) ya es invariante con respecto al reemplazo correspondiente\(q(t) \rightarrow q(t-\pi / \omega)\). Esta invarianza significa que todas las demás características (incluyendo la amplitud) de las oscilaciones paramétricas excitadas con cualquiera de las dos fases son exactamente similares. En los albores de la era informática (a finales de la década de 1950 y principios\(1960 \mathrm{~s}\)), hubo intentos sustanciales, especialmente en Japón, de utilizar esta propiedad para almacenar y procesar información digital codificada en forma binaria de fase. Aunque estos intentos no han sobrevivido a la competencia con enfoques más simples basados en la codificación binaria de voltaje, algunas tendencias actuales en el desarrollo de computadoras reversibles y cuánticas prospectivas se remontan a esa idea.

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\({ }^{29}\)Los sistemas autónomos descritos por una única ecuación diferencial homogénea de segundo orden, digamos\(F(q, \dot{q}, \ddot{q})=0\), también pertenecen a esta clase, porque siempre podemos tratar la velocidad generalizada\(\dot{q} \equiv v\) como una nueva variable, y usar esta definición como una ecuación diferencial de primer orden, mientras que la inicial ecuación, en la forma\(F(q, v, \dot{v})=0\), como la segunda ecuación de primer orden.

\({ }^{30}\)En el lenguaje del álgebra lineal,\(\lambda_{\pm}\) son los valores propios, y los conjuntos correspondientes de los coeficientes de distribución\(\left[c_{1}, c_{2}\right]_{\pm}\) son los vectores propios de la matriz\(\mathrm{M}\) con elementos\(M_{j j}\) '.

\({ }^{31}\)La dirección de la asíntota se puede encontrar tapando el valor de\(\lambda_{+}\) nuevo en la ecuación (89) y encontrando la relación correspondiente\(c_{1} / c_{2}\). Obsérvese que la separación de la evolución del sistema en las dos etapas es condicional, siendo más vívida en el caso de una gran diferencia entre los exponentes\(\lambda_{+}\) y\(\lambda\).

\({ }^{32}\)El término “silla de montar” se debe a que en este caso, la dinámica del sistema es cualitativamente similar a la de un movimiento fuertemente amortiguado en un potencial 2D que\(U\left(\widetilde{q}_{1}, \widetilde{q}_{2}\right)\) tiene la forma de una silla de montar de caballo (o un paso de montaña).

\({ }^{33}\)El nombre de Jules Henri Poincaré\((1854-1912)\), a quien se le atribuye, entre muchos otros logros en física y matemáticas, por sus contribuciones a la relatividad especial (véase, por ejemplo, EM Capítulo 9), y la idea básica de trayectorias inestables responsables del caos determinista, que se discutirá en Capítulo 9 de este curso.

\({ }^{34}\)Esta noción de rotación del plano de fase es el origen del término “Aproximación de Ondas Rotativas”, mencionado anteriormente. (La palabra “onda” es un artefacto de la amplia aplicación de este método en óptica clásica y cuántica).