5.5: Excitación paramétrica

En ambos problemas resueltos en el último apartado, el análisis de estabilidad fue sencillo ya que se podía llevar a cabo para una sola variable lenta, ya sea de amplitud o de fase. De manera más general, dicho análisis de las ecuaciones reducidas involucra ambas variables. Un ejemplo clásico de tal situación lo proporciona un fenómeno físico importante: la excitación paramétrica de las oscilaciones. Un ejemplo sencillo de dicha excitación lo da un péndulo con un parámetro variable, por ejemplo, la longitud de la suspensión\(l(t)\) - ver Figura 6. Los experimentos (incluyendo aquellos con columpios en el patio de recreo: -) y simulaciones numéricas muestran que si la longitud se cambia (modula) periódicamente, con alguna frecuencia\(2 \omega\) cercana a\(2 \omega_{0}\), y una oscilación suficientemente grande\(\Delta l\), la posición de equilibrio del péndulo se vuelve inestable, y comienza a oscilar con frecuencia\(\omega\) igual exactamente a la mitad de la frecuencia de modulación (y por lo tanto solo aproximadamente igual a la frecuencia promedio\(\omega_{0}\) del oscilador).

Figura 5.6. Excitación paramétrica de un péndulo.

Para un análisis elemental de este efecto, podemos considerar el caso más simple cuando las oscilaciones son pequeñas. En el punto más bajo\((\theta=0)\), donde el péndulo se mueve con la velocidad más alta\(v_{\text {max }}\), la tensión de la cuerda de suspensión\(\mathscr{T}\) es mayor que\(m g\) por la fuerza centrípeta:\(\mathscr{T}_{\max }=m g+m v_{\max }^{2} / l\). Por el contrario, a la desviación máxima del péndulo del equilibrio, la fuerza es menor que\(m g\), debido a la inclinación de la cuerda:\(\mathscr{T}_{\min }=m g \cos \theta_{\max }\). Utilizando la conservación de energía\(E=m v_{\max }^{2} / 2=\)\(m g l\left(1-\cos \theta_{\max }\right)\),, podemos expresar estos valores como\(\mathscr{T}_{\max }=m g+2 E / l\) y\(\mathscr{T}_{\min }=m g-E / l\). Ahora bien, si durante cada periodo de oscilación la cuerda es levantada ligeramente por\(\Delta l\) (con\(|\Delta l|<<l\)) en cada uno de sus dos pasajes por el punto más bajo, y se deja bajar por la misma cantidad en cada uno de los dos puntos de la desviación máxima, el trabajo neto de la fuerza externa por periodo es positivo: \[\mathscr{W} \approx 2\left(\mathscr{T}_{\max }-\mathscr{T}_{\min }\right) \Delta l \approx 6 \frac{\Delta l}{l} E,\]y por lo tanto aumenta la energía del oscilador. Si la oscilación del parámetro\(\Delta l\) es suficiente, este aumento puede sobrecompensar la energía drenada por la amortiguación durante el mismo período. Cuantitativamente, la Ec. (10) muestra que la baja amortiguación\(\left(\delta<\omega_{0}\right)\) conduce a la siguiente disminución de energía,\[\Delta E \approx-4 \pi \frac{\delta}{\omega_{0}} E \text {, }\] por periodo de oscilación. Comparando las ecuaciones (72) y (73), vemos que el flujo de energía neta hacia las oscilaciones es positivo, es decir\(\mathscr{W}+\Delta E>0\), la amplitud de oscilación tiene que crecer si\(^{26}\)\[\frac{\Delta l}{l}>\frac{2 \pi \delta}{3 \omega_{0}} \equiv \frac{\pi}{3 Q} .\] Dado que este resultado es independiente de la energía de oscilación\(E\), el crecimiento de energía y amplitud es exponencial (hasta \(E\)llega a ser tan grande que algunos de nuestros supuestos fracasan), por lo que la Ec. (74) es la condición de excitación paramétrica -en este sencillo modelo.

Sin embargo, este resultado no tiene en cuenta una posible diferencia entre la frecuencia de oscilación\(\omega\) y la frecuencia propia\(\omega_{0}\), y tampoco aclara si se puede mantener el mejor desplazamiento de fase entre las oscilaciones y la modulación de parámetros, asumida en el cálculo anterior automáticamente. Para abordar estas cuestiones, podemos aplicar el enfoque de van der Pol a un modelo simple pero razonable:\[\ddot{q}+2 \delta \ddot{q}+\omega_{0}^{2}(1+\mu \cos 2 \omega t) q=0,\] describir la excitación paramétrica en un oscilador lineal con una modulación sinusoidal del parámetro\(\omega_{0}^{2}(t)\). Reescribiendo esta ecuación en la forma canónica (38),\[\ddot{q}+\omega^{2} q=f(t, q, \dot{q}) \equiv-2 \delta \ddot{q}+2 \xi \omega q-\mu \omega_{0}^{2} q \cos 2 \omega t \text {, }\] y asumiendo que las relaciones adimensionales\(\delta / \omega\) y\(|\xi| / \omega\), y la profundidad de modulación\(\mu\) son todas mucho menores que 1, podemos usar ecuaciones generales (57a) para obtener las siguientes ecuaciones reducidas:\[\begin{aligned} &\dot{A}=-\delta A-\frac{\mu \omega}{4} A \sin 2 \varphi, \\ &A \dot{\varphi}=A \xi-\frac{\mu \omega}{4} A \cos 2 \varphi . \end{aligned}\] Estas ecuaciones evidentemente tienen un punto fijo, con\(A_{0}=0\), pero su análisis de estabilidad (aunque posible) no es absolutamente sencillo, porque la fase\(\varphi\) de oscilaciones es indeterminada en ese punto. Para evitar esta dificultad (técnica más que conceptual), podemos utilizar, en lugar de la amplitud y fase reales de las oscilaciones, ya sea su amplitud compleja\(a=A \exp \{i \varphi\}\), o sus componentes cartesianos\(u\) y\(v\) -ver ecuaciones (4). En efecto, para nuestra función\(f\), la ecuación (57b) da\[\dot{a}=(-\delta+i \xi) a-i \frac{\mu \omega}{4} a^{*},\] mientras que las ecuaciones (57c) rendimiento\[\begin{aligned} &\dot{u}=-\delta u-\xi v-\frac{\mu \omega}{4} v, \\ &\dot{v}=-\delta v+\xi u-\frac{\mu \omega}{4} u . \end{aligned}\] Vemos que a diferencia de las ecuaciones (77), en las coordenadas cartesianas\(\{u, v\}\) el punto fijo trivial\(a_{0}\)\(=0\) (\(\left.u_{0}=v_{0}=0\right)\)es decir, es absolutamente regular. Además, las ecuaciones (78) - (79) ya son lineales, por lo que no requieren ninguna linealización adicional. Por lo tanto, podemos usar el mismo enfoque que ya se utilizó en Secs. \(3.2\)y 5.1, es decir, buscar la solución de las ecuaciones (79) en la forma exponencial\(\exp \{\lambda t\}\). No obstante, ahora estamos tratando con dos variables y deberían permitirles tener, por cada valor de\(\lambda\), una cierta proporción\(u / v\). Para ello, podemos tomar la solución parcial en la forma\[u=c_{u} e^{\lambda t}, \quad v=c_{v} e^{\lambda t} .\] donde las constantes\(c_{u}\) y frecuentemente\(c_{v}\) se denominan los coeficientes de distribución. Conectando esta solución a las ecuaciones (79), obtenemos de ellas el siguiente sistema de dos ecuaciones algebraicas lineales:\[\begin{aligned} &(-\delta-\lambda) c_{u}+\left(-\xi-\frac{\mu \omega}{4}\right) c_{v}=0, \\ &\left(+\xi-\frac{\mu \omega}{4}\right) c_{u}+(-\delta-\lambda) c_{v}=0 . \end{aligned}\] La ecuación característica de este sistema, es decir, la condición de compatibilidad de las ecuaciones (81),\[\left|\begin{array}{cc} -\delta-\lambda & -\xi-\frac{\mu \omega}{4} \\ \xi-\frac{\mu \omega}{4} & -\delta-\lambda \end{array}\right| \equiv \lambda^{2}+2 \delta \lambda+\delta^{2}+\xi^{2}-\left(\frac{\mu \omega}{4}\right)^{2}=0\] tiene dos raíces:\[\lambda_{\pm}=-\delta \pm\left[\left(\frac{\mu \omega}{4}\right)^{2}-\xi^{2}\right]^{1 / 2}\] Requeriendo que el punto fijo sea inestable,\(\operatorname{Re} \lambda_{+}>0\) , obtenemos la condición de excitación paramétrica\[\frac{\mu \omega}{4}>\left(\delta^{2}+\xi^{2}\right)^{1 / 2} .\] Así, la excitación paramétrica puede ocurrir sin ningún control de fase externo: las oscilaciones que surgen autoajustan su fase para captar energía de la fuente externa responsable de la variación periódica del parámetro.

Nuestro resultado clave (84) puede compararse con otros dos cálculos. Primero, en el caso de amortiguamiento insignificante\((\delta=0)\), la Ec. (84) se convierte en la condición\(\mu \omega / 4>|\xi|\). Este resultado puede compararse con la teoría bien desarrollada de la llamada ecuación de Mathieu, cuya forma canónica es\[\frac{d^{2} y}{d v^{2}}+(a-2 b \cos 2 v) y=0 .\] Con las sustituciones\(y \rightarrow q, v \rightarrow \omega t, a \rightarrow\left(\omega_{0} / \omega\right)^{2}\), y\(b / a \rightarrow-\mu / 2\), esta ecuación es solo un caso particular de la Ec. (75) para\(\delta=0\). En términos de la Ec. (85), nuestro resultado (84) puede ser reescrito igual que\(b>|a-1|\), y se supone que es válido para\(b<<1\). Los límites dados por esta condición se muestran con líneas discontinuas en la Figura 7 junto con los límites de\({ }^{27}\) estabilidad calculados numéricamente para la ecuación de Mathieu.

Se puede ver que la aproximación van der Pol funciona bien dentro de su límite de aplicabilidad (y un poco más allá de: -), aunque no logra predecir algunas otras características importantes de la ecuación de Mathieu, como la existencia de regiones más altas y más estrechas de excitación paramétrica (at\(a \approx n^{2}\), i.e.\(\omega_{0} \approx \omega / n\), para todos los enteros\(n\)), y algún derrame de la región de estabilidad en el semiplano inferior\(a<0 .{ }^{28}\) La razón de estas fallas es el hecho de que, como se puede ver en la Figura 7, estos fenómenos no aparecen en la primera aproximación en el parámetro amplitud de modulación\(\mu \propto \varepsilon\), que es la ámbito de aplicabilidad de las ecuaciones reducidas (79).

Figura 5.7. Límites de estabilidad de la ecuación de Mathieu (85), calculados: numéricamente (curvas sólidas) y usando las ecuaciones reducidas (líneas rectas discontinuas). En las regiones numeradas por varias\(n\), la solución trivial\(y=0\) de la ecuación es inestable, es decir, su solución general\(y(v)\) incluye un término de crecimiento exponencial.

En el caso opuesto de amortiguamiento distinto de cero pero afinación exacta\(\left(\xi=0, \omega \approx \omega_{0}\right)\), la Ec. (84) se vuelve\[\mu>\frac{4 \delta}{\omega_{0}} \equiv \frac{2}{Q} \text {. }\] Esta condición se puede comparar con la Ec. (74) tomando\(\Delta l / l=2 \mu\). La comparación muestra que si bien la estructura de estas condiciones es similar, los coeficientes numéricos son diferentes por un factor cercano a 2. La primera razón de esta diferencia es que el cambio instantáneo de parámetros en momentos óptimos de tiempo es más eficiente que la variación suave y sinusoidal descrita por (75). Aún más significativamente, el cambio de longitud del péndulo modula no solo su frecuencia\(\omega_{0} \equiv(g / l)^{1 / 2}\) ya que la ecuación (75) implica sino también su impedancia mecánica\(Z \equiv(g l)^{1 / 2}-\) la noción que se discutirá en detalle en el próximo capítulo. (El análisis del caso general de la modulación simultánea de\(\omega_{0}\) y\(Z\) se deja para el ejercicio del lector.)

Antes de continuar, permítanme resumir las diferencias más importantes entre las oscilaciones paramétricas y forzadas:

(i) Las oscilaciones paramétricas desaparecen completamente fuera de su rango de excitación, mientras que las oscilaciones forzadas tienen una amplitud distinta de cero para cualquier frecuencia y amplitud de la fuerza externa ver Ec. (18).

(ii) La excitación paramétrica puede describirse mediante una ecuación lineal homogénea, por ejemplo, la ecuación (75) que no puede predecir ninguna amplitud de oscilación finita dentro del rango de excitación, incluso con amortiguamiento finito. Para describir las oscilaciones paramétricas estacionarias, se tiene que tener en cuenta algún efecto no lineal. (Estoy dejando análisis de tales efectos para el ejercicio del lector - ver Problemas 13 y 14.)

Una característica más importante de las oscilaciones paramétricas se discutirá al final de la siguiente sección.

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\({ }^{26}\)Una modulación de la masa del péndulo (digamos, por bombeo periódico de agua dentro y fuera de una botella suspendida) da un resultado cualitativamente similar. Tenga en cuenta, sin embargo, que las oscilaciones paramétricas no pueden excitarse modulando ningún parámetro del oscilador, por ejemplo, el coeficiente de amortiguación del oscilador (al menos si permanece positivo en todo momento), porque no cambia la energía del sistema, solo la tasa de drenaje de energía.

\({ }^{27}\)Dichos cálculos se simplifican sustancialmente por el uso del llamado teorema de Floquet, que también es la base matemática para la discusión de la propagación de ondas en medios periódicos\(-\) ver el siguiente capítulo.

\({ }^{28}\)Esta región (para\(b<1,-b^{2} / 2<a<0\)) describe, en particular, la estabilidad contraintuitiva del llamado péndulo Kapitza -un péndulo invertido con el punto de suspensión oscilado rápidamente en dirección vertical- efecto observado por primera vez por Andrew Stephenson en 1908.