5.8: Oscilaciones armónicas y subarmónicas

La Figura 13 muestra el proceso\({ }^{37}\) transitorio calculado numéricamente y las oscilaciones estacionarias en un oscilador lineal y un sistema no lineal muy representativo, el péndulo descrito por la Ec. (42), ambos con el mismo\(\omega_{0}\). Ambos sistemas son impulsados por una fuerza externa sinusoidal de la misma amplitud y frecuencia, en esta ilustración, igual a la frecuencia propia de oscilación pequeña\(\omega_{0}\) de ambos sistemas. Las gráficas muestran que a pesar de una amplitud muy sustancial de las oscilaciones del péndulo (la amplitud angular de aproximadamente un radián), su forma de onda permanece casi exactamente sinusoidal. \({ }^{38}\)Por otro lado, la no linealidad afecta la amplitud de oscilación de manera muy sustancial. Estos resultados implican que las ecuaciones reducidas correspondientes (60), que se basan en el supuesto (41), pueden funcionar muy bien más allá de su restricción formal\(|q|<<1\).

Aún así, la forma de onda de las oscilaciones en un sistema no lineal siempre difiere de la de la fuerza aplicada\(-\) en nuestro caso, de la función sinusoidal de la frecuencia\(\omega\). Este hecho se formula frecuentemente como la generación, por el sistema, de armónicos superiores. En efecto, el teorema de Fourier nos dice que cualquier función periódica no sinusoidal del tiempo puede ser representada como una suma de su armónico básico de frecuencia\(\omega\) y armónicos superiores con frecuencias\(n \omega\), con entero\(n>1\).

Obsérvese que una generación efectiva de armónicos superiores solo es posible con una adecuada no linealidad del sistema. Por ejemplo, considere el término no lineal\(\alpha q^{3}\) utilizado en las ecuaciones exploradas en las Secs. 2 y 3. Si la forma de onda\(q(t)\) es sinusoidal, dicho término tendrá únicamente el básico\(\left(1^{\text {st }}\right)\) y los\(3^{\text {rd }}\) armónicos ver, por ejemplo, la Ec. (50). Como otro ejemplo, la “no linealidad del péndulo”\(\sin q\) no puede producir, sin un componente independiente del tiempo (“sesgo”) en\(q(t)\), ningún armónico par, incluido el\(2^{\text {nd }}\). La generación más eficiente de armónicos se puede lograr usando sistemas con las no linealidades más nítidas, por ejemplo, diodos semiconductores cuya corriente puede seguir una dependencia exponencial de la tensión aplicada a través de varios órdenes de magnitud. \({ }^{39}\)

Figura 5.13. Las oscilaciones inducidas por una fuerza externa sinusoidal similar (encendida a\(t=0\)) en dos sistemas con la misma frecuencia de oscilación pequeña\(\omega_{0}\) y baja amortiguación: un oscilador lineal (dos paneles superiores) y un péndulo (dos paneles inferiores). En todos los casos,\(\delta / \omega_{0}=0.03, f_{0}=0.1\), y\(\omega=\omega_{0}\).

Otra forma de aumentar el contenido de un armónico\(n^{\text {th }}\) superior en un oscilador no lineal es reducir la frecuencia de excitación\(\omega\) a\(\sim \omega_{0} / n\), de manera que el oscilador resuene a la frecuencia\(n \omega \approx \omega_{0}\) del armónico deseado. Por ejemplo, la Figura 14a muestra las oscilaciones en un péndulo descritas por la misma Ec. (42), pero impulsadas a frecuencia\(\omega=\omega_{0} / 3\). Se puede ver que la amplitud\(3^{\text {rd }}\) armónica puede ser comparable con la del armónico básico, especialmente si la frecuencia externa se reduce adicionalmente (Figura 14b) para acomodar la desviación de la frecuencia efectiva\(\omega_{0}(A)\) de las propias oscilaciones de su valor de oscilación pequeña\(\omega_{0}-\) véase la Ec. (49), Figura 4, y su discusión en la Sec. 2 anterior.

Sin embargo, el modelado numérico de osciladores no lineales, así como los experimentos con sus implementaciones físicas, traen más sorpresas. Por ejemplo, el panel inferior de la Figura 15 muestra oscilaciones en un péndulo bajo el efecto de una fuerte fuerza sinusoidal con una frecuencia\(\omega\) cercana a\(3 \omega_{0}\). Se puede ver que en algunos valores de parámetros y condiciones iniciales, el espectro de oscilación del sistema es fuertemente aportado (casi dominado) por el\(3^{\text {rd }}\) subarmónico, es decir, el componente de frecuencia de Fourier\(\omega / 3 \approx \omega_{0}\).

Este fenómeno contra-intuitivo de dicha generación subarmónica puede explicarse de la siguiente manera. Supongamos que las oscilaciones subarmónicas de frecuencia\(\omega / 3 \approx \omega_{0}\) han aparecido de alguna manera, y coexisten con las oscilaciones forzadas de frecuencia\(3 \omega\):

\[q(t) \approx A \cos \Psi+A_{\text {sub }} \cos \Psi_{\text {sub }}, \quad \text { where } \Psi \equiv \omega t-\varphi, \quad \Psi_{\text {sub }} \equiv \frac{\omega t}{3}-\varphi_{\text {sub }} .\]Entonces el término no lineal principal,\(\alpha q^{3}\), de la expansión Taylor de la no linealidad del péndulo\(\sin q\), es proporcional a\[\begin{aligned} q^{3} &=\left(A \cos \Psi+A_{\text {sub }} \cos \Psi_{\text {sub }}\right)^{3} \\ & \equiv A^{3} \cos ^{3} \Psi+3 A^{2} A_{\text {sub }} \cos ^{2} \Psi \cos \Psi_{\text {sub }}+3 A A_{\text {sub }}^{2} \cos \Psi \cos ^{2} \Psi_{\text {sub }}+A_{\text {sub }}^{3} \cos ^{3} \Psi_{\text {sub }} \end{aligned}\]

Figura 5.14. Las oscilaciones inducidas en un péndulo, con amortiguación\(\delta / \omega_{0}=0.03\), por una fuerza externa sinusoidal de amplitud\(f_{0}=0.75\), y frecuencias\(\omega_{0} / 3\) (panel superior) y\(0.8 \times \omega_{0} / 3\) (panel inferior).

Fig. 5.15. Las oscilaciones de un péndulo con\(\ \delta / \omega_{0}=0.03\), impulsadas por una fuerza externa sinusoidal de amplitud\(\ f_{0}=3\) y frecuencia\(\ 0.8 \times 3 \omega_{0}\), en condiciones iniciales\(\ q(0)=0\) (la fila superior) y\(\ q(0)=1\) (la fila inferior), con\(\ d q / d t(0)=0\) en ambos casos.

Si bien los términos primero y último de la última expresión dependen únicamente de las amplitudes de los componentes individuales de las oscilaciones, los dos términos medios son más interesantes, porque producen las llamadas frecuencias combinacionales de los dos componentes. Para nuestro caso, el tercer término,\[3 A A_{\text {sub }}^{2} \cos \Psi \cos ^{2} \Psi_{\text {sub }}=\frac{3}{4} A A_{\text {sub }}^{2} \cos \left(\Psi-2 \Psi_{\text {sub }}\right)+\ldots,\] es de especial importancia, ya que produce, además de otras frecuencias combinacionales, el componente subarmónico con la fase total.\[\Psi-2 \Psi_{\text {sub }}=\frac{\omega t}{3}-\varphi+2 \varphi_{\text {sub }}\] Así, dentro de un cierto rango del desplazamiento de fase mutuo entre los componentes de Fourier, esta contribución no lineal es sincrónico con las oscilaciones subarmónicas, y describe la interacción que puede entregarle la energía de la fuerza externa, para que las oscilaciones puedan ser sostenidas. Obsérvese, sin embargo, que la amplitud del término que describe este intercambio de energía es proporcional al cuadrado de\(A_{\text {sub }}\), y desaparece en la linealización de las ecuaciones de movimiento cerca del punto fijo trivial. Esto significa que el punto siempre es estable, es decir, el\(3^{\text {rd }}\) subarmónico no puede autoexcitarse y siempre necesita un “kickoff” inicial - compare los dos paneles de la Figura 15. Lo mismo ocurre con los subarmónicos de orden superior.

Sólo el segundo subarmónico es un caso especial. En efecto, hagamos un cálculo similar a la Ec. (102), reemplazando la ecuación (101)\[q(t) \approx A \cos \Psi+A_{\text {sub }} \cos \Psi_{\text {sub }}, \quad \text { where } \Psi \equiv \omega t-\varphi, \quad \Psi_{\text {sub }} \equiv \frac{\omega t}{2}-\varphi_{\text {sub }},\] por un término no lineal proporcional a\(q^{2}\):\[q^{2}=\left(A \cos \Psi+A_{\text {sub }} \cos \Psi_{\text {sub }}\right)^{2}=A^{2} \cos ^{2} \Psi+2 A A_{\text {sub }} \cos \Psi \cos \Psi_{\text {sub }}+A_{\text {sub }}^{2} \cos ^{2} \Psi_{\text {sub }} .\] Aquí el término combinacional-frecuencia capaz de soportar el\(2^{\text {nd }}\) subarmónico,\[2 A A_{\text {sub }} \cos \Psi \cos \Psi_{\text {sub }}=A A_{\text {sub }} \cos \left(\Psi-\Psi_{\text {sub }}\right)=A A_{\text {sub }} \cos \left(\omega t-\varphi+\varphi_{\text {sub }}\right)+\ldots,\] es lineal en la amplitud del subarmónico, i.e. sobrevive a la linealización cerca del punto fijo trivial. Esto significa que el segundo subarmónico puede surgir espontáneamente, a partir de fluctuaciones infinitesimales.

Además, dicha excitación del segundo subarmónico es muy similar a la excitación paramétrica que se discutió en detalle en la Sec. 5, y esta similitud no es casual. En efecto, rehagamos la expansión (106) haciendo una suposición algo diferente -que las oscilaciones son una suma de las oscilaciones forzadas a la frecuencia de la fuerza externa\(\omega\) y una perturbación arbitraria pero débil:\[q(t)=A \cos (\omega t-\varphi)+\widetilde{q}(t), \quad \text { with }|\widetilde{q}|<<A .\] Entonces, descuidando el pequeño término proporcional a\(\widetilde{q}^{2}\), obtenemos \[q^{2} \approx A^{2} \cos ^{2}(\omega t-\varphi)+2 \widetilde{q}(t) A \cos (\omega t-\varphi) .\]Además de la fase intrascendente\(\varphi\), el segundo término en la última fórmula es exactamente similar al término que describe los efectos paramétricos en la Ec. (75). Este hecho significa que para una perturbación débil, un sistema con una no linealidad cuadrática en presencia de una fuerte señal de frecuencia de “bombeo”\(\omega\) equivale a un sistema con parámetros que cambian en el tiempo con la frecuencia\(\omega\). Este hecho se usa ampliamente para la excitación paramétrica a frecuencias altas (por ejemplo, ópticas), donde los medios mecánicos de modulación de parámetros (ver, por ejemplo, la Figura 5) no son practicables. La no linealidad cuadrática necesaria a frecuencias ópticas puede ser proporcionada por un cristal no lineal no centrosimétrico, por ejemplo, el borato\(\beta\) de bario en fase\(\left(\mathrm{BaB}_{2} \mathrm{O}_{4}\right)\).

Antes de terminar este capítulo, permítanme elaborar un poco sobre un tema general: la relación entre los enfoques numéricos y analíticos de los problemas de la dinámica -y la física en su conjunto-. Acabamos de ver que en ocasiones soluciones numéricas, como las que se muestran en la Figura 15b, pueden dar pistas vitales para fenómenos previamente imprevistos como la excitación de subarmónicos. (El fenómeno del caos determinista, que se discutirá en el Capítulo 9 a continuación, presenta otro ejemplo de tales “descubrimientos numéricos”). También se podría argumentar que en ausencia de soluciones analíticas exactas, las simulaciones numéricas pueden ser la principal herramienta teórica para el estudio de tales fenómenos. Estas esperanzas son, sin embargo, silenciadas por el problema general que frecuentemente se llama la maldición de la dimensionalidad\({ }^{40}\) en el que la última palabra se refiere al número de parámetros del problema a resolver. \({ }^{41}\)

En efecto, echemos otra mirada a la Figura 15. Bien, hemos tenido la suerte de encontrar un nuevo fenómeno, la generación\(3^{\text {rd }}\) subarmónica, para un conjunto particular de parámetros\(-\) en ese caso, cinco de ellos:\(\delta / \omega_{0}=\)\(0.03, \omega / \omega_{0}=2.4, f_{0}=3, q(0)=1\), y\(d q / d t(0)=0\). ¿Podríamos decir algo sobre lo común que es este efecto? ¿Son\(n\) posibles los subarmónicos con diferentes en este sistema? La única manera de abordar estas preguntas computacionalmente es realizar simulaciones numéricas similares en muchos puntos del espacio\(d\) dimensional (en este caso,\(d=5\)) de parámetros. Digamos, hemos decidido que romper el rango razonable de cada parámetro a\(N=100\) puntos es suficiente. (Para muchos problemas, son necesarios aún más puntos - véase, por ejemplo, Sec. 9.1.) Entonces el número total de experimentos numéricos para llevar a cabo no es\(N^{d}=\)\(\left(10^{2}\right)^{5}=10^{10}\) una tarea sencilla ni siquiera para las poderosas instalaciones informáticas modernas. (Además del número puro de ciclos de CPU requeridos, considere el almacenamiento y análisis de los resultados.) Para muchos problemas importantes de dinámica no lineal, por ejemplo, turbulencia, la dimensionalidad del parámetro\(d\) es sustancialmente mayor, y los recursos informáticos necesarios incluso para un experimento numérico, son mucho mayores.

En vista de la maldición de la dimensionalidad, las consideraciones analíticas aproximadas, como las señaladas anteriormente para la excitación subarmónica, son invaluables. De manera más general, la física solía pararse sobre dos patas: experimento y teoría analítica. El enorme avance del rendimiento de la computadora durante algunas últimas décadas le ha proporcionado un punto más de soporte (¿una cola? :-) - simulación numérica. Esto no significa que podamos darnos el lujo de descartar cualquiera de las piernas en las que estamos parados.

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\({ }^{37}\)Todos los resultados numéricos mostrados en esta sección han sido obtenidos por el método\(4^{\text {th }}\) -order Runge-Kutta con el ajuste automático por pasos que garantiza el error relativo del orden de\(10^{-4}-\) mucho menor que el tamaño de píxel en las gráficas mostradas.

\({ }^{38}\)En este caso particular, el mayor contenido armónico es aproximadamente\(0.5 \%\), dominado por el\(3^{\text {rd }}\) armónico, cuya amplitud y fase están en muy buen acuerdo con la Ec. (50).

\({ }^{39}\)Este método se utiliza en la práctica, por ejemplo, para la generación de ondas electromagnéticas con frecuencias en el rango de los terahercios\(\left(10^{12}-10^{13} \mathrm{~Hz}\right)\), que aún carecen de auto-osciladores electrónicos eficientes que podrían ser utilizados como generadores prácticos.

\({ }^{40}\)Este término había sido acuñado en 1957 por Richard Bellman en el contexto de la teoría del control óptimo (donde la dimensionalidad significa el número de parámetros que afectan al sistema bajo control), pero poco a poco se ha extendido por todas las ciencias cuantitativas utilizando métodos numéricos.

\({ }^{41}\)En EM Sec. 1.2, discuto las implicaciones de la maldición para un caso diferente, cuando son posibles soluciones analíticas y numéricas al mismo problema.