6.2: Osciladores acoplados N

Los cálculos de la sección anterior pueden generalizarse fácilmente al caso de un número arbitrario (digamos,\(N\)) osciladores armónicos acoplados, con un tipo arbitrario de acoplamiento. Es evidente que en este caso la Ec. (4) debe ser reemplazada por\[L=\sum_{j=1}^{N} L_{j}+\sum_{j, j^{\prime}=1}^{N} L_{j j^{\prime}}\] Además, podemos generalizar la expresión anterior para los términos mixtos\(L_{j j}\), tomando en cuenta su posible dependencia no sólo de las coordenadas generalizadas sino también de las velocidades generalizadas, en una forma bilineal similar a Eq. (4). El Lagrangiano resultante puede representarse en una forma compacta,\[L=\sum_{j, j^{\prime}=1}^{N}\left(\frac{m_{i j^{\prime}}}{2} \dot{q}_{j} \dot{q}_{j^{\prime}}-\frac{\kappa_{i j^{\prime}}}{2} q_{j} q_{j^{\prime}}\right),\] donde los términos fuera de la diagonal son indice-simétricos:\(m_{j j^{\prime}}=m_{j^{\prime} j}, \kappa_{j j^{\prime}}=\kappa_{j j}\), y los factores\(1 / 2\) compensan el doble conteo de cada término con\(j \neq j\) ', teniendo lugar en la suma sobre dos índices ejecutados independientemente. Se puede argumentar que la ecuación (16) es bastante general si todavía queremos mantener lineales las ecuaciones de movimiento -como siempre lo son si las oscilaciones son lo suficientemente pequeñas.

Conectando la Eq. (16) a la forma general (2.19) de la ecuación de Lagrange, obtenemos\(N\) ecuaciones de movimiento del sistema, una por cada valor del índice\(j^{\prime}=1,2, \ldots, N:\)\[\sum_{j=1}^{N}\left(m_{i j j} \ddot{q}_{j}+\kappa_{j j^{\prime}} q_{j}\right)=0 .\] Así como en la sección anterior, busquemos una solución particular a este sistema en la forma\[q_{j}=c_{j} e^{\lambda t} .\] Como resultado, estamos obtener un sistema de ecuaciones algebraicas\(N\) lineales y homogéneas,\[\sum_{j=1}^{N}\left(m_{i j^{\prime}} \lambda^{2}+\kappa_{j j^{\prime}}\right) c_{j}=0,\] para el conjunto de coeficientes de\(N\) distribución\(c_{j}\). La condición de que este sistema sea autoconsistente es que el determinante de su matriz sea igual a cero:\[\operatorname{Det}\left(m_{i j^{\prime}} \lambda^{2}+\kappa_{i j^{\prime}}\right)=0 .\] Esta ecuación característica es una ecuación algebraica de grado\(N\) para\(\lambda^{2}\), y así tiene\(N\) raíces\(\left(\lambda^{2}\right)_{n}\). Para cualquier sistema hamiltoniano con equilibrio estable, las matrices\(m_{i j}\) 'y\(\kappa_{i j}\)' aseguran que todas estas raíces sean reales y negativas. Como resultado, la solución general a la Ec. (17) es la suma de\(2 N\) términos proporcionales a exp\(\left\{\pm i \omega_{n} t\right\}, n=1,2, \ldots, N\), donde todas\(N\) las frecuencias propias\(\omega_{n}\) son reales.

Conectando cada uno de estos\(2 N\) valores de\(\lambda=\pm i \omega_{n}\) nuevo en un conjunto particular de ecuaciones lineales (17), se puede encontrar el conjunto correspondiente de coeficientes de distribución\(c_{j \pm}\). Generalmente, los coeficientes son complejos, pero para mantener\(q_{j}(t)\) reales, los coeficientes\(c_{j+}\) correspondientes a\(\lambda=+i \omega_{n}\), y\(c_{j}\) - correspondientes\(\lambda\)\(=-i \omega_{n}\) tienen que ser complejo-conjugados entre sí. Dado que los conjuntos de los coeficientes de distribución pueden ser diferentes para cada uno\(\lambda_{n}\), deben marcarse con dos índices,\(j\) y\(n\). Así, en condiciones iniciales generales, la evolución temporal de la\(j^{\text {th }}\) coordenada puede representarse como\[q_{j}=\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{N}\left(c_{j n} \exp \left\{+i \omega_{n} t\right\}+c_{j n}^{*} \exp \left\{-i \omega_{n} t\right\}\right) \equiv \operatorname{Re} \sum_{n=1}^{N} c_{j n} \exp \left\{i \omega_{n} t\right\}\] Esta fórmula muestra muy claramente de nuevo el sentido físico de los coeficientes de distribución\(c_{j n}\): un conjunto de estos coeficientes, con diferentes valores de índice\(j\) pero iguales \(n\), da las complejas amplitudes de oscilaciones de las coordenadas para las condiciones iniciales especiales que aseguran el movimiento puramente sinusoidal de todo el sistema, con frecuencia\(\omega_{n}\).

El cálculo de las frecuencias propias y los coeficientes de distribución de un sistema acoplado particular con muchos grados de libertad de las ecuaciones (19) - (20) es una tarea que con frecuencia solo se puede hacer numéricamente. \({ }^{4}\)Discutamos sólo dos casos particulares pero muy importantes. Primero, que todos los coeficientes de acoplamiento sean pequeños en el siguiente sentido:\(\left|m_{j j^{\prime}}\right|<<m_{j} \equiv m_{j j}\) y\(\left|\kappa_{i j^{\prime}}\right|<<\kappa_{j} \equiv \kappa_{j j}\), para todos\(j \neq j\), y todas las frecuencias parciales no\(\Omega_{j} \equiv\left(\kappa_{j} / m_{j}\right)^{1 / 2}\) estén demasiado cerca entre sí:

\[\ \frac{\left|\Omega_{j}^{2}-\Omega_{j^{\prime}}^{2}\right|}{\Omega_{j}^{2}}>>\frac{\left|\kappa_{j j^{\prime}}\right|}{\kappa_{j}}, \frac{\left|m_{j j^{\prime}}\right|}{m_{j}}, \quad \text { for all } j \neq j^{\prime}.\]

(Tal situación ocurre frecuentemente si los parámetros del sistema son “aleatorios” en el sentido de que no siguen ninguna regla especial y simple, por ejemplo, resultante de alguna simetría simple del sistema). Los resultados de la sección anterior implican que en este caso, el acoplamiento no produce un cambio notable de frecuencias de oscilación:\(\left\{\omega_{n}\right\} \approx\left\{\Omega_{j}\right\}\). En esta situación, las oscilaciones en cada frecuencia propia están fuertemente concentradas en un grado de libertad, es decir, en cada conjunto de coeficientes de distribución\(c_{j n}\) (para un determinado\(n\)), la magnitud de un coeficiente es mucho mayor que todos los demás.

Ahora que las condiciones (22) sean válidas para todas menos un par de frecuencias parciales, digamos\(\Omega_{1}\) y\(\Omega_{2}\), mientras estas dos frecuencias son tan cercanas que el acoplamiento de los osciladores parciales correspondientes se vuelve esencial. En este caso, la aproximación\(\left\{\omega_{n}\right\} \approx\left\{\Omega_{j}\right\}\) sigue siendo válida para todos los demás grados de libertad, y los términos correspondientes pueden descuidarse en las ecuaciones (19) para\(j=1\) y 2. Como resultado, volvemos a las ecuaciones (7) (quizás generalizadas para el acoplamiento de velocidad) y de ahí al diagrama anticrosante (Figura 2) discutido en la sección anterior. Como resultado, un cambio extendido de solo una frecuencia parcial (digamos,\(\Omega_{1}\)) de un sistema débilmente acoplado produce una secuencia de anticrosamientos de frecuencia propia - ver Figura 3.

Figura 6.3. El nivel anticrosante en un sistema de osciladores\(N\) débilmente acoplados - esquemáticamente.

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\({ }^{4}\)Afortunadamente, se han desarrollado algoritmos muy efectivos para esta tarea de diagonalización matricial - ver, e.g., referencias en MA Sec. 16 (iii) - (iv). Por ejemplo, el popular paquete de software MATLAB se creó inicialmente exactamente para este propósito. (“MAT” en su nombre significa “matriz” en lugar de “matemáticas”.)