6.3: Ondas 1D

El segundo caso en el que los resultados generales de la última sección pueden simplificarse son sistemas acoplados con un grado considerable de simetría. Quizás el más importante de ellos son los sistemas uniformes que pueden sostener olas viajeras y estacionarias. La Figura 4a muestra un ejemplo sencillo de dicho sistema - una larga cadena uniforme de partículas, de masa\(m\), conectadas con resortes ligeros, elásticos, preestirados con la fuerza de tensión\(\mathscr{T}\) para tener longitudes iguales\(d\). (Hasta cierto punto, se trata de una generalización del sistema de dos partículas considerado en la Sec. \(1-\)véase Figura 1.)

Fig. 6.4. a) Una cadena 1D uniforme de partículas acopladas elásticamente, y sus pequeños (b) desplazamientos longitudinales y (c) transversales (muy exagerados para mayor claridad).

El pre-estiramiento del resorte no afecta a pequeñas oscilaciones longitudinales\(q_{j}\) de las partículas alrededor de sus posiciones de equilibrio\(z_{j}=j d\) (donde los\(j\) números enteros las partículas secuencialmente)\(-\) ver Figura\(4 \mathrm{~b} .{ }^{5}\) De hecho, en la ley de\(2^{\text {nd }}\) Newton para tal longitudinal movimiento de la\(j^{\text {th }}\) partícula, las fuerzas\(\mathscr{T}\) y\(-\mathscr{T}\) ejercidas por los resortes a la derecha e izquierda de la misma, cancelan. Sin embargo, las adiciones elásticas\(\kappa \Delta q\),, a estas fuerzas son generalmente diferentes: Por el\[m \ddot{q}_{j}=\kappa\left(q_{j+1}-q_{j}\right)-\kappa\left(q_{j}-q_{j-1}\right) .\] contrario, para oscilaciones transversales dentro de un plano (Figura 4c), la componente transversal neta de la fuerza de pre-estiramiento ejercida sobre la\(j^{\text {th }}\) partícula,\(\mathscr{T}_{\mathrm{t}}=\mathscr{T}\left(\sin \varphi_{+}-\sin \varphi_{-}\right)\), donde\(\varphi_{\pm}\) están la fuerza ángulos de dirección, no se desvanece. Como resultado, las contribuciones directas a esta fuerza a partir de pequeñas oscilaciones transversales, con\(\left|q_{j}\right|<<d, \mathscr{T} \kappa\), son insignificantes. Además, debido a la primera de estas condiciones fuertes, los ángulos\(\varphi_{\pm}\) son pequeños, y por lo tanto pueden aproximarse, respectivamente, como\(\varphi_{+} \approx\left(q_{j+1}-q_{j}\right) / d\) y\(\varphi_{-} \approx\left(q_{j}-q_{j-1}\right) / d\). Tapando estas expresiones en una aproximación similar,\(\mathscr{T}_{\mathrm{t}} \approx \mathscr{T} \varphi_{+}-\varphi_{-}\)) para la fuerza transversal, vemos que puede expresarse como\(\mathscr{T}\left(q_{j+1}-q_{j}\right) / d-\mathscr{T}\left(q_{j}-q_{j-1}\right) / d\), es decir, es absolutamente similar a la del caso longitudinal, solo con el reemplazo\(\kappa \rightarrow \mathscr{T} / d\). Como resultado, podemos escribir la ecuación de movimiento de la\(j^{\text {th }}\) partícula para estos dos casos en la misma forma:\[m \ddot{q}_{j}=\kappa_{\mathrm{ef}}\left(q_{j+1}-q_{j}\right)-\kappa_{\mathrm{ef}}\left(q_{j}-q_{j-1}\right),\] donde\(\kappa_{\text {ef }}\) está la “constante elástica efectiva”, igual a\(\kappa\) para las oscilaciones longitudinales, y a\(\mathscr{T} / d\) para las oscilaciones transversales. \({ }^{6}\)Aparte del tamaño (formalmente) infinito del sistema, la ecuación (24) es solo un caso particular de la ecuación (17), y así su solución particular puede buscarse en la forma (18), donde a la luz de nuestra experiencia previa, podemos tomar inmediatamente\(\lambda^{2} \equiv-\omega^{2}\). Con esta sustitución, la Ec. (24) da la siguiente forma simple del sistema general de ecuaciones (17) para los coeficientes de distribución\(c_{j}\):\[\left(-m \omega^{2}+2 \kappa_{\mathrm{ef}}\right) c_{j}-\kappa_{\mathrm{ef}} c_{j+1}-\kappa_{\mathrm{ef}} c_{j-1}=0 .\] Ahora viene el paso conceptual más importante hacia la teoría de ondas. La simetría traslacional de la Ec. (25), es decir\(j \rightarrow j+1\), su invarianza al reemplazo, le permite tener soluciones particulares de la siguiente forma:\[c_{j}=a e^{i \alpha j}\] donde el coeficiente\(\alpha\) puede depender de\(\omega\) (y los parámetros del sistema), pero no del número de partículas\(j\). En efecto, enchufando la Ec. (26) a la Ec. (25) y cancelando el factor común\(e^{i \alpha j}\), vemos que efectivamente está idénticamente satisfecho, siempre que\(\alpha\) obedezca la siguiente ecuación algebraica:\[\left(-m \omega^{2}+2 \kappa_{\mathrm{ef}}\right)-\kappa_{\mathrm{ef}} e^{+i \alpha}-\kappa_{\mathrm{ef}} e^{-i \alpha}=0 .\] El sentido físico de la solución (26) se vuelve claro si la usamos y la Ec. (18) con\(\lambda=\mp i \omega\), para escribir\[q_{j}(t)=\operatorname{Re}\left[a \exp \left\{i\left(k z_{j} \mp \omega t\right)\right\}\right]=\operatorname{Re}\left[a \exp \left\{i k\left(z_{j} \mp v_{\mathrm{ph}} t\right)\right\}\right]\] donde\(k\) se define el número de onda como\(k \equiv \alpha / d\). La Ec. (28) describe una onda sinusoidal\({ }^{7}\) viajera de desplazamientos de partículas, que se propaga, dependiendo del signo anterior\(v_{\mathrm{ph}}\), hacia la derecha o hacia la izquierda a lo largo de la cadena de partículas, con la llamada velocidad de fase\[v_{\mathrm{ph}} \equiv \frac{\omega}{k} .\] Quizás la característica más importante de un sistema de ondas es la tan -llamada relación de dispersión, es decir, la relación entre la frecuencia de la onda\(\omega\) y su onda número\(k-\) uno puede decir, entre las frecuencias temporales y espaciales de la onda. Para nuestro sistema actual, esta relación viene dada por la Ec. (27) con\(\alpha \equiv k d\). Teniendo en cuenta eso\(\left(2-e^{+i \alpha}-e^{-i \alpha}\right) \equiv 2(1-\cos \alpha) \equiv 4 \sin ^{2}(\alpha / 2)\), la relación de dispersión puede reescribirse de una forma más simple:\[\omega=\pm \omega_{\max } \sin \frac{\alpha}{2} \equiv \pm \omega_{\max } \sin \frac{k d}{2}, \quad \text { where } \omega_{\max } \equiv 2\left(\frac{\kappa_{\mathrm{ef}}}{m}\right)^{1 / 2}\] Este resultado, esbozado en la Figura 5, es bastante notable en varios aspectos. Los discutiré en detalle, porque la mayoría de estas características son típicas de ondas de cualquier tipo (incluidas incluso las “ondas de Broglie”, es decir, las funciones de onda, en la mecánica cuántica), propagándose en estructuras periódicas.

Fig. 6.5. La relación de dispersión (30).

Primero, a bajas frecuencias,\(\omega<<\omega_{\max }\), la relación de dispersión (31) es lineal:\[\omega=\pm v k, \quad \text { where } v \equiv\left|\frac{d \omega}{d k}\right|_{k=0}=\frac{\omega_{\max } d}{2}=\left(\frac{\kappa_{\mathrm{ef}}}{m}\right)^{1 / 2} d .\] Taponando la Ec. (31) en la Ec. (29), vemos que la constante\(v\) juega, en el límite de baja frecuencia, el papel de la misma velocidad de fase para ondas de cualquier frecuencia. Por su importancia, este límite de onda acústica será con el tema de la siguiente sección especial.

Segundo, cuando la frecuencia de onda es comparable con\(\omega_{\max }\), la relación de dispersión no es lineal, y el sistema es dispersivo. Esto significa que a medida que una onda, cuyo espectro de Fourier tiene varios componentes esenciales con frecuencias del orden de\(\omega_{\max }\), viaja a lo largo de la estructura, su forma de onda (que puede definirse como la forma de la línea que conecta todos los puntos\(q_{j}(z)\), al mismo tiempo) cambia. \({ }^{9}\)Este efecto puede analizarse representando la solución general de la Ec. (24) como la suma (más generalmente, una integral) de los componentes (28) con diferentes amplitudes complejas\(a\):\[q_{j}(t)=\operatorname{Re} \int_{-\infty}^{+\infty} a_{k} \exp \left\{i\left[k z_{j}-\omega(k) t\right]\right\} d k .\] Esta notación enfatiza la dependencia de las amplitudes\(a_{k}\) y frecuencias de onda componente \(\omega\)en el número de onda\(k\). Mientras que esta última dependencia viene dada por la relación de dispersión (en nuestro caso actual por la ecuación (30)), la función\(a_{k}\) viene determinada por las condiciones iniciales. Para aplicaciones, el caso cuando\(a_{k}\) es sustancialmente diferente de cero solo en un intervalo estrecho, de una anchura\(\Delta k<<k_{0}\) alrededor de algún valor central\(k_{0}\), es de especial importancia. La transformada de Fourier recíproca a la ecuación (32) muestra que esto es cierto, en particular, para el llamado paquete de onda - una onda sinusoidal modulada por una función de envolvente espacial de gran ancho\(\Delta z \sim 1 / \Delta k>>1 / k_{0}-\) ver, por ejemplo, la Figura 6.

Figura 6.6. Las velocidades de fase y grupo de un paquete de ondas.

Usando la fuerte desigualdad\(\Delta k<<k_{0}\), la propagación del paquete de ondas puede analizarse gastando la relación de dispersión\(\omega(k)\) en la serie Taylor en el punto\(k_{0}\), y, en la primera aproximación en\(\Delta k / k_{0}\), restringiendo la expansión a sus dos primeros términos:\[\omega(k) \approx \omega_{0}+\left.\frac{d \omega}{d k}\right|_{k=k_{0}} \tilde{k}, \quad \text { where } \omega_{0} \equiv \omega\left(k_{0}\right), \text { and } \widetilde{k} \equiv k-k_{0} .\] En esta aproximación, Eq. (32) rendimientos\[\begin{aligned} q_{j}(t) & \approx \operatorname{Re} \int_{-\infty}^{+\infty} a_{k} \exp \left\{i\left[\left(k_{0}+\tilde{k}\right) z_{j}-\left(\omega_{0}+\frac{d \omega}{d k} \mid k=k_{0} \tilde{k}\right) t\right]\right\} d k \\ & \equiv \operatorname{Re}\left[\exp \left\{i\left(k_{0} z_{j}-\omega_{0} t\right)\right\} \int_{-\infty}^{+\infty} a_{k} \exp \left\{i \widetilde{k}\left(z_{j}-\left.\frac{d \omega}{d k}\right|_{k=k_{0}} t\right)\right\} d k\right] . \end{aligned}\] Comparando la última expresión con la forma inicial del paquete de onda,\[q_{j}(0)=\operatorname{Re} \int_{-\infty}^{+\infty} a_{k} e^{i k z_{j}} d k \equiv \operatorname{Re}\left[\exp \left\{i k_{0} z_{j}\right\} \int_{-\infty}^{+\infty} a_{k} \exp \left\{\tilde{k} z_{j}\right\} d k\right],\] y tomando en cuenta que los factores de fase antes de las integrales en las últimas formas de las ecuaciones (34) y (35) no afectan su envolvente, vemos que en esta aproximación la envolvente sostiene su forma inicial y se propaga a lo largo del sistema con la llamada velocidad de grupo\[\left.v_{\mathrm{gr}} \equiv \frac{d \omega}{d k}\right|_{k=k_{0}} .\] Excepto por el límite de onda acústica (31), esta velocidad, que caracteriza la propagación de la envolvente de la forma de onda, es diferente de la velocidad de fase (29), que describe la propagación de la onda sinusoidal “portadora” , por ejemplo, la posición de uno de sus ceros - ver las flechas rojas y azules en la Figura 6. (Teniendo en cuenta el siguiente término en la expansión Taylor de la función\(\omega(q)\), proporcional a\(d^{2} \omega / d q^{2}\), encontraríamos que la dispersión conduce a un cambio gradual de la forma de la envolvente. Tales cambios juegan un papel importante en la mecánica cuántica, por lo que se discuten en detalle en la parte de QM de estas notas de conferencia.) A continuación, para nuestra particular relación de dispersión (30), la diferencia entre\(v_{\mathrm{ph}}\) y\(v_{\mathrm{gr}}\) aumenta a medida que\(\omega\) se aproxima\(\omega_{\max }\), con la velocidad de grupo (36) tendiendo a cero, mientras que la velocidad de fase permanece casi constante. La física de tal frecuencia máxima disponible para la propagación de ondas puede entenderse fácilmente al notar que de acuerdo con la ecuación (30), at, el número de onda es\(k\) igual\(\omega=\omega_{\max }\), donde\(n\) es un entero impar\(n \pi / d\), y por lo tanto el desplazamiento de fase\(\alpha \equiv k d\) es un múltiplo impar de \(\pi\). Tapando este valor en la Ec. (28), vemos que at\(\omega=\omega_{\max }\), las oscilaciones de dos partículas adyacentes están en antifase, por ejemplo:\[q_{0}(t)=\operatorname{Re}[a \exp \{-i \omega t\}], \quad q_{1}(t)=\operatorname{Re}[a \exp \{i \pi-i \omega t\}]=-q_{0}(t) .\] Está claro, especialmente de la Figura\(4 \mathrm{~b}\) para oscilaciones longitudinales, que en tal desplazamiento de fase, todos los resortes se estiran/comprimen al máximo ( al igual que en el modo duro de los dos osciladores acoplados analizados en la Sec. 1), de manera que es natural que este modo tenga la frecuencia más alta posible.

Este hecho invita a una pregunta natural: ¿qué sucede con el sistema si se agita a una frecuencia\(\omega>\omega_{\max }\), digamos por una fuerza externa aplicada en su límite? Revisando los cálculos que han llevado a la relación de dispersión (30), vemos que todos son válidos no sólo para los valores reales sino también cualquier valor complejo de\(k\). En particular, al dar\(\omega>\omega_{\max }\)\[k=\frac{(2 n-1) \pi}{d} \pm \frac{i}{\Lambda}, \quad \text { where } n=1,2,3, \ldots, \quad \Lambda \equiv \frac{d}{2 \cosh ^{-1}\left(\omega / \omega_{\max }\right)} .\] Plugging esta relación en la Ec. (28), vemos que la amplitud de la onda se convierte en una función exponencial de la posición de la partícula:\[\left|q_{j}\right|=|a| e^{\pm j \operatorname{Im} k d} \propto \exp \left\{\pm z_{j} / \Lambda\right\} .\] Físicamente esto significa que penetrando en la estructura, la onda decae exponencialmente (desde el punto de excitación), cayendo por un factor de\(e \approx 3\) a la llamada profundidad de penetración\(\Lambda\). (Según la Ec. (38), a\(\omega \sim \omega_{\max }\) esta profundidad es del orden de la distancia\(d\) entre las partículas adyacentes, y disminuye pero más bien lentamente a medida que la frecuencia se incrementa más allá\(\omega_{\max }\).) Tal penetración limitada es una propiedad muy común de las ondas, incluyendo las ondas electromagnéticas que penetran en diversos plasmas y superconductores, y las ondas cuántico-mecánicas de Broglie que penetran en regiones del espacio clásicamenteprohibidas. Tenga en cuenta que este efecto de “expulsión de onda” de un medio no requiere ninguna disipación de energía.

Finalmente, una característica más fascinante de la relación de dispersión (30) es su periodicidad: si la relación es satisfecha por algún número de onda\(k_{0}(\omega)\), también se satisface en cualquiera\(k_{n}(\omega)=k_{0}(\omega)+2 \pi n / d\), donde\(n\) es un entero. Esta propiedad es independiente de la dinámica particular del sistema y es una propiedad común de todos los sistemas que son\(d\) -periódicos en el espacio habitual (“directo”). Tiene implicaciones especialmente importantes para las ondas cuánticas de Broglie en sistemas periódicos -por ejemplo, cristales- que conducen, en particular, a la famosa estructura de banda/brecha de su espectro energético. \({ }^{10}\)

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\({ }^{5}\)Obsérvese la necesidad de una clara distinción entre la posición\(z_{j}\) de equilibrio del\(j^{\text {th }}\) punto y su desviación del mismo,\(q_{j}\). Dicha distinción tiene que sustentarse en el límite continuo (ver más adelante), donde frecuentemente se le llama la descripción euleriana, que lleva el nombre de L. Euler, a pesar de que fue introducida a la mecánica por J. d'Alembert. En este curso, la distinción se enfatiza mediante el uso de diferentes letras -respectivamente,\(z\) y\(q\). (En el caso 3D,\(\mathbf{r}\) y\(\mathbf{q}\).)

\({ }^{6}\)La re-derivación de la ecuación (24) del formalismo lagrangiano, con la prueba estricta simultánea de que las pequeñas oscilaciones en la dirección longitudinal y las dos direcciones transversales mutuamente perpendiculares son todas independientes entre sí, es un muy buen ejercicio, dejado para el lector.

\({ }^{7}\)En óptica y mecánica cuántica, tales ondas suelen llamarse monocromáticas; no usaré este término hasta las partes correspondientes (EM y QM) de mi serie.

\({ }^{8}\)Este término es puramente histórico. Aunque las ondas sonoras habituales en el aire pertenecen a esta clase, las ondas que estamos discutiendo pueden tener frecuencias muy por debajo y muy por encima del rango de sensibilidad del oído humano.

\({ }^{9}\)La deformación de la forma de onda debida a la dispersión (que estamos considerando ahora) debe distinguirse claramente de su posible cambio debido a la atenuación, es decir, la pérdida de energía -que no se toma en cuenta es nuestro modelo actual de conservación de energía- cf. Sec. 6 a continuación.

\({ }^{10}\)Para más detalles ver, e.g., QM Sec. \(2.5\).