6.5: Ondas estacionarias

Ahora consideremos los dos límites en los que las ecuaciones (55) predice una reflexión total de onda\((\tau=0)\):\(Z^{\prime} / Z \rightarrow \infty\) (cuándo\(R=-1\)) y\(Z^{\prime} / Z \rightarrow 0\) (cuándo\(R=+1\)). De acuerdo con la Ec. (53), el primer límite corresponde a\(f(t)+f_{+}(t) \equiv q(0, t)=0\), es decir, a oscilaciones que se desvanecen en la interfaz. Esto significa que este límite en particular describe un límite perfectamente rígido, no permitiendo que el final del sistema oscile en absoluto. En este caso, Eqs. (58) - (59) yield\[\begin{gathered} q(z, t)=\operatorname{Re}\left[a\left(e^{-i k z}-e^{+i k z}\right) e^{-i \omega t}\right] \equiv-2 \operatorname{Re}\left[a e^{-i \omega t}\right] \sin k z, \\ F(z, t)=\operatorname{Re}\left[i \omega Z a\left(e^{-i k z}+e^{+i k z}\right) e^{-i \omega t}\right] \equiv 2 \omega Z \operatorname{Re}\left[a e^{-i(\omega t-\pi / 2)}\right] \cos k z . \end{gathered}\] Estas igualdades significan que podemos interpretar el proceso a la derecha de la interfaz usando dos lenguajes matemáticamente equivalentes, pero físicamente diferentes: ya sea como la suma de dos ondas viajeras (la incidente y la reflejada, viajando en el opuesto direcciones), o como una sola onda estacionaria. Obsérvese que en contraste con la onda viajera (Figura 9a, véase Figura 7), en la onda sinusoidal estacionaria (Figura 9b) todas las partículas oscilan en el tiempo con una fase.

Figura 6.9. La evolución temporal de (a) una onda sinusoidal viajera, y (b) una onda sinusoidal estacionaria en un límite rígido.

Obsérvese también que la fase de las oscilaciones de fuerza (61) se desplaza, tanto en el espacio como en el tiempo,\(\pi / 2\) relativamente a las oscilaciones de desplazamiento de partículas. (En particular, en el límite rígido la amplitud de la fuerza alcanza su máximo.) Como resultado, el flujo de potencia promedio desaparece, de manera que la energía promedio de la onda estacionaria no cambia, aunque su energía instantánea aún oscila, en cada punto espacial, entre sus componentes cinéticos y potenciales, al igual que en las oscilaciones armónicas habituales de una partícula. Una onda estacionaria similar, pero con un máximo del desplazamiento\(q\), y con un cero (“nodo”) de la fuerza\(F\), se forma en el límite abierto, con\(\mathrm{Z}^{\prime} / \mathrm{Z} \rightarrow 0\), y por lo tanto\(\mathrm{R}=+1\). Ahora tengo que explicar por qué he utilizado la forma de onda sinusoidal para el análisis de reflexión de onda. Consideremos un sistema de\(1 \mathrm{D}\) olas, que obedece a la ecuación (40), de una longitud finita\(l\), limitada por dos paredes rígidas (ubicadas, digamos, en\(z=0\) y\(z=l\)), que imponen las condiciones de contorno correspondientes,\[q(0, t)=q(l, t)=0,\] sobre su movimiento. Naturalmente, una onda viajera sinusoidal, inducida en el sistema, se reflejará desde ambos extremos, formando los patrones de onda estacionaria del tipo (60) cerca de cada uno de ellos. Estos dos patrones son compatibles si\(l\) es exactamente igual a un número entero (digamos,\(n\)) de\(\lambda / 2\), donde\(\lambda \equiv 2 \pi / k\) está la longitud de onda:\[l=n \frac{\lambda}{2} \equiv n \frac{\pi}{k} .\] Este requisito produce el siguiente espectro de posibles números de onda:\[k_{n}=n \frac{\pi}{l},\] donde la lista de posibles números enteros\(n\) puede limitarse a valores no negativos:\(n=1,2,3, \ldots\) (De hecho, los valores negativos dan ondas absolutamente similares\((60)\), mientras que\(n=0\) rendimientos\(k_{n}=0\), y la onda correspondiente desaparece en todos los puntos:\(\sin (0 \cdot z) \equiv 0\).) En el límite de onda acústica que estamos discutiendo, la Ec. (31)\(\omega=\pm v k\),, puede usarse para traducir este espectro de número de onda en un espectro igualmente simple de posibles frecuencias de onda estacionaria:\({ }^{17}\)\[\omega_{n}=v k_{n}=n \frac{\pi v}{l}, \quad \text { with } n=1,2,3, \ldots\] Ahora notemos que este espectro, y los patrones de onda estacionaria correspondientes,\({ }^{18}\) \[q^{(n)}(z, t)=2 \operatorname{Re}\left[a_{n} \exp \left\{-i \omega_{n} t\right\}\right] \sin k_{n} z, \quad \text { for } 0 \leq z \leq l,\]se puede obtener de una manera diferente, mediante una solución directa de la ecuación de onda (41) con las condiciones límite (62). En efecto, busquemos la solución general de esta ecuación diferencial parcial en la llamada forma separada por variables\({ }^{19}\)\[q(z, t)=\sum_{n} Z_{n}(z) T_{n}(t),\] donde\(Z_{n}(z) T_{n}(t)\) se supone que cada producto parcial satisface la ecuación por sí solo. Tapando tal solución parcial en la Eq. (40), y luego dividiendo todos sus términos por el mismo producto\(Z_{n} T_{n}\),, podemos reescribir el resultado como\[\frac{1}{v^{2}} \frac{1}{T_{n}} \frac{d^{2} T_{n}}{d t^{2}}=\frac{1}{Z_{n}} \frac{d^{2} Z_{n}}{d z^{2}} .\] Aquí viene la línea de punzonado del método de separación variable: ya que el lado izquierdo de la ecuación puede depender solo de\(t\), mientras que su mano derecha lado, solo encendido\(z\), la Ec. (68) puede ser válida solo si ambos lados son constantes. Denotando esta constante como\(-k_{n}{ }^{2}\), obtenemos dos ecuaciones diferenciales ordinarias similares,\[\frac{d^{2} Z_{n}}{d z^{2}}+k_{n}^{2} Z_{n}=0, \quad \frac{d^{2} T_{n}}{d t^{2}}+\omega_{n}^{2} T_{n}=0, \quad \text { where } \omega_{n}^{2} \equiv v^{2} k_{n}^{2},\] con soluciones sinusoidales bien conocidas (y similares)\[Z_{n}=c_{n} \cos k_{n} z+s_{n} \sin k_{n} z, \quad T_{n}=u_{n} \cos \omega_{n} t+v_{n} \sin \omega_{n} z \equiv \operatorname{Re}\left[a_{n} \exp \left\{-i \omega_{n} t\right\}\right],\] donde\(c_{n}, v_{n}, u_{n}\), y\(v_{n}\) (o, alternativamente,\(a_{n} \equiv u_{n}+i v_{n}\)) son constantes. La primera de estas relaciones, con todas\(k_{n}\) diferentes, puede satisfacer las condiciones límite sólo si es para todas\(n, c_{n}=0\), y\(\sin k_{n} l=0\), dando el mismo espectro de número de onda (64) y de ahí el espectro de frecuencia propio (65), de manera que la solución general (67) del llamado problema límite, dado por las Eqs. (40) y (62), toma la forma\[q(z, t)=\operatorname{Re} \sum_{n} a_{n} \exp \left\{-i \omega_{n} t\right\} \sin k_{n} z,\] donde las amplitudes complejas\(a_{n}\) están determinadas por las condiciones iniciales.

De ahí que tales ondas estacionarias sinusoidales (Figura 10a) no son solo una suposición, sino una propiedad natural de la ecuación de\(1 \mathrm{D}\) onda. También es fácil verificar que el resultado\((71)\) es válido para un mismo sistema con diferentes condiciones de límite, aunque con un espectro de número de onda modificado. Por ejemplo, si la condición de límite rígido\((q=0)\) se implementa en\(z=0\), y las llamadas condiciones límite libres (o “abiertas”),\(\partial q / \partial z=0)\) es decir\((F=0\), se imponen en\(z=l\), el espectro se vuelve de\[k_{n}=\left(n-\frac{1}{2}\right) \frac{\pi}{l}, \quad \text { with } n=1,2,3, \ldots,\] tal manera que las ondas estacionarias más bajas se vean como muestra la Figura 10b. \({ }^{20}\)

Figura 6.10. Los modos de onda estacionaria más bajos para los\(1 \mathrm{D}\) sistemas con (a) dos límites rígidos, y (b) uno rígido y otro abierto.

Obsérvese que la diferencia entre los valores secuenciales de\(k_{n}\) sigue siendo constante:\[k_{n+1}-k_{n}=\frac{\pi}{l},\] es decir, la misma que para el espectro (64). Esto es natural porque en ambos casos la transferencia del\(n^{\text {th }}\) modo al\((n+1)^{\text {th }}\) modo corresponde apenas a una adición de una media onda más - ver Figura 10. (Esta conclusión es válida para cualquier combinación de condiciones rígidas y de límites libres). Como se discutió anteriormente, para la cadena de partículas discretas con la que hemos comenzado (Figura 4), la ecuación de onda (40), y de ahí la derivación anterior de la Ec. (71), solo son válidas en el límite de onda acústica, es decir, cuando la distancia\(d\) entre las partículas es mucho menor que las longitudes\(\lambda_{n} \equiv 2 \pi / k_{n}\) de onda del modo bajo análisis. Para una cadena de longitud\(l\), esto significa que el número de partículas,\(N \sim l / d\), tiene que ser mucho mayor que 1. Sin embargo, una propiedad notable de la Ec. (71) es que sigue siendo válida, con el mismo espectro de número de onda (64), no sólo en el límite acústico sino también para arbitrario\(N>0\). En efecto, ya que\(\sin k_{n} z \equiv\left(\exp \left\{+i k_{n} z\right\}-\exp \left\{-i k_{n} z\right\}\right) / 2\), cada\(n^{\text {th }}\) término de la ecuación (71) puede representarse como una suma de dos ondas viajeras con vectores de onda iguales pero opuestos. Como se discutió en la Sec. 3, dicha onda es una solución de la ecuación (24) que describe el sistema de partículas discretas para cualquiera\(k_{n}\), con la única condición de que su frecuencia obedezca a la relación de dispersión general (30), más que a su límite acústico (65).

Además, las expresiones para\(k_{n}\) (con condiciones de límite apropiadas), como la Ec. (64) o la Ec. (72), también sobreviven a la transición a arbitraria\(N\), porque su derivación anterior se basó únicamente en la forma sinusoidal de la onda estacionaria. El único factor nuevo que surge en el caso de arbitrario\(N\) es que debido a la propiedad equidistante (73) del espectro del número de onda, tan pronto como se\(n\) excede\(N\), las formas de onda (71), en ubicaciones de partículas\(z_{j}=j d\), comienzan a repetirse. Por ejemplo,\[\sin k_{n+N} z_{j}=\sin \left(k_{n}+N \Delta k\right) j d=\sin \left(k_{n}+N \frac{\pi}{d}\right) j d=\sin \left(k_{n} z_{j}+\pi j N\right)=\pm \sin k_{n} z_{j} .\] De ahí que el sistema solo tenga\(N\) diferentes modos (linealmente independientes). Pero este resultado está en plena conformidad con la conclusión general hecha en la Sec. 2, de que cualquier sistema de osciladores 1D\(N\) acoplados tiene exactamente frecuencias\(N\) propias y modos de oscilación correspondientes. Entonces, nuestro análisis de un sistema en particular, mostrado en la Figura 4, simplemente ejemplifica esta conclusión general. La Figura 11 a continuación ilustra este resultado para un valor finito particular de\(N\); la curva que conecta los puntos muestra exactamente la misma relación de dispersión que se mostró en la Figura 5, pero ahora es solo una guía para el ojo, ya que para un sistema con una longitud finita\(l\), el espectro del número de onda es discreto, y los valores intermedios de\(k\) y\(\omega\) no tienen un sentido físico inmediato. \({ }^{21}\)Tenga en cuenta que las frecuencias propias del sistema no son equidistantes, mientras que los números de onda lo son.

Figura 6.11. Los números de onda y frecuencias propias de una cadena de un número finito\(N\) de partículas en una cadena con un límite rígido y uno abierto - esquemáticamente.

Esta insensibilidad del espaciamiento (73) entre los números de onda adyacentes a la física particular de un sistema macroscópicamente uniforme es un hecho muy general, común para las ondas de cualquier naturaleza, y se usa ampliamente para análisis de sistemas con un número muy grande de partículas (tales como cristales de tamaño humano, con \(N \sim 10^{23}\)). Para\(N\) tan grande, el efecto de las condiciones límite, por ejemplo, la diferencia entre los espectros\((64)\) y\((72)\) es insignificante, y pueden resumirse como la siguiente regla para el número de diferentes ondas estacionarias dentro de algún intervalo\(\Delta k \gg \pi / l\):\[\Delta N \equiv \frac{\left.\Delta k\right|_{\text {standing }}}{k_{n+1}-k_{n}}=\left.\frac{l}{\pi} \Delta k\right|_{\text {standing }} .\] Para tales análisis, es frecuentemente más conveniente para trabajar con olas viajeras en lugar de las de pie. En este caso, hay que tomar en cuenta que (como se acaba de discutir anteriormente) cada onda estacionaria\((66)\) puede descomponerse en dos ondas viajeras con números de onda\(\pm k_{n}\), de manera que el tamaño del intervalo se\(\Delta k\) duplica, y la Eq. (75a) se convierte en\(^{22}\)\[\Delta N=\left.\frac{l}{2 \pi} \Delta k\right|_{\text {traveling }}\] Note que esta regla de conteo es válido para olas de un solo tipo. Como se discutió anteriormente, para el sistema modelo que hemos estudiado (Figura 4), existen 3 tipos de tales ondas, una longitudinal y dos transversales, de manera que si necesitamos contarlas todas, se\(\Delta N\) deben multiplicar por 3.

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\({ }^{17}\)Nuevamente, los valores negativos de\(\omega\) pueden ser caídos, porque dan funciones reales similares\(q(z, t)\).

\({ }^{18}\)Describen, en particular, las conocidas ondas estacionarias transversales sobre una cuerda de guitarra.

\({ }^{19}\)Este método de separación de variables es muy general y se discute en todas las partes de esta serie, especialmente en EM Capítulo 2.

\({ }^{20}\)La onda estacionaria más baja del sistema, con la más pequeña\(k_{n}\) y\(\omega_{n}\), suele llamarse su modo fundamental.

\({ }^{21}\)Obsérvese que la Figura 11 muestra el caso de un límite rígido y otro abierto (ver Figura 10b), donde\(l=N d\); para un sistema conceptualmente más simple con dos límites rígidos (Figura 10a) necesitaríamos tomar\(l=(N+1) d\), porque ninguno de los puntos finales puede oscilar.

\({ }^{22}\)Nótese que esta relación simple, pero muy importante, se deriva frecuentemente usando la llamada condición de límite Born-Carman\(q_{0}(t) \equiv q_{N}(t)\), lo que implica doblar el sistema de interés en un bucle cerrado. Para un sistema 1D con\(N>>1\), tal ejercicio mental puede estar justificado de alguna manera, pero para sistemas de mayor dimensión, es difícilmente plausible físicamente\(-\) y es innecesario.