6.6: Decaimiento y atenuación de onda

Ahora vamos a discutir los efectos de la disipación en las ondas 1D, sobre el ejemplo del mismo sistema uniforme que se muestra en la Figura 4. Los efectos son más simples para un arrastre lineal que se puede describir, como se hizo para un solo oscilador en\(\mathrm{Sec} .5 .1\), al agregar el término\(\eta d q_{j} / d t\), a la Ec. (24) para cada partícula:\[m \ddot{q}_{j}+\eta \dot{q}_{j}-\kappa_{\mathrm{ef}}\left(q_{j+1}-q_{j}\right)+\kappa_{\mathrm{ef}}\left(q_{j}-q_{j-1}\right)=0 .\] (En un sistema uniforme, el coeficiente de arrastre\(\eta\) debe ser similar para todas las partículas, aunque puede ser diferente para las oscilaciones longitudinales y transversales.)

Para analizar el efecto de disipación en las ondas estacionarias, podemos volver a utilizar el método de separación variable, es decir, buscar la solución de la ecuación (76) en la forma similar a la ecuación (67), reajustándola naturalmente para nuestro caso discreto actual:\[q\left(z_{j}, t\right)=\sum_{n} Z_{n}\left(z_{j}\right) T_{n}(t) .\] Después de dividir todos los términos por\(m Z_{n}\left(z_{j}\right) T_{n}(t)\), y separar el tiempo- términos dependientes y dependientes del espacio, obtenemos\[\frac{\ddot{T}_{n}}{T_{n}}+\frac{\eta}{m} \frac{\dot{T}_{n}}{T_{n}}=\frac{\kappa_{\mathrm{ef}}}{m}\left[\frac{Z_{n}\left(z_{j+1}\right)}{Z_{n}\left(z_{j}\right)}+\frac{Z_{n}\left(z_{j+1}\right)}{Z_{n}\left(z_{j}\right)}-2\right]=\text { const }\] Como sabemos de la sección anterior, la ecuación resultante para la función\(Z_{n}\left(z_{j}\right)\) se satisface si la constante de separación variable es igual a\(-\omega_{n}{ }^{2}\), donde\(\omega_{n}\) obedece a la relación de dispersión (30) para el número de onda\(k_{n}\), adecuadamente calculado para el sistema libre de disipación, con la cuenta de las condiciones de límite dadas - véase, por ejemplo, las ecuaciones (62) y (72). De ahí que para la función\(T_{n}(t)\) estamos obteniendo la ecuación diferencial ordinaria\[\ddot{T}_{n}+2 \delta \dot{T}_{n}+\omega_{n}^{2} T_{n}=0, \quad \text { with } \delta \equiv \frac{\eta}{2 m},\] que es absolutamente similar a la Ec. (5.6b) para un solo oscilador lineal, la cual fue estudiada en la Sec. 5.1. Como ya sabemos, tiene la solución (5.9), describiendo el decaimiento de oscilación libre con el tiempo de relajación dado por\((5.10), \tau=1 / \delta\), y por lo tanto similar para todos los modos. \({ }^{23}\)

De ahí que el análisis anterior del efecto de disipación sobre las ondas estacionarias libres no ha traído ninguna sorpresa, pero nos da una pista de cómo pueden analizarse sus oscilaciones forzadas, inducidas por algunas fuerzas externas\(F_{j}(t)\) ejercidas sobre las partículas. En efecto, representando la fuerza como una suma de armónicos espaciales proporcionales a los modos del sistema,\[F_{j}(t)=m \sum_{n} f_{n}(t) Z_{n}\left(z_{j}\right)\] y usando la separación variable (77), llegamos a la ecuación\[\ddot{T}_{n}+2 \delta \dot{T}_{n}+\omega_{n}^{2} T_{n}=f_{n}(t),\] similar a la Ec. (5.13b) para un solo oscilador. Este hecho permite utilizar todos los métodos discutidos en la Sec. \(5.1\)para el análisis de oscilación forzada, además de que la función temporal del Verde, definida por cualquiera de las ecuaciones equivalentes (5.27) y (5.28), adquiere ahora el índice\(n\), es decir, se vuelve dependiente del modo:\(G(\tau) \rightarrow\)\(G_{n}(\tau)\). Al realizar la suma ponderada similar a la Ec. (80),\[G_{j}(\tau)=\sum_{n} G_{n}(\tau) Z_{n}\left(z_{j}\right),\] obtenemos la función de Green espacio-temporal del sistema, en este caso, para un conjunto discreto, 1D de puntos espaciales\(z_{j}=j d\). Como en el caso del oscilador único, tiene un simple sentido físico de las oscilaciones inducidas por una fuerza delta-funcional (es decir, un pulso muy corto), ejercida sobre la\(j^{\text {th }}\) partícula. También conoceremos (y usaremos) tales funciones espacio-temporales de Green en otras partes de esta serie.

Ahora vamos a discutir los efectos de disipación en las ondas viajeras, donde pueden tomar una forma de atenuación completamente diferente. Vamos a discutirlo en un ejemplo simple cuando un extremo (ubicado en\(z=0)\) de una cadena muy larga\((l \rightarrow \infty)\) es externamente forzado a realizar oscilaciones sinusoidales de cierta frecuencia\(\omega\) y una amplitud fija\(A_{0}\). En este caso, es natural buscar la solución particular de la Ec. (76) en una forma muy diferente a la Ec. (77):\[q_{j}(z, t)=\operatorname{Re}\left[c_{j} e^{-i \omega t}\right]\] con amplitudes independientes del tiempo pero generalmente complejas\(c_{j}\). Como nuestra discusión de un solo oscilador en la Sec. \(5.1\)implica, esta no es la solución general, sino más bien parcial, que describe oscilaciones forzadas en el sistema, a las que se asienta después de algún proceso transitorio inicial. (Con una amortiguación distinta de cero, podemos estar seguros de que este proceso se desvanece después de un tiempo finito y, por lo tanto, puede ignorarse para la mayoría de los propósitos).

Al enchufar la Eq. (83) a la Eq. (76), la reducimos a una ecuación para las amplitudes\(c_{j}\),\[\left(-m \omega^{2}-i \omega \eta+2 \kappa_{\mathrm{ef}}\right) c_{j}-\kappa_{\mathrm{ef}} c_{j+1}-\kappa_{\mathrm{ef}} c_{j-1}=0,\] que es una generalización natural de la Ec. (25). Como resultado, las soluciones parciales del conjunto de estas ecuaciones (for\(j=0,1,2, \ldots\)) pueden buscarse nuevamente en la forma (26), pero ahora, debido al nuevo término imaginario en la Ec. (84), deberíamos estar listos para obtener un cambio de fase complejo\(\alpha\), y de ahí un número de onda complejo\(k \equiv \alpha / d .{ }^{24}\) De hecho, el resultante ecuación característica para\(k\),\[\sin ^{2} \frac{k d}{2}=\frac{\omega^{2}}{\omega_{\max }^{2}}+i \frac{2 \omega \delta}{\omega_{\max }^{2}}\] (donde\(\omega_{\max }\) se define por la Ec. (30), y el coeficiente de amortiguación se define al igual que en un solo oscilador\(\delta\)\(\equiv \eta / 2 m)\),, no tiene una solución real incluso a\(\omega<\omega_{\max }\). El uso de las expresiones bien conocidas para la función sinusoidal de un argumento\({ }^{25}\) complejo Ec. (85) puede resolverse fácilmente en el límite de baja amortiguación más importante\(\delta<<\omega\). En la aproximación lineal en\(\delta\), no afecta la parte real de\(k\), sino que hace que su parte imaginaria sea diferente de cero:\[k=\pm \frac{2}{d}\left(\sin ^{-1} \frac{\omega}{\omega_{\max }}+i \frac{\delta}{\omega_{\max }}\right) \equiv \pm\left(\frac{2}{d} \sin ^{-1} \frac{\omega}{\omega_{\max }}+i \frac{\delta}{v}\right), \quad \text { for }-\pi \leq \operatorname{Re} k \leq \pi,\] con una extensión periódica a otros periodos - ver Figura 5. Así como se hizo en la Ec. (28), debido a dos valores del número de onda, generalmente tenemos que tomar\(c_{j}\) la forma no de una sola onda (26), sino de una superposición lineal de dos soluciones parciales:\[c_{j}=\sum_{\pm} c_{\pm} \exp \left\{\pm i \operatorname{Re} k z_{j} \mp \frac{\delta}{v} z_{j}\right\}\] donde las constantes\(c_{\pm}\) deben encontrarse a partir de las condiciones de contorno. En nuestro caso particular,\(\left|c_{0}\right|=A_{0}\) y\(c_{\infty}=0\), de manera que sólo una de estas dos ondas, a saber, la onda que decae exponencialmente en su penetración en el sistema, es diferente de cero:\(\left|c_{+}\right|=A_{0}, c_{-}=0\). De ahí que nuestra solución describa una sola onda, con la amplitud real y la energía de oscilación disminuyendo como\[A_{j} \equiv\left|c_{j}\right|=A_{0} \exp \left\{-\frac{\delta}{v} z_{j}\right\}, \quad E_{j} \propto A_{j}^{2} \propto \exp \left\{-\alpha z_{j}\right\}, \quad \text { with } \alpha=\frac{2 \delta}{v},\] es decir, con una constante de atenuación independiente de la frecuencia de\(\alpha=2 \delta / v,{ }^{26}\) manera que la escala espacial de penetración de onda en un sistema disipativo viene dada por\(l_{d} \equiv 1 / \alpha\). Ciertamente, nuestra solución simple (88) sólo es válida para un sistema de longitud\(l>>l_{d}\); de lo contrario, necesitaríamos el segundo término en la suma (87) para describir la onda reflejada desde su extremo opuesto.

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\({ }^{23}\)Incluso una experiencia elemental con guitarras acústicas demuestra que para sus cuerdas esta conclusión particular de nuestra teoría no es válida: los modos superiores (“armónicos”) decaen sustancialmente más rápido, dejando las oscilaciones de modo fundamental para una decadencia más lenta. Esto es resultado de otro importante mecanismo de pérdida de energía (es decir, el decaimiento de onda), no tomado en cuenta en la Ec. (76): la radiación del sonido hacia el cuerpo de la guitarra a través de los soportes de cuerda, principalmente a través del puente. Dicha radiación puede ser descrita por una modificación adecuada de las condiciones límite (62), en términos de la relación de la impedancia de onda (47) de la cuerda y las de los soportes.

\({ }^{24}\)Como recordatorio, ya nos hemos encontrado con tal situación en ausencia de amortiguamiento, pero al\(\omega>\omega_{\max }-\) ver Ec. (38).

\({ }^{25}\)Véase, por ejemplo, MA Ec. (3.5).

\({ }^{26}\)Lamento usar para la atenuación la\(\alpha\) misma letra que para el desplazamiento de fase en la ecuación (26) y algunos de sus corolarios, pero ambas notaciones son tradicionales.