6.7: Efectos no lineales y paramétricos

Ahora permítanme discutir (por la falta de tiempo, muy brevemente, a nivel semicuantitativo), los nuevos fenómenos no lineales y paramétricos que aparecen en sistemas oscilatorios con más de un grado de libertad - cf. Secs. 5.4-5.8. Un nuevo efecto importante aquí es el bloqueo de fase mutuo de (dos o más) osciladores autoexcitados débilmente acoplados con frecuencias cercanas: si las frecuencias propias de los osciladores están suficientemente cercanas, sus frecuencias de oscilación “se mantienen juntas” para llegar a ser exactamente iguales. Aunque su dinámica de este proceso es muy cercana a la del bloqueo de fase de un solo oscilador por una señal externa, que se discutió en la Sec. 5.4, es bastante contradictorio a la vista de los resultados de la Sec. 1, y en particular, el diagrama anticrosante mostrado en la Figura 2. El análisis del efecto utilizando el método van der Pol (que es muy recomendable para el lector, ver Problema 16) muestra que el origen de la diferencia es la no linealidad de los osciladores, lo que hace que las amplitudes de oscilación sean prácticamente independientes de la evolución de fase - ver Ec. (5.68) y su discusión.

Un nuevo efecto más es la llamada excitación paramétrica no degenerada. Se puede ilustrar en el ejemplo de solo dos osciladores acoplados - ver Sec. 1 anterior. Supongamos que la constante de acoplamiento\(\kappa\), que participa en las ecuaciones (5), no es constante, sino que oscila en el tiempo -digamos con cierta frecuencia\(\omega_{\mathrm{p}}\). En este caso, las fuerzas que actúan sobre cada oscilador desde su contraparte, descritas por el lado derecho de las ecuaciones (5), serán proporcionales a\(\kappa q_{2,1}\left(1+\mu \cos \omega_{p} t\right)\). Suponiendo que las oscilaciones de\(q_{1}\) y\(q_{2}\) son cercanas a las sinusoidales, con ciertas frecuencias\(\omega_{1,2}\), vemos que la fuerza ejercida sobre cada oscilador contendrá las llamadas frecuencias combinacionales\[\omega_{\mathrm{p}} \pm \omega_{2,1}\] Si una de estas frecuencias está cerca de la propia frecuencia de oscilación del oscilador, podemos esperar una interacción paramétrica sustancial entre los osciladores (además de los efectos de acoplamiento constante discutidos en la Sec. 1). De acuerdo con la Ec. (89), esto puede suceder en dos casos:\[\begin{aligned} \omega_{\mathrm{p}} &=\omega_{1}+\omega_{2}, \\ \omega_{\mathrm{p}} &=\omega_{1}-\omega_{2} . \end{aligned}\] El análisis cuantitativo (también muy recomendable para el lector, ver Problema 18) muestra que en el caso (90a), la modulación de parámetros efectivamente conduce a que la energía “bombear” en las oscilaciones. Como resultado, una suficientemente grande\(\mu\), con coeficientes de amortiguación suficientemente pequeños\(\delta_{1,2}\) y la desafinación efectiva\[\xi \equiv \omega_{\mathrm{p}}-\left(\Omega_{1}+\Omega_{2}\right),\] pueden conducir a una autoexcitación simultánea de dos componentes de frecuencia\(\omega_{1,2}\). Estas frecuencias, si bien son aproximadamente iguales a las frecuencias propias correspondientes\(\Omega_{1,2}\) del sistema, están relacionadas con la frecuencia de bombeo\(\omega_{\mathrm{p}}\) por la relación exacta (90a), pero por lo demás son arbitrarias, por ejemplo, pueden ser inconmensurables (Figura 12a), justificando así el término no degenerado excitación paramétrica. \({ }^{27}\)(La excitación paramétrica de un solo oscilador, que se analizó en la Sec. 5.5, es un caso particular, degenerado de dicha excitación, con\(\omega_{1}=\omega_{2}=\omega_{\mathrm{p}} / 2\).) Por otro lado, para el caso descrito por la Ec. (90b), la modulación de parámetros siempre bombea energía de las oscilaciones, aumentando efectivamente la amortiguación del sistema.

Algo contraintuitivamente, esta diferencia entre dos casos (90) puede ser interpretada más simple utilizando las nociones básicas de la mecánica cuántica. Es decir, la igualdad\(\omega_{\mathrm{p}}=\omega_{1}+\omega_{2}\) permite una descomposición de un fotón externo de energía\(\hbar \omega_{0}\) en dos fotones de energías\(\hbar \omega_{1}\) y\(\hbar \omega_{2}\) de los osciladores. (Por el contrario, la relación complementaria (90b), es decir\(\omega_{1}=\omega_{\mathrm{p}}+\omega_{2}\), da como resultado una descomposición inducida por bombeo de fotones de frecuencia\(\omega_{1}\).)

Figura 6.12. Espectros de oscilaciones en (a) la excitación paramétrica no degenerada y (b) la mezcla de cuatro ondas. Las direcciones de las flechas simbolizan los flujos de energía que entran y salen del sistema.

Tenga en cuenta que incluso si las frecuencias\(\omega_{1}\) y\(\omega_{2}\) de las oscilaciones paramétricamente excitadas son inconmensurables, las oscilaciones están altamente correlacionadas. En efecto, la teoría mecánica cuántica de este efecto\({ }^{28}\) muestra que los fotones generados están enredados. Este hecho hace que la excitación paramétrica sea muy popular para una amplia clase de experimentos en varios campos actualmente activos, incluyendo computación cuántica y encriptación, y los estudios de inecalidad/realidad local de Bell. \({ }^{29}\)

Procediendo a fenómenos no lineales, observemos, en primer lugar, que el simple razonamiento que acompañó a la Ec. (5.108) en la Sec. 5.8, también es válido en el caso en que las oscilaciones consten de dos (o más) componentes sinusoidales con frecuencias inconmensurables. Sustituyendo la notación\(2 \omega\) por\(\omega_{\mathrm{p}}\), vemos que la excitación paramétrica no degenerada del tipo (90a) es posible en un sistema de dos osciladores acoplados con una no linealidad cuadrática (del tipo\(\gamma q^{2}\)), “bombeada” por una señal externa intensiva a frecuencia\(\omega_{\mathrm{p}} \approx \Omega_{1}+\Omega_{2}\). En óptica, a menudo es más conveniente tener todas las señales dentro del mismo rango de frecuencia relativamente estrecho. Un cálculo simple, similar al realizado en las ecuaciones (5.107) - (5.108), muestra que esto se puede hacer usando la no linealidad cúbica\({ }^{30}\) del tipo\(\alpha q^{3}\), lo que permite un intercambio de energía paramétrico similar a la relación de frecuencia mostrada en la Figura 12b:\[2 \omega=\omega_{1}+\omega_{2}, \quad \text { with } \omega \approx \omega_{1} \approx \omega_{2} .\] Este proceso se suele llamar el cuatro- mezcla de ondas, porque puede interpretarse cuánticamentemecánicamente como la transformación de fotones\(t w o\) entregados externamente, cada uno con energía\(\hbar \omega\), en otros dos fotones de energías\(\hbar \omega_{1}\) y\(\hbar \omega_{2}\). La palabra “onda” en este término deriva del hecho de que a frecuencias ópticas, es difícil acoplar un volumen suficiente de un medio no lineal con resonadores de tipo grumado. Es mucho más fácil implementar la excitación paramétrica (así como otros fenómenos no lineales como la generación armónica superior) de luz en sistemas distribuidos de un tamaño lineal mucho mayor que las longitudes de onda involucradas. En dichos sistemas, la transferencia de energía de la onda entrante de frecuencia\(\omega\) a las ondas de frecuencias generadas\(\omega_{1}\) y\(\omega_{2}\) se acumula gradualmente en su propagación conjunta a lo largo del sistema. De la analogía entre la ecuación (85) (que describe la evolución de la amplitud de la onda en el espacio) y la ecuación habitual del oscilador lineal (describiendo su evolución en el tiempo), es claro que esta acumulación de transferencia de energía requiere no solo las frecuencias\(\omega\), sino también los números de onda \(k\)estar en relaciones similares. Por ejemplo, la mezcla de cuatro ondas requiere que no sólo se cumpla el balance de frecuencias (\[2 k=k_{1}+k_{2},\]92a), sino también una relación similar. Dado que las tres frecuencias son cercanas, esta relación es fácil de organizar. Desafortunadamente, debido a la falta de tiempo/espacio, para una mayor discusión de este tema tan interesante, llamado óptica no lineal, tengo que referir al lector a literatura especial. \({ }^{31}\)

Puede parecer un medio libre de dispersión, con\(\omega / k=v=\) const, es la solución perfecta para organizar la interacción paramétrica de las ondas, ya que en dichos medios, por ejemplo, la ecuación (92b) se sigue automáticamente de la ecuación (92a). Sin embargo, en tal medio no solo las deseables tres ondas que interactúan paramétricamente sino también todos sus armónicos, tienen la misma velocidad. En estas condiciones, las tasas de transferencia de energía entre todos los armónicos son del mismo orden. Quizás el resultado más importante de tal interacción multiarmónica es que las ondas viajeras incidentes intensivas, que interactúan con un medio no lineal, pueden desarrollar formas de onda bruscamente no sinusoidales, en particular aquellas con un cambio casi instantáneo del campo en un momento determinado. Tales ondas de choque, especialmente las de naturaleza mecánica, son de gran interés para ciertas aplicaciones -algunas de ellas no del todo inocentes, por ejemplo, la dinámica de explosión en las bombas habituales (químicas) y nucleares. \({ }^{32}\)

Para concluir este capítulo, permítanme señalar que la discusión anterior sobre las ondas acústicas 1D se extenderá, en la Sec. 7.7, a los medios 3D elásticos. Ahí veremos que generalmente, las ondas obedecen a una ecuación más compleja que la generalización aparentemente natural de la Ec. (40):\[\left(\frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}-\nabla^{2}\right) q(\mathbf{r}, t)=0,\] dónde\(\nabla^{2}\) está el operador de Laplace. Este hecho se suma a la complejidad de los fenómenos de onda viajera y onda estacionaria en dimensiones superiores. Además, en sistemas multidimensionales, incluyendo sistemas pseudo-1D tales como varillas delgadas y sistemas pseudo-2D como membranas delgadas, incluso las deformaciones elásticas estáticas pueden ser muy no triviales. Una breve introducción a la teoría general de las pequeñas deformaciones, con un enfoque en la continua elástica, será el tema del siguiente capítulo.

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\({ }^{27}\)Tenga en cuenta que en algunas publicaciones, se utiliza en su lugar el término conversión descendente paramétrica (PDC).

\({ }^{28}\)Lo cual es, sorprendentemente, no mucho más complejo que la teoría clásica - véase, por ejemplo, QM Sec.5.5

\({ }^{29}\)Véase, por ejemplo, QM Secs. \(8.5\)y\(10.3\), respectivamente.

\({ }^{30}\)En óptica, dicha no linealidad se implementa utilizando cristales transparentes como el niobato de litio\(\left(\mathrm{LiNbO}_{3}\right)\), con la dependencia cúbico-no lineal de la polarización eléctrica en el campo eléctrico aplicado:\(\mathscr{P} \propto \mathscr{E}+\alpha \mathscr{E}^{3}\).

\({ }^{31}\)Véase, por ejemplo, N. Bloembergen, Nonlinear Optics,\(4^{\text {th }}\) ed., World Scientific, 1996, o un tratamiento más moderno de R. Boyd, Nonlinear Optics,\(3^{\text {rd }}\) ed., Academic Press, 2008. Este campo es actualmente muy activo. Como solo un ejemplo, permítanme mencionar los experimentos recientes con amplificación paramétrica de pulsos ópticos ultracortos (20 -fs) a una potencia máxima tan alta como se\(\sim 5 \times 10^{12} \mathrm{~W}-\) ve\(\mathrm{X}\). Zeng et al., Optics Lett. 42, 2014 (2017).

\({ }^{32}\)La clásica (y quizás aún la mejor) monografía sobre el tema es Ya. Zeldovich, Física de las ondas de choque y los fenómenos de alta temperatura, Dover,\(2002 .\)