7.2: Estrés

Ahora hablemos de las fuerzas que causan la tensión -o, desde un punto de vista alternativo, son causadas por la tensión. Las fuerzas internas que actúan dentro (es decir, entre partes arbitrariamente definidas de) un continuo también pueden caracterizarse por un tensor. Este tensor de tensión,\({ }^{6}\) con elementos\(\sigma_{j j}\), relaciona los componentes cartesianos del vector\(d \mathbf{F}\) de la fuerza que actúa sobre un área elemental\(d A\) de una interfaz (en la mayoría de los casos, imaginada) entre dos partes de un continuo, con los componentes del vector elemental\(d \mathbf{A}\) \(=\mathbf{n} d A\)normal al área\(-\) ver Figura 3:\[d F_{j}=\sum_{j^{\prime}=1}^{3} \sigma_{i j^{\prime}} d A_{j^{\prime}} .\] La convención de signo habitual aquí es tomar la normal exterior\(d \mathbf{n}\), es decir, dirigir\(d \mathbf{A}\) fuera de “nuestra” parte del continuum, es decir, la parte sobre la que\(d \mathbf{F}\) se ejerce la fuerza calculada -por la parte complementaria.

Figura 7.3. La definición de vectores\(d \mathbf{A}\) y\(d \mathbf{F}\).

En algunos casos, la estructura del tensor de estrés es muy simple. Por ejemplo, como se discutirá en detalle en el siguiente capítulo, los fluidos estáticos e ideales (es decir, líquidos y gases) solo pueden proporcionar fuerzas normales a cualquier interfaz, y generalmente dirigidas hacia “nuestra” parte del cuerpo, de modo que\[d \mathbf{F}=-\mathcal{P} d \mathbf{A}, \quad \text { i.e. } \sigma_{i j^{\prime}}=-\mathcal{P} \delta_{j j^{\prime}},\] donde el escalar\(\mathcal{P}\) (en la mayoría de los casos positivo) se llama presión, y generalmente puede depender tanto de la posición espacial como del tiempo. Este tipo de estrés, con\(\mathcal{P}>0\), se denomina frecuentemente compresión hidrostática aunque se produzca en sólidos, como puede ser.

Sin embargo, en el caso general, el tensor de tensión también tiene términos fuera de la diagonal, que caracterizan el esfuerzo cortante. Por ejemplo, si la deformación cortante, mostrada en la Figura 2, es causada por un par de fuerzas\(\pm \mathbf{F}\), crean fuerzas internas\(F_{x} \mathbf{n}_{x}\), con\(F_{x}>0\) si hablamos de la fuerza que actúa sobre una parte de la muestra debajo de la interfaz horizontal imaginaria que estamos discutiendo. Para evitar una aceleración horizontal de cada corte horizontal de la muestra, las fuerzas no deben depender de\(y\), es decir,\(F_{x}=\) const\(=F\). Superficialmente, puede parecer que en este caso, el único componente distinto de cero del tensor de tensión es\(d F_{x} / d A_{y}=F / A=\) const, de manera que el tensor es asimétrico, en contraste con el tensor de deformación (15) del mismo sistema. Tenga en cuenta, sin embargo, que el par de fuerzas\(\pm \mathbf{F}\) crea no solo el esfuerzo cortante sino también un par de rotación distinto de cero\(\tau=-F h \mathbf{n}_{z}=-\)\(\left(d F_{x} / d A_{y}\right) A h \mathbf{n}_{z}=-\left(d F_{x} / d A_{y}\right) V \mathbf{n}_{z}\), donde\(V=A h\) está el volumen de la muestra. Entonces, si queremos realizar un experimento de esfuerzo estático, es decir, evitar la rotación de la muestra, necesitamos aplicar algunas otras fuerzas, por ejemplo, un par de fuerzas verticales creando un par igual y opuesto\(\tau^{\prime}=\left(d F_{y} / d A_{x}\right) V \mathbf{n}_{z}\), lo que implica eso\(d F_{y} / d A_{x}=d F_{x} / d A_{y}\)\(=F / A\). Como resultado, el tensor de tensión se vuelve simétrico y similar en estructura al tensor de deformación simétrico (15):

\[\sigma=\left(\begin{array}{ccc} 0 & F_{0} / A & 0 \\ F_{0} / A & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) .\]En muchas situaciones, el cuerpo puede estar estresado no sólo por las fuerzas aplicadas a sus superficies sino también por algunas fuerzas distribuidas en volumen (a granel)\(d \mathbf{F}=\mathbf{f} d V\), cuya cierta densidad aparente efectiva\(\mathbf{f}\). (El ejemplo más evidente de tales fuerzas es la gravedad. Si su campo es uniforme como lo describe la Ec. (1.16), entonces\(\mathbf{f}=\rho \mathbf{g}\), donde\(\rho\) está la densidad de masa.) Derivamos la fórmula clave que describe la suma de la interfaz y las fuerzas masivas. Para ello, considere nuevamente un cuboide elemental con lados\(d r_{j}\) paralelos a los ejes de coordenadas correspondientes (Figura 4) -ahora no necesariamente los ejes principales del tensor de tensión.

Figura 7.4. Derivando Eq. (23).

Si los elementos\(\sigma_{i j^{\prime}}\) del tensor no dependen de la posición, la fuerza\(d \mathbf{F}^{(j)}\) que actúa sobre la cara\(j^{\prime}\) '-ésima del cuboide se equilibra exactamente por la fuerza igual y opuesta que actúa sobre su cara opuesta, porque los vectores\(d \mathbf{A}^{\left(j^{\prime}\right)}\) en estas caras son iguales y opuestos. Sin embargo, si\(\sigma_{i j}\) es una función de\(\mathbf{r}\), entonces la fuerza neta\(d\left(d \mathbf{F}^{(j)}\right)\) no se desvanece. (En esta expresión, el primer signo diferencial se refiere al turno elemental\(d r_{j}\), mientras que el segundo, al área elemental\(d A_{j^{\prime}}\).) Usando la expresión\(\sigma_{i j} d A_{j}\), para a la\(j\), th contribución a la suma (18), en el primer orden en\(d \mathbf{r}\)\(j^{\text {th }}\) los componentes del vector\(d\left(d \mathbf{F}^{(j)}\right)\) es\[d\left(d F_{j}^{\left(j^{\prime}\right)}\right)=d\left(\sigma_{i j^{\prime}} d A_{j^{\prime}}\right)=\frac{\partial \sigma_{j j^{\prime}}}{\partial r_{j^{\prime}}} d r_{j^{\prime}} d A_{j^{\prime}} \equiv \frac{\partial \sigma_{i j^{\prime}}}{\partial r_{j^{\prime}}} d V,\] donde el volumen del cuboide\(d V=d r_{j} \cdot d A_{j}\) 'evidentemente no depende del índice\(j\)'. La adición de estas componentes de fuerza para los tres pares de caras cuboides, es decir, la suma de las ecuaciones (21) sobre los tres valores del índice superior\(j\) ', produce la siguiente relación para el componente\(j^{\text {th }}\) cartesiano de la fuerza neta ejercida sobre el cuboide:\[d\left(d F_{j}\right)=\sum_{j^{\prime}=1}^{3} d\left(d F_{j}^{\left(j^{\prime}\right)}\right)=\sum_{j^{\prime}=1}^{3} \frac{\partial \sigma_{i j^{\prime}}}{\partial r_{j^{\prime}}} d V .\] Dado que cualquier volumen puede ser roto en tales cuboides infinitesimales, la Ec. (22) muestra que la tensión que varía en el espacio es equivalente a una fuerza distribuida en volumen\(d \mathbf{F}_{\text {ef }}=\mathbf{f}_{\text {ef }} d V\), cuya efectiva (¡no real!) densidad aparente\(\mathbf{f}_{\text {ef }}\) cuenta con los siguientes componentes cartesianos\[\left(f_{\text {ef }}\right)_{j}=\sum_{j^{\prime}=1}^{3} \frac{\partial \sigma_{i j^{\prime}}}{\partial r_{j^{\prime}}},\] para que ante la presencia de fuerzas genuinamente a granel\(d \mathbf{F}=\mathbf{f} d V\), densidades\(\mathbf{f}_{\text {ef }}\) y\(\mathbf{f}\) apenas se suman. Este el llamado principio de estrés de Euler-Cauchy.

Usemos esta regla de adición para deletrear la ley de\(2^{\text {nd }}\) Newton para un volumen unitario de un continuo:\[\rho \frac{\partial^{2} \mathbf{q}}{\partial t^{2}}=\mathbf{f}_{\mathrm{ef}}+\mathbf{f} .\] Usando la ecuación (23), el componente\(j^{\text {th }}\) cartesiano de la ecuación (24) puede representarse como\[\rho \frac{\partial^{2} q_{j}}{\partial t^{2}}=\sum_{j^{\prime}=1}^{3} \frac{\partial \sigma_{i j^{\prime}}}{\partial r_{j^{\prime}}}+f_{j} .\] Esta es la ecuación clave de la dinámica (y estática) del continuum, que se utilizará repetidamente abajo.

Para la solución de algunos problemas, también es conveniente tener una expresión general para el trabajo\(\delta \mathscr{Y}\) de las fuerzas de tensión a una deformación virtual\(\delta \mathbf{q}\) -entendida en el mismo sentido variacional que los desplazamientos virtuales\(\delta \mathbf{r}\) en la Sec. 2.1. Utilizando el principio de Euler-Cauchy (23), para cualquier volumen\(V\) de un medio no afectado por fuerzas distribuidas en volumen, podemos escribir\({ }^{7}\)\[\delta \mathscr{V}=-\int_{V} \mathbf{f}_{\mathrm{ef}} \cdot \delta \mathbf{q} d^{3} r=-\sum_{j=1}^{3} \int_{V}\left(f_{\mathrm{ef}}\right)_{j} \delta q_{j} d^{3} r=-\sum_{j, j^{\prime}=1}^{3} \int_{V}^{\partial \sigma_{i j^{\prime}}} \frac{\partial r_{j^{\prime}}}{\partial q_{j}} d^{3} r .\] Resolvamos esta integral por partes para un volumen tan grande que las deformaciones\(\delta q_{j}\) en su superficie son despreciables. Entonces, intercambiando las operaciones de la variación y la diferenciación espacial (al igual que se hizo con la derivada del tiempo en la Sec. 2.1), obtenemos\[\delta \mathscr{W}=\sum_{j, j^{\prime}=1}^{3} \int_{V} \sigma_{i j^{\prime}} \delta \frac{\partial q_{j}}{\partial r_{j^{\prime}}} d^{3} r .\] Suponiendo que el tensor\(\sigma_{i j}\), es simétrico, podemos reescribir esta expresión como\[\delta \mathscr{W}=\frac{1}{2} \sum_{j, j^{\prime}=1}^{3} \int_{V}\left(\sigma_{j j^{\prime}} \delta \frac{\partial q_{j}}{\partial r_{j^{\prime}}}+\sigma_{j j} \delta \frac{\partial q_{j}}{\partial r_{j^{\prime}}}\right) d^{3} r .\] Ahora, intercambiando índices\(j\) y\(j\) ' en la segunda expresión, finalmente obtenemos\[\delta \mathscr{H}=\frac{1}{2} \sum_{j, j^{\prime}=1}^{3} \int_{V} \delta\left(\frac{\partial q_{j}}{\partial r_{j^{\prime}}} \sigma_{i j^{\prime}}+\frac{\partial q_{j^{\prime}}}{\partial r_{j}} \sigma_{j j^{\prime}}\right) d^{3} r=-\sum_{j, j^{\prime}=1}^{3} \int_{V} \sigma_{i j^{\prime}} \delta s_{j j^{\prime}} d^{3} r,\] donde\(s_{j j}\) 'están los componentes del tensor de tensión (9b). Es natural reescribir esta importante fórmula\[\delta \mathscr{W}=\int_{V} \delta w(\mathbf{r}) d^{3} r, \quad \text { where } \delta w(\mathbf{r}) \equiv \sum_{j, j^{\prime}=1}^{3} \sigma_{i j^{\prime}} \delta s_{j j},\] e interpretar la función escalar definida localmente\(\delta_{r c}(\mathbf{r})\) como el trabajo de las fuerzas de tensión por unidad de volumen, a una pequeña variación de la deformación.

Como comprobación de cordura, para la presión pura (19), la ecuación (30) se reduce al resultado evidentemente correcto\(\delta \mathscr{W}=-\mathcal{P} \delta V\), donde\(V\) está el volumen de “nuestra” parte del continuum.

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\({ }^{6}\)Con frecuencia se le llama el tensor de estrés de Cauchy, en parte para honrar a Augustin-Louis Cauchy quien introdujo esta noción (y es responsable del desarrollo, principalmente en la década de 1820, gran parte de la teoría descrita en este capítulo), y en parte para distinguirla de y otras posibles definiciones del estrés tensor, incluyendo los tensores\(1^{s t}\) y\(2^{n d}\) PiolaKirchhoff. Por las pequeñas deformaciones discutidas en este curso, todas estas nociones coinciden.

\({ }^{7}\)Aquí el signo corresponde al trabajo de la fuerza de tensión “externa”\(d \mathbf{F}\), ejercida sobre “nuestra” parte del continuum por su contraparte - ver Figura 3. Obsérvese que algunos textos consideran la definición opuesta de\(\delta \mathscr{H}\), lo que lleva a su signo opuesto.