7.4: Equilibrio

Ahora estamos totalmente equipados para discutir la dinámica de deformación elástica, pero comencemos con la estática. El estado estático (equilibrio) puede describirse requiriendo que el lado derecho de la Ec. (25) se desvanezca. Para encontrar la deformación elástica, necesitamos tapar\(\sigma_{i j}\) 'de la ley de Hooke (49a), y luego expresar los elementos\(s_{i j}\)' a través de la distribución de desplazamiento - ver Eq. (9). Para un material uniforme, el resultado es\(^{21}\)\[\frac{E}{2(1+v)} \sum_{j^{\prime}=1}^{3} \frac{\partial^{2} q_{j}}{\partial r_{j^{\prime}}^{2}}+\frac{E}{2(1+v)(1-2 v)} \sum_{j^{\prime}=1}^{3} \frac{\partial^{2} q_{j^{\prime}}}{\partial r_{j} \partial r_{j^{\prime}}}+f_{j}=0 .\] Teniendo en cuenta que la primera suma en la Ec. (51) es solo el\(j^{\text {th }}\) componente de\(\nabla^{2} \mathbf{q}\), mientras que la segunda suma es el\(j^{\text {th }}\) componente de\(\nabla(\nabla \cdot \mathbf{q})\), vemos que las tres ecuaciones\((51)\) para tres componentes cartesianos \((j=\)1,2 y 3) del vector de deformación\(\mathbf{q}\), pueden fusionarse convenientemente en una ecuación vectorial

\[\frac{E}{2(1+v)} \nabla^{2} \mathbf{q}+\frac{E}{2(1+v)(1-2 v)} \nabla(\nabla \cdot \mathbf{q})+\mathbf{f}=0\]Para algunas aplicaciones, es más conveniente refundir esta ecuación en una forma diferente, utilizando la conocida identidad vectorial\(^{22} \nabla^{2} \mathbf{q}=\nabla(\nabla \cdot \mathbf{q})-\nabla \times(\nabla \times \mathbf{q})\). El resultado\[\frac{E(1-v)}{(1+v)(1-2 v)} \nabla(\nabla \cdot \mathbf{q})-\frac{E}{2(1+v)} \nabla \times(\nabla \times \mathbf{q})+\mathbf{f}=0 .\] es interesante que en problemas sin fuerzas distribuidas en volumen\((\mathbf{f}=0)\), el módulo de Young se\(E\) cancela. Aún más fascinante, en este caso la ecuación puede ser reescrita en una forma que\(v\) tampoco involucre la relación de Poisson. En efecto, calculando la divergencia de los términos restantes de la ecuación (53), tomando en cuenta las ecuaciones de MA (9.2) y (11.2), obtenemos una ecuación sorprendentemente simple.\[\nabla^{2}(\nabla \cdot \mathbf{q})=0\] Una pregunta natural aquí es cómo afectan los módulos elásticos a la distribución de la deformación si no participan en la ecuación diferencial describiéndola. La respuesta es diferente son dos casos. Si lo que se fija en el límite del cuerpo son deformaciones, entonces los módulos son irrelevantes, porque la distribución de la deformación a través del cuerpo no depende de ellas. Por otro lado, si las condiciones límite describen tensión fija (o una combinación de tensión y deformación), entonces las constantes elásticas fluyen hacia la solución a través del recálculo de estas condiciones en la deformación.

Como ejemplo sencillo pero representativo, calculemos la distribución de la deformación en una concha esférica (generalmente, gruesa) bajo las diferentes presiones dentro y fuera de ella\(-\) ver Figura 7 a.

b)

Figura\(7.7\). El problema del caparazón esférico: (a) el caso general, y (b) el límite de shell delgado.

Debido a la simetría esférica del problema, la deformación es obviamente esféricamente simétrica y radial\(\mathbf{q}(\mathbf{r})=q(r) \mathbf{n}_{r}\), es decir, está completamente descrita por una función escalar\(q(r)\). Dado que el rizo de dicho campo vectorial radial es cero,\({ }^{23}\) la Ec. (53) se reduce a\[\nabla(\nabla \cdot \mathbf{q})=0,\] Esto significa que la divergencia de la función\(q(r)\) es constante dentro del shell. En las coordenadas esféricas:\({ }^{24}\)

\[\frac{1}{r^{2}} \frac{d}{d r}\left(r^{2} q\right)=\text { const. }\]Nombrando esta constante\(3 a\) (con el factor numérico elegido solo para la conveniencia de la notación posterior), e integrando la ecuación (56) sobre\(r\), obtenemos su solución,\[q(r)=a r+\frac{b}{r^{2}},\] que también incluye otra constante de integración,\(b\). Las constantes\(a\) y\(b\) pueden determinarse a partir de las condiciones de contorno. En efecto, de acuerdo con la Ec. (19),\[\sigma_{r r}= \begin{cases}-\mathcal{P}_{1}, & \text { at } r=R_{1}, \\ -\mathcal{P}_{2}, & \text { at } r=R_{2} .\end{cases}\] Para relacionar esta tensión con la tensión, usemos la ley de Hooke, pero para eso, primero necesitamos calcular los componentes del tensor de deformación para la distribución de deformación (57). Usando Eqs. (17), obtenemos\[s_{r r}=\frac{\partial q}{\partial r}=a-2 \frac{b}{r^{3}}, \quad s_{\theta \theta}=s_{\varphi \varphi}=\frac{q}{r}=a+\frac{b}{r^{3}},\] así que\(\operatorname{Tr}(\mathrm{s})=3 a\). Tapando estas relaciones en la Eq. (49a) para\(\sigma_{r r}\), obtenemos\[\sigma_{r r}=\frac{E}{1+v}\left[\left(a-2 \frac{b}{r^{3}}\right)+\frac{v}{1-2 v} 3 a\right] .\] Ahora enchufando esta relación en las ecuaciones (58), obtenemos un sistema de dos ecuaciones lineales para los coeficientes\(a\) y\(b\). Resolviendo este sistema, obtenemos:\[a=\frac{1-2 v}{E} \frac{\mathcal{P}_{1} R_{1}^{3}-\mathcal{P}_{2} R_{2}^{3}}{R_{2}^{3}-R_{1}^{3}}, \quad b=\frac{1+v}{2 E} \frac{\left(\mathcal{P}_{1}-\mathcal{P}_{2}\right) R_{1}^{3} R_{2}^{3}}{R_{2}^{3}-R_{1}^{3}} .\] Las fórmulas (57) y (61) dan una solución completa a nuestro problema. (Tenga en cuenta que los módulos elásticos están de vuelta, como se prometió.) La solución es rica en contenido físico y merece al menos algún análisis. En primer lugar, tenga en cuenta que de acuerdo con la Ec. (48), el coeficiente\((1-2 v) / E\) en la expresión for\(a\) es justo\(1 / 3 K\), de manera que el primer término en la Ec. (57) para la deformación neta describe la compresión hidrostática. Ahora tenga en cuenta que el segundo de Eqs. (61) rinde\(b=0\) si\(R_{1}=0\). Así, para una esfera sólida, solo tenemos la compresión hidrostática, la cual se discutió en el apartado anterior. Quizás de manera menos intuitiva, igualar dos presiones también da\(b=0\), es decir, la compresión puramente hidrostática, para arbitrarias\(R_{2}>R_{1}\).

Sin embargo, en el caso general,\(b \neq 0\), de manera que el segundo término en la distribución de deformación (57), que describe la deformación por cizallamiento, también\({ }^{25}\) es sustancial. En particular, consideremos el importante límite de caparazón delgado, cuándo\(R_{2}-R_{1} \equiv t<R_{1,2} \equiv R\) - ver Figura\(7 \mathrm{~b}\). En este caso,\(q\left(R_{1}\right) \approx q\left(R_{2}\right)\) es solo el cambio del radio del proyectil\(R\), para lo cual las ecuaciones (57) y (61) (con\(R_{2}{ }^{3}-R_{1}{ }^{3} \approx 3 R^{2} t\)) dan\[\Delta R \equiv q(R) \approx a R+\frac{b}{R^{2}} \approx \frac{\left(\mathcal{P}_{1}-\mathcal{P}_{2}\right) R^{2}}{3 t}\left(\frac{1-2 v}{E}+\frac{1+v}{2 E}\right)=\left(\mathcal{P}_{1}-\mathcal{P}_{2}\right) \frac{R^{2}}{t} \frac{1-v}{2 E} .\] Naively, se podría pensar que al menos en este límite el problema podría analizarse por medios elementales. Por ejemplo, la fuerza total ejercida por la diferencia de presión\(\left(\mathcal{P}_{1}-\mathcal{P}_{2}\right)\) sobre la sección transversal diametral del caparazón (ver, por ejemplo, la línea discontinua en la Figura\(7 \mathrm{~b}\)) es\(F=\pi R^{2}\left(\mathcal{P}_{1}-\mathcal{P}_{2}\right)\), dando la tensión,\[\sigma=\frac{F}{A}=\frac{\pi R^{2}\left(\mathcal{P}_{1}-\mathcal{P}_{2}\right)}{2 \pi R t}=\left(\mathcal{P}_{1}-\mathcal{P}_{2}\right) \frac{R}{2 t},\] dirigida a lo largo de las paredes del caparazón. Se puede comprobar que esta fórmula simple pueda efectivamente obtenerse, en este límite, de las estrictas expresiones para\(\sigma_{\theta \theta}\) y\(\sigma_{\varphi \varphi}\), siguiendo del tratamiento general realizado anteriormente. Sin embargo, si ahora intentáramos continuar con este enfoque utilizando la relación simple (45) para encontrar el pequeño cambio\(R s_{z z}\) del radio de la esfera, llegaríamos a un resultado con la estructura de la ecuación (62), pero sin el factor\((1-v)<1\) en el numerador. La razón de este error (que puede ser tan significativo como\(330 \%\) para los materiales de construcción típicos - ver Tabla 1) es que la Ec. (45), si bien es válida para varillas delgadas de sección transversal arbitraria, no es válida para láminas delgadas pero anchas, y en particular la carcasa delgada en nuestro problema. De hecho, mientras que a la tensión de tracción ambas dimensiones laterales de una varilla delgada pueden contraerse libremente, en nuestro problema todas las dimensiones de la carcasa están bajo tensión, en realidad, bajo mucha más tensión tangencial que la radial\({ }^{26}\)

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\({ }^{21}\)Como se desprende de las ecuaciones (48), el coeficiente antes de la primera suma en la ecuación (51) es solo el módulo de cizallamiento\(\mu\), mientras que el anterior a la segunda suma es igual a\((K+\mu / 3)\).

\({ }^{22}\)Véase, por ejemplo, MA Ec. (11.3).

\({ }^{23}\)Si esto no es inmediatamente evidente, por favor, eche un vistazo a MA Eq. (10.11) con\(\mathbf{f}=f_{r}(r) \mathbf{n}_{r} .\)

\({ }^{24}\)Véase, por ejemplo, MA Ec. (10.10) con\(\mathbf{f}=q(r) \mathbf{n}_{r}\)

\({ }^{25}\)En efecto, según la Ec. (48), el factor dependiente del material en la segunda de las ecuaciones (61) es justo\(1 / 4 \mu\).

\({ }^{26}\)Estrictamente hablando, esto sólo es cierto si la diferencia de presión no es demasiado pequeña, es decir, si\(\left|\mathcal{P}_{1}-\mathcal{P}_{2}\right|>>\mathcal{P}_{1,2} t / R\).