7.5: Doblado de Varillas

El enfoque general del análisis de deformación estática, esbozado al inicio de la sección anterior, puede simplificarse no sólo para geometrías simétricas, sino también para las estructuras delgadas uniformes como placas delgadas (también llamadas “membranas” o “láminas delgadas”) y varillas delgadas. Debido a la escasez de tiempo, en este curso demostraré enfoques típicos a tales sistemas sólo en el ejemplo de varillas delgadas. (La teoría de placas delgadas y conchas es conceptualmente similar, pero matemáticamente más involucrada. \({ }^{27}\))

Además de la tensión de tracción analizada en la Sec. 3, otros dos tipos principales de deformación de la varilla son la flexión y la torsión. Partimos de un análisis “local” de flexión causado por un par de pares externos iguales y opuestos\(\tau=\pm \mathbf{n}_{y} \tau_{y}\) perpendiculares al eje de la varilla\(z\) (Figura 8), asumiendo que la varilla es “cuasi-uniforme”, es decir, que en la escala longitudinal de este análisis (comparable con la escala lineal\(a\) de la sección transversal) sus parámetros de material y la sección transversal\(A\) no cambian sustancialmente.

Figura 7.8. Curvado de varilla, en un marco de referencia local (específico para cada sección transversal).

Al igual que en el experimento de esfuerzo de tracción (Figura 6), los componentes de las fuerzas de tensión\(d \mathbf{F}\), normales a la longitud de la varilla, tienen que ser iguales a cero en la superficie de la varilla. Repitiendo los argumentos hechos para la discusión del esfuerzo de tracción, tenemos que concluir que solo una componente diagonal del tensor (en la Figura 8,\(\sigma_{z z}\)) puede diferir de cero:\[\sigma_{i j^{\prime}}=\delta_{j z} \sigma_{z z} .\] Sin embargo, en contraste con la tensión de tracción, en flexión estática pura, la fuerza neta dirigida a lo largo de la varilla tiene que desvanecerse: \[F_{z}=\int_{S} \sigma_{z z} d^{2} r=0,\]donde\(S\) está la sección transversal de la varilla, de manera que\(\sigma_{z z}\) tiene que cambiar su signo en algún punto del\(x\) eje -( en la Figura 8, seleccionada para estar en el plano de la varilla doblada). Así, la deformación por flexión puede verse como una combinación de estirar algunas capas de la varilla (capas inferiores en la Figura 8) con compresión de otras capas (superiores).

Dado que es difícil sacar conclusiones más inmediatas sobre la distribución de tensiones, volvamos a la tensión, asumiendo que la sección transversal de la varilla es prácticamente constante en la longitud de nuestro análisis local. De la representación anterior de flexión como combinación de estiramiento y compresión, se evidencia que la deformación longitudinal\(q_{z}\) tiene que desaparecer a lo largo de alguna línea neutra en la sección transversal de la varilla, en la Figura 8, representada por la línea discontinua. \({ }^{28}\)Seleccionando el origen de la\(x\) coordenada -en esta línea, y expandiendo la deformación relativa en la serie Taylor en\(x\), debido a la pequeñez de la sección transversal podemos mantener solo el primer, término lineal:\[s_{z z} \equiv \frac{d q_{z}}{d z}=-\frac{x}{R} .\] La constante\(R\) tiene el sentido del radio de curvatura del varilla doblada. De hecho, en un segmento pequeño\(d z\), la sección transversal gira en un pequeño ángulo\(d \varphi_{y}=-d q_{z} / x\) (Figura 8b). Usando la Eq. (66), obtenemos\(d \varphi_{y}=d z / R\), que es la definición habitual del radio de curvatura\(R\) en la geometría diferencial, para nuestra elección especial de los ejes de coordenadas. \({ }^{29}\)Las expresiones para otros componentes del tensor de tensión son más difíciles de adivinar (como en la tensión de tracción, ¡no todos son iguales a cero!) , pero lo que ya sabemos\(\sigma_{z z}\) y ya\(S_{z z}\) es suficiente para iniciar cálculos formales. En efecto, enchufando la Eq. (64) a la ley de Hooke en la forma (49b), y comparando el resultado para\(s_{z z}\) con la Ec. (66), encontramos A\[\sigma_{z z}=-E \frac{x}{R}\] partir de la misma Ec. (49b), también podríamos encontrar los componentes transversales del tensor de tensión, y concluir que están relacionados\(s_{z z}\) exactamente como en la tracción estrés:\[s_{x x}=s_{y y}=-v s_{z z},\] y luego, integrando estas relaciones a lo largo de la sección transversal de la varilla, encuentra la deformación de la forma de la sección transversal. Más importante para nosotros, sin embargo, es el cálculo de la relación entre la curvatura de la varilla y el par neto que actúa sobre una sección transversal dada\(S\) (toma\(d A_{z}>0\)):\[\tau_{y} \equiv \int_{S}(\mathbf{r} \times d \mathbf{F})_{y}=-\int_{S} x \sigma_{z z} d^{2} r=\frac{E}{R} \int_{S} x^{2} d^{2} r=\frac{E I_{y}}{R},\] donde\(I_{y}\) es una constante geométrica definida como\[I_{y} \equiv \int_{S} x^{2} d x d y .\] Tenga en cuenta que este factor, definiendo la flexión rigidez de la varilla, crece tan rápido como\(a^{4}\) con la escala lineal\(a\) de la sección transversal. \({ }^{30}\)

En estas expresiones, se\(x\) tiene que contar desde la línea neutra. Veamos dónde pasa exactamente esta línea a través de la sección transversal de la varilla. Conectando el resultado (67) a la Eq. (65), obtenemos la condición que define la línea neutra:\[\int_{S} x d x d y=0\] Esta condición permite una interpretación simple. Imagine una lámina delgada de algún material, con una densidad de masa constante\(\sigma\) por unidad de área, cortada en forma de sección transversal de la varilla. Si colocamos un marco de referencia en su centro de masa, entonces, por su definición,\[\sigma \int_{S} \mathbf{r} d x d y=0\] Comparando esta condición con la ecuación (71), vemos que una de las líneas neutras tiene que pasar por el centro de masa de la hoja, que puede llamarse el “centro de masa de la sección transversal”. Utilizando la misma analogía, vemos que la integral\(I_{y}\) dada por la Ec. (72) puede interpretarse como el momento de inercia de la misma lámina imaginaria de material, con\(\sigma\) formalmente igual a 1, para su rotación alrededor de la línea neutra - cf. Eq. (4.24). Esta analogía es tan conveniente que a la integral se le suele llamar el momento de inercia de la sección transversal y se denota de manera similar -tal como se ha hecho anteriormente. Entonces, nuestro resultado básico (69) puede ser reescrito como\[\frac{1}{R}=\frac{\tau_{y}}{E I_{y}} .\] Esta relación sólo es válida si la deformación es pequeña en el sentido\(R \gg a\). Aún así, dado que las desviaciones de la varilla de su forma no tensa pueden acumularse a lo largo de su longitud, la Ec. (73) puede ser utilizada para cálculos de grandes desviaciones “globales” de la varilla desde el equilibrio, en una escala de longitud mucho mayor que\(a\). Para describir tales deformaciones, la Ec. (73) tiene que complementarse con condiciones del equilibrio de las fuerzas de flexión y los pares de torsión. Desafortunadamente, esto requiere una geometría un poco más diferencial de la que tengo tiempo para, y solo discutiré este procedimiento para el caso más simple de desviaciones transversales relativamente pequeñas\(q \equiv q_{x}\) de la varilla desde su forma recta inicial, que se utilizará para el\(z\) eje -eje (Figura 9a), por ejemplo por alguna fuerza distribuida a granel\(\mathbf{f}=\mathbf{n}_{x} f_{x}(z)\). (El ejemplo más simple es un campo de gravedad uniforme, para el cual\(f_{x}=-\rho g=\) const.) Obsérvese que en la próxima discusión el marco de referencia será global, es decir, común para toda la varilla, en lugar de local (perteneciente a cada sección transversal) como lo fue en el análisis anterior - cf. Figura 8.

Figura 7.9. Una imagen global de flexión de varilla: (a) las fuerzas que actúan sobre un pequeño fragmento de una varilla, y (b) dos ejemplos de problemas de flexión, cada uno con dos condiciones de límite típicas pero diferentes.

En primer lugar, podemos escribir una relación estática diferencial para la fuerza vertical promedio\(\mathbf{F}=\mathbf{n}_{x} F_{x}(z)\) ejercida sobre la parte de la varilla ubicada a la izquierda de su sección transversal - ubicada en el punto\(z\). Esta relación expresa el equilibrio de fuerzas verticales que actúan sobre un pequeño fragmento\(d z\) de la varilla (Figura 9a), necesario por la ausencia de su aceleración lineal:\(F_{x}(z+d z)-F_{x}(z)+f_{x}(z) A d z=0\), dando\[\frac{d F_{x}}{d z}=-f_{x} A,\] dónde\(A\) está el área de la sección transversal. Obsérvese que esta componente vertical de las fuerzas internas ha sido descuidada en nuestra derivación de la Ec. (73), y por lo tanto nuestros resultados finales serán válidos solo si la relación\(F_{x} / A\) es mucho menor que la magnitud\(\sigma_{z z}\) descrita por la Ec. (67). Sin embargo, estas fuerzas crean el mismo par\(\tau=\mathbf{n}_{y} \tau_{y}\) que provoca la flexión, y por lo tanto tienen que ser tomadas en cuenta en el análisis del panorama global. Dicha cuenta podrá hacerse escribiendo el balance de componentes del par, actuando sobre el mismo fragmento de varilla de longitud\(d z\), necesario por la ausencia de su aceleración angular:\(d \tau_{y}+F_{x} d z=0\), dando\[\frac{d \tau_{y}}{d z}=-F_{x} .\] Estas dos ecuaciones deben complementarse con dos relaciones geométricas. El primero de ellos es\(d \varphi_{y} / d z=1 / R\), que ya se ha comentado anteriormente. Podemos combinarlo inmediatamente con el resultado básico\((73)\) del análisis local, obteniendo:\[\frac{d \varphi_{y}}{d z}=\frac{\tau_{y}}{E I_{y}} .\] La ecuación final es la relación geométrica evidente de la Figura 9a:\[\frac{d q_{x}}{d z}=\varphi_{y},\] que es (como todas las expresiones de nuestro análisis simple) solo válida para pequeños ángulos de flexión,\(\left|\varphi_{y}\right|<<1 .\) Los cuatro las ecuaciones diferenciales (74) - (77) son suficientes para la solución completa del problema de flexión débil, si se complementan con condiciones de límite apropiadas. La figura\(9 \mathrm{~b}\) muestra las condiciones más frecuentemente cumplidas en la práctica. Resolvamos, por ejemplo, el problema que se muestra en el panel superior de la Figura\(9 \mathrm{~b}\): flexión de una varilla, “sujetada” en un extremo (digamos, sumergida en una pared rígida), bajo su propio peso. Considerando, en aras de la simplicidad, una varilla uniforme,\({ }^{31}\) podemos integrar estas ecuaciones una por una, cada vez utilizando las condiciones de contorno apropiadas. Para comenzar, la Ec. (74) con\(f_{x}=-\rho g\) rendimientos\[F_{x}=\rho g A z+\text { const }=\rho g A(z-l),\] donde se ha seleccionado la constante de integración para satisfacer la condición de límite del extremo derecho:\(F_{x}=0\) at\(z\)\(=l\). Como un chequeo de cordura, en la pared izquierda\((z=0), F_{x}=-\rho g A l=-m g\), lo que significa que todo el peso de la varilla se ejerce sobre la pared - bien.

A continuación, enchufando la Eq. (78) a la Ec. (75) e integrando, obtenemos\[\tau_{y}=-\frac{\rho g A}{2}\left(z^{2}-2 l z\right)+\text { const }=-\frac{\rho g A}{2}\left(z^{2}-2 l z+l^{2}\right) \equiv-\frac{\rho g A}{2}(z-l)^{2},\] donde la elección de la constante de integración asegura la segunda condición de límite derecho:\(\tau_{y}=0\) en\(z=l-\) ver Figura\(9 \mathrm{~b}\) nuevamente. Ahora procediendo de la misma manera a la Ec. (76), obtenemos\[\varphi_{y}=-\frac{\rho g A}{2 E I_{y}} \frac{(z-l)^{3}}{3}+\text { const }=-\frac{\rho g A}{6 E I_{y}}\left[(z-l)^{3}+l^{3}\right],\] donde se selecciona la constante de integración para satisfacer la condición de sujeción en el extremo izquierdo de la varilla:\(\varphi_{y}\)\(=0\) at\(z=0\). (Tenga en cuenta que esto es diferente de la condición de soporte ilustrada en el panel inferior de la Figura\(9 \mathrm{~b}\), lo que permite que el ángulo\(z=0\) a sea diferente de cero, pero requiere que el par desaparezca). Finalmente, integrando la Ec. (77) con la ecuación\(\varphi_{y}\) dada por la Ec. (80), obtenemos la ley de deformación global de la varilla,\[q_{x}(z)=-\frac{\rho g A}{6 E I_{y}}\left[\frac{(z-l)^{4}}{4}+l^{3} z+\mathrm{const}\right]=-\frac{\rho g A}{6 E I_{y}}\left[\frac{(z-l)^{4}}{4}+l^{3} z-\frac{l^{4}}{4}\right],\] donde se selecciona la constante de integración para satisfacer la segunda condición de límite izquierdo:\(q=0\) at\(z=0\). Entonces, la ley de flexión es algo complicada incluso en este problema muy sencillo. También es notable qué tan rápido crece el desplazamiento del extremo con el aumento de la longitud de la varilla:\[q_{x}(l)=-\frac{\rho g A l^{4}}{8 E I_{y}} .\] Para concluir la solución, discutamos la validez de este resultado. Primero, la relación geométrica (77) sólo es válida si\(\left|\varphi_{y}(l)\right|<<1\), y por lo tanto si\(\left|q_{x}(l)\right|<<l\). A continuación, la fórmula local Eq. (76) es válida si\(1 / R\)\(=\tau(l) / E I_{y}<<1 / a \sim A^{-1 / 2}\). Utilizando los resultados (79) y (82), vemos que esta última condición es equivalente a\(\left|q_{x}(l)\right|<<l^{2} / a\), es decir, es más débil que la anterior, porque todo nuestro análisis se ha basado en el supuesto\(l>>a\).

Otro punto de preocupación puede ser que el componente de tensión fuera de la diagonal\(\sigma_{x z} \sim F_{x} / A\), que es creado por las fuerzas de gravedad vertical, haya sido ignorado en nuestro análisis local. Para que esa aproximación sea válida, este componente debe ser mucho menor que el componente diagonal\(\sigma_{z z} \sim a E / R=a \tau / I_{y}\) tomado en cuenta en ese análisis. Utilizando las ecuaciones (78) y (80), estamos obteniendo las siguientes estimaciones:\(\sigma_{x z} \sim \rho g l\),\(\sigma_{z z} \sim a \rho g A l^{2} / I_{y} \sim a^{3} \rho g l^{2} / I_{y}\). De acuerdo con su definición\((70), I_{y}\) puede ser groseramente estimado como\(a^{4}\), para que finalmente obtengamos la condición simple\(a<<l\), que se ha asumido desde el comienzo mismo de nuestra solución.

---

\({ }^{27}\)Para su revisión véase, por ejemplo, Secs. 11-15 en L. Landau y E. Lifshitz, Theory of Elasticidad,\(3^{\text {rd }}\) ed., ButterworthHeineMann,\(1986 .\)

\({ }^{28}\)Estrictamente hablando, esa línea discontinua es la intersección de la superficie neutra (el conjunto continuo de tales líneas neutras para todas las secciones transversales de la varilla) con el plano del dibujo.

\({ }_{29}\)En efecto, para\((d x / d z)^{2}<<1\), la fórmula general MA Eq. (4.3) para la curvatura (con los reemplazos apropiados\(f \rightarrow x\) y\(x \rightarrow z\)) se reduce a\(1 / R=d^{2} x / d z^{2}=d(d x / d z) / d z=d\left(\tan \varphi_{y}\right) / d z \approx d \varphi_{y} / d z\).

\({ }^{30}\)En particular, esta es la razón por la que los cables eléctricos habituales no están hechos de un núcleo de cobre sólido, sino más bien de un conjunto retorcido de subcables más delgados, que pueden deslizarse entre sí, aumentando la flexibilidad del cable.

\({ }^{31}\)Como debe quedar claro a partir de su derivación, las ecuaciones (74) - (77) son válidas para cualquier distribución de parámetros\(A, E, I_{y}\), y\(\rho\) sobre la longitud de la varilla, siempre que la varilla sea casi uniforme, es decir, los cambios de sus parámetros son tan lentos que la relación local (76) sigue siendo válida en cualquier punto.