7.6: Torsión de varilla

Una clase más de problemas de elasticidad analíticamente solucionables es la torsión de varillas rectas casi uniformes por un par de pares orientados axialmente\(\tau=\pm \mathbf{n}_{z} \tau_{z}-\) ver Figura 10.

Figura 7.10. Torsión de varilla.

Este problema es más sencillo que la flexión en el sentido de que debido a su uniformidad longitudinal,\(d \varphi_{z} / d z=\) const, es suficiente relacionar el par\(\tau_{z}\) con el llamado parámetro de torsión\[\kappa \equiv \frac{d \varphi_{z}}{d z} .\] Si la deformación es elástica y pequeña (en el sentido\(\kappa a<<1\), donde\(a\) vuelve a estar la tamaño característico de la sección transversal de la varilla),\(\kappa\) es proporcional a\(\tau_{z}\). De ahí que nuestra tarea sea calcular su relación,\[C \equiv \frac{\tau_{z}}{\kappa} \equiv \frac{\tau_{z}}{d \varphi_{z} / d z},\] llamada rigidez torsional de la varilla.

Como primera suposición (como veremos más adelante, de una validez limitada), se puede suponer que la torsión no cambia ni la forma ni el tamaño de las secciones transversales de la varilla, sino que conduce solo a su rotación mutua alrededor de cierta línea central. Usando un marco de referencia con el origen en esa línea, esta suposición permite inmediatamente el cálculo de los componentes cartesianos del vector de desplazamiento\(d \mathbf{q}\), utilizando la ecuación (6) con\(d \varphi=\mathbf{n}_{z} d \varphi_{z}\):\[d q_{x}=-y d \varphi_{z}=-\kappa y d z, \quad d q_{y}=x d \varphi_{z}=\kappa x d z, \quad d q_{z}=0 .\] A partir de aquí, podemos calcular todos los componentes cartesianos (9) del tensor de deformación simétrica: \[s_{x x}=s_{y y}=s_{z z}=0, \quad s_{x y}=s_{y x}=0, \quad s_{x z}=s_{z x}=-\frac{\kappa}{2} y, \quad s_{y z}=s_{z y}=\frac{\kappa}{2} x .\]La primera de estas igualdades significa que el volumen elemental no cambia, es decir, se trata de una deformación puramente cortante. Como resultado, todos los componentes distintos de cero del tensor de tensión, calculados a partir de las ecuaciones (32), son proporcionales solo al módulo de cizallamiento:\[\sigma_{x x}=\sigma_{y y}=\sigma_{z z}=0, \quad \sigma_{x y}=\sigma_{y x}=0, \quad \sigma_{x z}=\sigma_{z x}=-\mu \kappa y, \quad \sigma_{y z}=\sigma_{z y}=\mu \kappa x .\] (Obsérvese que para este problema, con una deformación puramente cortante, utilizando módulos elásticos alternativos\(E\) y\(v\) sería bastante antinatural. Si así se desea, siempre podemos usar el segundo de Eqs. (48):\(\mu=E / 2(1+v)\).)

Ahora es sencillo usar este resultado para calcular el par completo como integral sobre el área de la sección transversal\(A\):\[\tau_{z} \equiv \int_{A}(\mathbf{r} \times d \mathbf{F})_{z}=\int_{A}\left(x d F_{y}-y d F_{x}\right)=\int_{A}\left(x \sigma_{y z}-y \sigma_{x z}\right) d x d y\] Usando la Eq. (87), obtenemos\(\tau_{z}=\mu \kappa I_{z}\), es decir\[C=\mu I_{z}, \text { where } I_{z} \equiv \int_{A}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y\] De nuevo, al igual que en el caso de la flexión de varilla delgada, tenemos una integral, en este caso\(I_{z}\), similar a una momento de inercia, esta vez para la rotación alrededor del\(z\) eje -pasando por cierto punto de la sección transversal. Para cualquier sección transversal axialmente simétrica, este evidentemente debería ser el punto central. Entonces, por ejemplo, para el caso prácticamente importante de una tubería redonda uniforme con radio interno\(R_{1}\) y radio externo\(R_{2}\), la Ec. (89) rinde\[C=\mu 2 \pi \int_{R_{1}}^{R_{2}} \rho^{3} d \rho=\frac{\pi}{2} \mu\left(R_{2}^{4}-R_{1}^{4}\right) .\] En particular, para la varilla sólida de radio\(R\) (que puede tratarse como una tubería con\(R_{1}=0\) y\(R_{2}=R\)), este resultado da la siguiente rigidez torsional\[C=\frac{\pi}{2} \mu R^{4},\] mientras que para una tubería hueca de pequeño espesor\(t<<R\), la Eq. (90) se reduce a\[C=2 \pi \mu R^{3} t .\] Tenga en cuenta que por unidad de área de sección transversal\(A\) (y por lo tanto por unidad de masa de la varilla) esta rigidez es dos veces mayor que la de una varilla sólida:\[\left.\frac{C}{A}\right|_{\text {thin round pipe }}=\mu R^{2}>\left.\frac{C}{A}\right|_{\text {solid round rod }}=\frac{1}{2} \mu R^{2}\] Este hecho es una razón para el amplio uso de tuberías delgadas en ingeniería y diseño de experimentos físicos.

Sin embargo, para varillas con secciones transversales axialmente asimétricas, la Ec. (89) da resultados erróneos. Por ejemplo, para un rectángulo estrecho de área\(A=w \times t\) con\(t<<w\), rinde\(C=\mu t w^{3} / 12\) [¡INCORRECTO!] , incluso funcionalmente diferente del resultado correcto - cf. Ec. (104) a continuación. La razón de la falla del análisis anterior es que no describe la posible flexión\(q_{z}(x, y)\) de la sección transversal de la varilla en la dirección a lo largo de la varilla. (Para las varillas axialmente simétricas, tal flexión está evidentemente prohibida por la simetría, por lo que la ecuación (89) es válida, y los resultados (90) - (92) son absolutamente correctos). Describamos\(^{32}\) este efecto contrario a la intuición tomando\[q_{z}=\kappa \psi(x, y),\] (donde\(\psi\) hay alguna función por determinar), pero manteniendo la Eq. (87) para otros dos componentes del vector de desplazamiento. La adición de\(\psi\) no perturbe la igualdad a cero de los componentes diagonales del tensor de tensión, así como de\(s_{x y}\) y\(s_{y x}\), sino que contribuye a otros componentes fuera de la diagonal:\[s_{x z}=s_{z x}=\frac{\kappa}{2}\left(-y+\frac{\partial \psi}{\partial x}\right), \quad s_{y z}=s_{z y}=\frac{\kappa}{2}\left(x+\frac{\partial \psi}{\partial y}\right),\] y por lo tanto a los elementos correspondientes del tensor de tensión:\[\sigma_{x z}=\sigma_{z x}=\mu \kappa\left(-y+\frac{\partial \psi}{\partial x}\right), \quad \sigma_{y z}=\sigma_{z y}=\mu \kappa\left(x+\frac{\partial \psi}{\partial y}\right) .\] Ahora encontremos el requisito impuesto a la función\(\psi(x, y)\) por el hecho de que la componente de fuerza de tensión paralela al eje de la varilla,\[d F_{z}=\sigma_{z x} d A_{x}+\sigma_{z y} d A_{y}=\mu \kappa d A\left[\left(-y+\frac{\partial \psi}{\partial x}\right) \frac{d A_{x}}{d A}+\left(x+\frac{\partial \psi}{\partial y}\right) \frac{d A_{y}}{d A}\right],\] tiene que desvanecerse en la (s) superficie (s) de la varilla, es decir, en cada borde de su sección transversal. Las coordenadas\(\{x, y\}\) de cualquier punto en un borde pueden considerarse como funciones únicas,\(x(l)\) y\(y(l)\), del arco\(l\) de esa línea - ver Figura 11.

Figura\(7.11\). Derivando Eq. (99).

Como muestra este boceto, las proporciones elementales de área que participan en la Ec. (96) pueden expresarse fácilmente a través de las derivadas de estas funciones:\(d A_{x} / d A=\sin \alpha=d y / d l, d A_{y} / d A=\cos \alpha=-d x / d l\), para que podamos escribir\[\left[\left(-y+\frac{\partial \psi}{\partial x}\right)\left(\frac{d y}{d l}\right)+\left(x+\frac{\partial \psi}{\partial y}\right)\left(-\frac{d x}{d l}\right)\right]_{\mathrm{border}}=0\] Introduciendo, en lugar de\(\psi\), una nueva función\(\chi(x, y)\), definida por sus derivadas como

\[\frac{\partial \chi}{\partial x} \equiv \frac{1}{2}\left(-x-\frac{\partial \psi}{\partial y}\right), \quad \frac{\partial \chi}{\partial y} \equiv \frac{1}{2}\left(-y+\frac{\partial \psi}{\partial x}\right)\]podemos reescribir la Eq. (97)\[\left.2\left(\frac{\partial \chi}{\partial y} \frac{d y}{d l}+\frac{\partial \chi}{\partial x} \frac{d x}{d l}\right)_{\text {border }} \equiv 2 \frac{d \chi}{d l}\right|_{\text {border }}=0,\] para que la función\(\chi\) sea constante en cada borde de la sección transversal.

En particular, para una sección transversal unificada, limitada por una sola línea de borde continua (como en la Figura 11), esta constante es arbitraria, ya que según las ecuaciones (98), su elección no afecta la función de deformación longitudinal\(\psi(x, y)\) y de ahí la deformación en su conjunto. Ahora vamos a usar la definición (98) de la función\(\chi\) para calcular el operador 2D Laplace de esta función:\[\nabla_{x, y}^{2} \chi \equiv \frac{\partial^{2} \chi}{\partial^{2} x}+\frac{\partial^{2} \chi}{\partial^{2} y}=\frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial x}\left(-x-\frac{\partial \psi}{\partial y}\right)+\frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial y}\left(-y+\frac{\partial \psi}{\partial y}\right) \equiv-1 .\] Esta es una ecuación de Poisson 2D (frecuentemente reunida, por ejemplo, en electrostática), pero con un lado derecho muy simple y constante. Al enchufar las ecuaciones (98) a las ecuaciones (95), y las de la ecuación (88), podemos expresar el par\(\tau\), y de ahí la rigidez torsional\(C\), a través de la misma función:\[C \equiv \frac{\tau_{z}}{\kappa}=-2 \mu \int_{A}\left(x \frac{\partial \chi}{\partial x}+y \frac{\partial \chi}{\partial y}\right) d x d y .\] A veces, es más fácil usar este resultado en cualquiera de sus dos formas diferentes. El primero de ellos se puede obtener fácilmente de la ecuación (101a) utilizando integración por partes:\[\begin{aligned} C &=-2 \mu\left(\int d y \int x d \chi+\int d x \int y d \chi\right)=-2 \mu\left[\int d y\left(x \chi_{\text {border }}-\int \chi d x\right)+\int d x\left(y \chi_{\text {border }}-\int \chi d y\right)\right] \\ &=4 \mu\left[\int_{A} \chi d x d y-\chi_{\text {border }} \int d x d y\right], \end{aligned}\] mientras que la prueba de una forma más,\[C=4 \mu \int_{A}\left(\nabla_{x, y} \chi\right)^{2} d x d y\] se deja para el ejercicio del lector.

Así, si necesitamos conocer solo la rigidez de la varilla, es suficiente calcular la función a\(\chi(x, y)\) partir de la ecuación (100) con la condición límite\(\left.\chi\right|_{\text {border }}=\) const, y luego enchufarla a cualquiera de las ecuaciones (101). Sólo si también tenemos curiosidad sobre la deformación longitudinal (93) de la sección transversal, podemos continuar usando la Eq. (98) para encontrar la función\(\psi(x, y)\) que describe esta deformación. Veamos cómo funciona este resultado general para los dos ejemplos discutidos anteriormente. Para la sección transversal redonda del radio\(R\), tanto la ecuación de Poisson (100) como la condición límite,\(\chi=\) const at\(x^{2}+y^{2}=R^{2}\), están evidentemente satisfechas por la función axial-simétrica.\[\chi=-\frac{1}{4}\left(x^{2}+y^{2}\right)+\text { const. }\] Para este caso, cualquiera de las ecuaciones (101) produce\[C=4 \mu \int_{A}\left[\left(-\frac{1}{2} x\right)^{2}+\left(-\frac{1}{2} y\right)^{2}\right] d x d y=\mu \int_{A}\left(x^{2}+y^{2}\right) d^{2} r,\] es decir, el mismo resultado (89) que tuvimos para \(\psi=0\). En efecto, al enchufar la Eq. (102) a las ecuaciones (98), vemos que en este caso\(\partial \psi / \partial x=\partial \psi / \partial y=0\), de manera que esa\(\psi(x, y)=\) const, es decir, la sección transversal no se dobla. (Como se discutió en la Sec. 1, una\(d q_{z}=\kappa \psi=\) const de traslación uniforme no constituye una deformación.)

Ahora, volviéndose a una varilla con una sección transversal rectangular estrecha\(A=w \times t\) con\(t<<w\), podemos usar esta fuerte desigualdad para resolver la ecuación de Poisson (100) aproximadamente, descuidando la segunda derivada de\(\chi\) a lo largo de la dimensión más amplia (digamos,\(y\)). La ecuación diferencial 1D restante\(d^{2} \chi / d^{2} x=-1\), con condiciones límite,\(\left.\chi\right|_{x=+t / 2}=\left.\chi\right|_{x=-t / 2}\) tiene una solución evidente:\(\chi=-x^{2} / 2+\) const. Al enchufar esta expresión en cualquier forma de la ecuación (101), obtenemos el siguiente resultado (correcto) para la rigidez torsional:\[C=\frac{1}{6} \mu w t^{3} \text {. }\] Ahora echemos un vistazo a la ley de flexión de sección transversal (93) para este caso en particular. Usando Eqs. (96), obtenemos\[\frac{\partial \psi}{\partial y}=-x-2 \frac{\partial \chi}{\partial x}=x, \quad \frac{\partial \psi}{\partial x}=y+2 \frac{\partial \chi}{\partial y}=y .\] Integrando estas ecuaciones diferenciales sobre la sección transversal, y tomando la constante de integración (nuevamente, no contribuyendo a la deformación) para cero, obtenemos un resultado maravillosamente simple:\[\psi=x y, \quad \text { i.e. } q_{z}=\kappa x y .\] Significa que la deformación longitudinal de la varilla tiene una “hélice flexión” forma: mientras que las regiones cercanas a las esquinas opuestas (en la misma diagonal) de la sección transversal se doblan hacia una dirección del\(z\) eje, las esquinas en la otra diagonal se doblan en la dirección opuesta. (Esta conclusión cualitativa sigue siendo válida para secciones transversales rectangulares con cualquier “relación de aspecto”)\(t / w\).

Para varillas con varias superficies, es decir, con secciones transversales limitadas por varios límites (digamos, tuberías huecas), encontrar la función\(\chi(x, y)\) requiere un poco más de cuidado, y la Eq. (103b) tiene que ser modificada, ya que puede ser igual a una constante diferente en cada límite. Permítanme dejar el cálculo de la rigidez torsional para este caso para el ejercicio del lector.

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\({ }^{32}\)No me sorprendería terriblemente si el lector se saltara el saldo de esta sección en la primera lectura. Aunque el cálculo descrito en él es muy elegante, instructivo y típico de la teoría avanzada de la elasticidad, sus resultados no serán utilizados en otros capítulos de este curso u otras partes de esta serie.