7.7: Ondas Acústicas 3D

Ahora pasando de la estática a la dinámica, podemos comenzar con la Ec. (24), que puede transformarse en la forma vectorial exactamente como esto se hizo para el caso estático al comienzo de la Sec. \(4 .\)Comparando las ecuaciones (24) y (52), vemos inmediatamente que el resultado puede representarse como\[\rho \frac{\partial^{2} \mathbf{q}}{\partial t^{2}}=\frac{E}{2(1+v)} \nabla^{2} \mathbf{q}+\frac{E}{2(1+v)(1-2 v)} \nabla(\nabla \cdot \mathbf{q})+\mathbf{f}(\mathbf{r}, t) .\] Usemos esta ecuación general para el análisis del tipo quizás más importante de deformaciones dependientes del tiempo: las ondas acústicas. Primero, consideremos el caso más simple de un medio elástico prácticamente infinito, uniforme, sin fuerzas externas:\(\mathbf{f}=0\). En este caso, debido a la linealidad y homogeneidad de la ecuación de movimiento, y tomando pistas del análisis del modelo 1D simple (ver Figura 6.4a) en Secs. 6.3-6.5,\({ }^{33}\) podemos buscar una solución particular dependiente del tiempo en forma de onda sinusoidal, linealmente polarizada, de desplazamiento plano \[\mathbf{q}(\mathbf{r}, t)=\operatorname{Re}\left[\mathbf{a} e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}-\omega t)}\right],\]donde\(\mathbf{a}\) está la amplitud compleja constante de una onda (¡ahora un vector!) , y\(\mathbf{k}\) es el vector de onda, cuya magnitud es igual al número de onda\(k\). La dirección de estos dos vectores debe distinguirse claramente: mientras a determina la polarización de la onda, es decir, la dirección de los desplazamientos de partículas, el vector\(\mathbf{k}\) se dirige a lo largo del gradiente espacial de la fase completa de la onda,\[\Psi \equiv \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}-\omega t+\arg a,\] es decir, a lo largo de la dirección del frente de onda propagación.

La importancia del ángulo entre estos dos vectores puede verse fácilmente a partir del siguiente cálculo simple. Señalemos el\(z\) eje de un marco de referencia (inercial) a lo largo de la dirección del vector\(\mathbf{k}\), y el\(x\) eje en tal dirección que el vector\(\mathbf{q}\), y por lo tanto a, se encuentran dentro del\(\{x, z\}\) plano. En este caso, todas las variables pueden cambiar solo a lo largo del\(z\) eje -eje, es decir\(\nabla=\mathbf{n}_{z}(\partial / \partial z)\), mientras que el vector de amplitud puede representarse como la suma de solo dos componentes cartesianos:\[\mathbf{a}=a_{x} \mathbf{n}_{x}+a_{z} \mathbf{n}_{z} .\] Consideremos primero una onda longitudinal, con el movimiento de la partícula a lo largo de la dirección de la onda:\(a_{x}=\)\(0, a_{z}=a\). Entonces el vector\(\mathbf{q}\) en la Ec. (107), que describe esta onda, tiene solo un (\(z\)) componente, de modo que\(\nabla \cdot \mathbf{q}\)\(=d q_{z} / d z\) y\(\nabla(\nabla \cdot \mathbf{q})=\mathbf{n}_{z}\left(\partial^{2} \mathbf{q} / \partial z^{2}\right)\), y el operador Laplace da la misma expresión:\(\nabla^{2} \mathbf{q}=\)\(\mathbf{n}_{z}\left(\partial^{2} \mathbf{q} / \partial z^{2}\right)\). Como resultado, la Ec. (107), con\(\mathbf{f}=0\), se reduce a una ecuación de\(1 \mathrm{D}\) onda\[\rho \frac{\partial^{2} q_{z}}{\partial t^{2}}=\left[\frac{E}{2(1+v)}+\frac{E}{2(1+v)(1-2 v)}\right] \frac{\partial^{2} q_{z}}{\partial z^{2}} \equiv \frac{E(1-v)}{(1+v)(1-2 v)} \frac{\partial^{2} q_{z}}{\partial z^{2}},\] similar a la Ec. (6.40). Como ya sabemos de la Sec. 6.4, esta ecuación está efectivamente satisfecha con la solución (108), siempre que\(\omega\) y\(k\) obedezca una relación de dispersión lineal\(\omega=v_{1} k\),, con la siguiente velocidad de onda longitudinal:\[v_{1}^{2}=\frac{E(1-v)}{(1+v)(1-2 v) \rho} \equiv \frac{K+(4 / 3) \mu}{\rho}\] La última expresión permite una interpretación simple. Consideremos un experimento estático, similar al experimento de prueba de tracción mostrado en la Figura 6, pero con una muestra mucho más ancha que\(l\) en ambas direcciones perpendicular a la fuerza. Entonces la contracción lateral es imposible\(\left(s_{x x}=s_{y y}=0\right)\), y podemos calcular el único componente de tensión finita,\(\sigma_{z z}\), directamente a partir de la ecuación (34) con\(\operatorname{Tr}(\mathrm{s})=s_{z z}\):\[\sigma_{z z}=2 \mu\left(s_{z z}-\frac{1}{3} s_{z z}\right)+3 K\left(\frac{1}{3} s_{z z}\right) \equiv\left(K+\frac{4}{3} \mu\right) s_{z z} .\] Vemos que el numerador en la ecuación (112) no es más que el módulo elástico estático para tal deformación uniaxial, y es recalculado en la velocidad exactamente como la constante elástica en las ondas 1D consideradas en Secs. 6.3-6.4 - cf. Ec. (6.42).

La fórmula (114) se vuelve especialmente simple en fluidos, donde\(\mu=0\), y la velocidad de onda es descrita por la conocida expresión\[v_{1}=\left(\frac{K}{\rho}\right)^{1 / 2}\] Note, sin embargo, que para los gases, con su alta compresibilidad y sensibilidad a la temperatura, el valor de\(K\) participar en esta fórmula puede diferir, a altas frecuencias, de las dadas por la Ec. (40), porque las compresiones/extensiones rápidas de gas suelen ser adiabáticas en lugar de isotérmicas. Esta diferencia se nota en el Cuadro 1, una de cuyas columnas enumera los valores de\(v_{l}\) para materiales representativos.

Ahora consideremos un caso opuesto de ondas transversales con\(a_{x}=a, a_{z}=0\). En tal onda, el vector de desplazamiento es perpendicular a\(\mathbf{n}_{z}\), de modo que\(\nabla \cdot \mathbf{q}=0\), y el segundo término en el lado derecho de la ecuación (107) desaparece. Por el contrario, el operador de Laplace que actúa sobre dicho vector todavía da la misma contribución distinta de cero,\(\nabla^{2} \mathbf{q}=n_{z}\left(\partial^{2} \mathbf{q} / \partial z^{2}\right)\), a la Ec. (107) para que la ecuación rinda\[\rho \frac{\partial^{2} q_{x}}{\partial t^{2}}=\frac{E}{2(1+v)} \frac{\partial^{2} q_{x}}{\partial z^{2}},\] y volvamos a obtener la relación de dispersión lineal\(\omega=v_{t} k\),, pero con una velocidad diferente:

\[\ \text{Transverse waves: velocity}\quad\quad\quad\quad\nu_{\mathrm{t}}^{2}=\frac{E}{2(1+\nu) \rho}=\frac{\mu}{\rho}.\]

Vemos que la velocidad de las ondas transversales depende exclusivamente del módulo\(\mu\) de cizallamiento del medio. \({ }^{34}\)Esto también es muy natural: en tales ondas, los desplazamientos de partículas\(\mathbf{q}=\mathbf{n}_{x} q\) son perpendiculares a las fuerzas elásticas\(d \mathbf{F}=\mathbf{n}_{z} d F\), de manera que se involucra el único componente\(\sigma_{x z}\) del tensor de tensión. Además, el tensor de tensión\(s_{i j}\) 'no tiene componentes diagonales,\(\operatorname{Tr}(\mathrm{s})=0\), por lo que ese\(\mu\) es el único módulo elástico que participa activamente en la ley de Hooke (32). En particular, los fluidos no pueden transportar ondas transversales en absoluto (formalmente, su velocidad (116) desaparece), porque no resisten las deformaciones por cizallamiento. Para todos los demás materiales, las ondas longitudinales son más rápidas que las transversales. \({ }^{35}\)En efecto, para todos los materiales naturales conocidos la relación de Poisson es positiva de manera que la relación de velocidad que sigue de las ecuaciones (112) y (116),\[\frac{v_{1}}{v_{\mathrm{t}}}=\left(\frac{2-2 v}{1-2 v}\right)^{1 / 2}\] está por encima\(\sqrt{2} \approx 1.4\). Para los materiales de construcción más populares, con\(v \approx 0.3\), la relación es sobre\(2-\) ver Tabla\(1 .\)

Permítanme recalcar nuevamente que tanto para las ondas longitudinales como para las transversales, la relación de dispersión entre el número de onda y la frecuencia es lineal:\(\omega=v k\). Como ya se discutió en el Capítulo 6, en este caso de ondas acústicas (o simplemente “sonido”), las velocidades de fase y grupo son iguales, y las ondas de forma más compleja, consistentes en varios (o muchos) componentes de Fourier del tipo (108), conservan su forma durante la propagación. Esto significa que tanto las ecuaciones (111) como (115) son satisfechas por soluciones del tipo (6.41):\[q_{\pm}(z, t)=f_{\pm}\left(t \mp \frac{z}{v}\right),\] donde las funciones\(f_{\pm}\) describen las formas de onda propagantes. (Sin embargo, si la onda inicial es una mezcla, del tipo (110), de los componentes longitudinal y transversal, entonces estos componentes, que se propagan con diferentes velocidades, “correrán unos de otros”.) Como se puede inferir del análisis de un modelo de sistema periódico en el Capítulo 6, la dispersión de la onda se vuelve esencial a frecuencias muy altas (hipersónicas) donde el número de onda\(k\) se acerca a la distancia recíproca\(d\) entre las partículas del medio (por ejemplo, átomos o moléculas), y por lo tanto la aproximación del medio como continuo, utilizada a través de este capítulo, se vuelve inválida.

Como ya sabemos del Capítulo 6, además de la velocidad, las ondas de cada tipo se caracterizan por un parámetro más importante, la impedancia\(Z\) de onda del continuo, para las ondas acústicas frecuentemente llamadas su impedancia acústica. Generalizando la Ec. (6.46) al caso 3D, podemos definir la impedancia como la magnitud de la relación de la fuerza por unidad de área (es decir, el componente correspondiente del tensor de tensión) ejercida por la onda, y la velocidad de las partículas. Para las ondas longitudinales,\[Z_{1} \equiv\left|\frac{\sigma_{z z}}{\partial q_{z} / \partial t}\right|=\left|\frac{\sigma_{z z}}{s_{z z}} \frac{s_{z z}}{\partial q_{z} / \partial t}\right|=\left|\frac{\sigma_{z z}}{s_{z z}} \frac{\partial q_{z} / \partial z}{\partial q_{z} / \partial t}\right| \text {. }\] Plugging in Eqs. (108), (112), y (113), obtenemos\[Z_{1}=[(K+4 \mu / 3) \rho]^{1 / 2},\] una clara analogía con la primera de las ecuaciones (6.48). De igual manera, para las ondas transversales, la definición apropiadamente modificada,\(Z_{\mathrm{t}} \equiv\left|\sigma_{x z} /\left(\partial q_{x} / \partial z\right)\right|\), rinde Al\[Z_{\mathrm{t}}=(\mu \rho)^{1 / 2}\] igual que en el modelo 1D estudiado en el Capítulo 6, un papel de la impedancia de onda es escalar la potencia transportada por la onda. Para las ondas 3D planas en medios infinitos, con su área frontal de onda infinita, es más apropiado hablar de la densidad de potencia, es decir, potencia\(/=d \mathscr{P} / d A\) por unidad de área del frente, y caracterizarla no solo por su magnitud,\[\mu=\frac{d \mathbf{F}}{d A} \cdot \frac{\partial \mathbf{q}}{\partial t},\] sino también por la dirección de la propagación de energía, eso (para una onda plana en un medio isotrópico) coincide con la dirección del vector de onda:\(\boldsymbol{h} \equiv / \mathbf{n}_{\mathbf{k}}\). Usando la definición (18) del tensor de tensión, los componentes cartesianos de este vector Umov\({ }^{36}\) pueden expresarse como

\[\mu_{j}=\sum_{j^{\prime}} \sigma_{i j^{\prime}} \frac{\partial q_{j^{\prime}}}{\partial t} .\]Volviendo a las ondas planas propagándose a lo largo del eje\(z\), y actuando exactamente como en la Sec. 6., tanto para las ondas longitudinales como transversales volvemos a llegar a la Ec. (6.49), pero para más\(/\) bien que\(\mathscr{P}\) (debido a una definición diferente de la impedancia de onda - por unidad de área en lugar de por cadena de partículas). Para las ondas sinusoidales del tipo (108), cede\[\mu_{z}=\frac{\omega^{2} Z}{2} a a^{*},\] con\(Z\) ser la impedancia correspondiente\(-\) ya sea\(Z_{1}\) o\(Z_{\mathrm{t}}\).

Al igual que en el caso 1D, un efecto más importante, en el que la noción de impedancia es crucial, es la reflexión de onda desde una interfaz entre dos medios. Las dos condiciones límite, necesarias para el análisis de estos procesos, pueden obtenerse a partir de la continuidad de los vectores\(\mathbf{q}\) y\(d \mathbf{F}\). (La primera condición es evidente, mientras que la segunda se puede obtener aplicando la ley de\(2^{\text {nd }}\) Newton al volumen infinitesimal\(d V=d A d z\), donde el segmento se\(d z\) extiende a ambos lados de la interfaz). Partimos del caso más simple de la incidencia normal en una interfaz plana entre dos medios uniformes con diferentes módulos elásticos y densidades de masa. Debido a la simetría, es evidente que la onda incidente longitudinal o transversal solo puede excitar ondas reflejadas y transferidas polarizadas de manera similar. Como resultado, podemos repetir literalmente los cálculos de la Sec. 6.4, llegando nuevamente a las relaciones fundamentales (6.55) y (6.56), con la única sustitución de\(Z\) y\(Z^{\prime}\) con los valores correspondientes de cualquiera de\(Z_{1}\) (120) o\(Z_{\mathrm{t}}\) (121). Así, a la incidencia normal, la reflexión de la onda está determinada únicamente por las impedancias acústicas de los medios, mientras que las velocidades del sonido no están involucradas.

La situación, sin embargo, se complica con un ángulo de incidencia distinto de cero\(\theta^{\text {i) }}\) (Figura 12), donde la onda transmitida generalmente también se refracta, es decir, se propaga bajo un ángulo diferente\(\theta \neq \theta^{(\mathrm{i})}\), más allá de la interfaz. Además, en\(\theta^{(\mathrm{i})} \neq 0\) las direcciones del movimiento de las partículas (vector\(\mathbf{q}\)) y de las fuerzas de tensión (vector\(d \mathbf{F}\)) en la onda incidente no son exactamente paralelas ni exactamente perpendiculares a la interfaz, y así esta onda sirve como actuador para las ondas reflejadas y refractadas de ambas polarizaciones - ver Figura 12, dibujada para el caso particular cuando la onda incidente es transversal. Los cuatro ángulos correspondientes,\(\theta_{\mathrm{t}}^{(\mathrm{r})}, \theta_{\mathrm{t}}^{(\mathrm{r})}, \theta_{1}^{\prime}, \theta_{\mathrm{t}}^{\prime}\), pueden estar fácilmente relacionados\(\theta^{(\mathrm{i})}\) por la condición “cinemática” de que la onda incidente, así como las ondas reflejadas y refractadas de ambos tipos, deben tener la misma distribución espacial a lo largo del plano de interfaz, es decir, para las partículas de interfaz que participan en las cinco olas. De acuerdo con la Ec. (108), la condición límite necesaria es la igualdad de los componentes tangenciales (en la Figura\(12, k_{x}\)), de los cinco vectores de onda:\[k_{\mathrm{t}} \sin \theta_{\mathrm{t}}^{(\mathrm{r})}=k_{1} \sin \theta_{1}^{(\mathrm{r})}=k_{1}^{\prime} \sin \theta_{1}^{\prime}=k_{\mathrm{t}}^{\prime} \sin \theta_{\mathrm{t}}^{\prime}=k_{x} \equiv k_{\mathrm{t}} \sin \theta_{\mathrm{t}}^{(\mathrm{i})} .\] Dado que las magnitudes del vector de onda acústica\(k\), a frecuencia fija\(\omega\), son inversamente proporcionales a la onda correspondiente velocidades, inmediatamente obtenemos las siguientes relaciones: de\[\theta_{\mathrm{t}}^{(\mathrm{r})}=\theta_{\mathrm{t}}^{(\mathrm{i})}, \quad \frac{\sin \theta_{1}^{(\mathrm{r})}}{v_{1}}=\frac{\sin \theta_{1}^{\prime}}{v_{1}^{\prime}}=\frac{\sin \theta_{\mathrm{t}}^{\prime}}{v_{\mathrm{t}}^{\prime}}=\frac{\sin \theta_{\mathrm{t}}^{(\mathrm{i})}}{v_{\mathrm{t}}}\] manera que generalmente los cuatro ángulos son diferentes. (Esto es por supuesto un análogo de la conocida ley Snell en óptica, donde, sin embargo, solo son posibles las ondas transversales). Estas relaciones muestran que, al igual que en la óptica, la dirección de una onda que se propaga hacia un medio con menor velocidad está más cerca de la normal (en la Figura 12, el\(z\) eje -eje). En particular, esto significa que si\(v^{\prime}>v\), las ondas acústicas, en ángulos de incidencia mayores, pueden exhibir el efecto de reflexión interna total, tan bien conocido por la óptica 37, cuando la onda refractada desaparece. Además, las ecuaciones (126) muestran que en acústica, la onda longitudinal reflejada, con velocidad\(v_{1}>v_{t}\), puede desaparecer en ángulos suficientemente grandes de incidencia de onda transversal.

Figura 7.12. Derivar las condiciones “cinemáticas” (126) de la reflexión y refracción de la onda acústica (para el caso de una onda incidente transversal).

Todos estos hechos se derivan automáticamente de expresiones generales para amplitudes de las ondas reflejadas y refractadas a través de la amplitud de la onda incidente. Estas relaciones son sencillas de derivar (nuevamente, de la continuidad de los vectores\(\mathbf{q}\) y\(d \mathbf{F}\)), pero como son mucho más voluminosas que las de la teoría de las ondas electromagnéticas (donde se llaman las fórmulas de Fresnel\({ }^{38}\)), no tendría tiempo/espacio para deletrear y discutirlas . Permítanme solo señalar que, a diferencia del caso de incidencia normal, estas relaciones involucran ocho parámetros mediáticos: las impedancias\(Z, Z^{\prime}\), y las velocidades a ambos\(v, v^{\prime}\) lados de la interfaz, y tanto para las ondas longitudinales como transversales.

Hay otro factor que hace que los efectos acústicos de límite sean más complejos. Dentro de ciertos rangos de frecuencia, las interfaces (y en particular las superficies) de sólidos elásticos pueden sostener las llamadas ondas acústicas superficiales (SAW), en particular, las ondas Rayleigh y las ondas Love. \({ }^{39}\)La característica principal que distingue a dichas ondas de sus contrapartes voluminosas (longitudinales y transversales), discutidas anteriormente, es que las amplitudes de desplazamiento son mayores en la interfaz y se desintegran exponencialmente en el grueso de ambos medios adyacentes. La profundidad característica de esta penetración es del orden de la longitud de onda, aunque no exactamente igual a ella.

En las ondas Rayleigh, el vector de desplazamiento de partículas\(\mathbf{q}\) tiene dos componentes: uno longitudinal (y por lo tanto paralelo a la interfaz) y otro transversal (perpendicular a la interfaz). A diferencia de las ondas masivas, estos componentes se acoplan (a través de su interacción con la interfaz) y por lo tanto se propagan con una sola velocidad\(v_{\mathrm{R}}\). Como resultado, la trayectoria de cada partícula en la onda Rayleigh es una elipse en el plano perpendicular a la interfaz. Un análisis directo\({ }^{40}\) de las ondas Rayleigh en la superficie de un sólido elástico (es decir, su interfaz con el vacío) produce la siguiente ecuación para\(v_{\mathrm{R}}\):\[\left(2-\frac{v_{\mathrm{R}}^{2}}{v_{\mathrm{t}}^{2}}\right)^{4}=16\left(1-\frac{v_{\mathrm{R}}^{2}}{v_{\mathrm{t}}^{2}}\right)^{2}\left(1-\frac{v_{\mathrm{R}}^{2}}{v_{1}^{2}}\right)^{2} .\] Según esta fórmula, y las ecuaciones (112) y (116), para materiales realistas con el índice de Poisson entre 0 y\(1 / 2\) , las ondas Rayleigh son ligeramente (en 4 a\(13 \%\)) más lentas que las ondas transversales masivas\(-\) y por lo tanto sustancialmente más lentas que las ondas longitudinales masivas.

En contraste, las ondas de Amor son puramente transversales, con\(\mathbf{q}\) orientadas paralelas a la interfaz. Sin embargo, la interacción de estas ondas con la interfaz reduce su velocidad\(v_{\mathrm{L}}\) en comparación con la\(\left(v_{\mathrm{t}}\right)\) de las ondas transversales masivas, manteniéndola dentro del estrecho intervalo entre\(v_{\mathrm{t}}\) y\(v_{\mathrm{R}}\):\[v_{\mathrm{R}}<v_{\mathrm{L}}<v_{\mathrm{t}}<v_{1}\] La importancia práctica de las ondas acústicas superficiales es que su la amplitud decae muy lentamente con la\(r\) distancia de su fuente puntual:\(a \propto 1 / r^{1 / 2}\), mientras que cualquier onda masiva decae mucho más rápido, como\(a \propto\)\(1 / r\). (De hecho, en este último caso la potencia\(\mathscr{P} \propto a^{2}\), emitida por dicha fuente, se distribuye sobre una superficie esférica proporcional a\(r^{2}\), mientras que en el primer caso toda la potencia entra en un círculo superficial delgado cuya longitud se escala como\(r\).) Se deben mencionar al menos dos áreas de aplicación de las ondas acústicas superficiales: en geofísica (para la detección de terremotos y sismología de la corteza terrestre), y electrónica (para el procesamiento de señales, con enfoque en el filtrado de frecuencia). Desafortunadamente, no puedo detenerme en estos temas interesantes y tengo que referir al lector a literatura especial. \({ }^{41}\)

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\({ }^{33}\)Sin embargo, tenga en cuenta que la ecuación (107) es más compleja que la ecuación de onda simple (6.40).

\({ }^{34}\)Debido a eso, uno puede cumplir con frecuencia el término ondas de cizallamiento. Obsérvese también que en contraste con las ondas transversales en el modelo 1D simple analizado en el Capítulo 6 (ver Figura 6.4a), aquellas en un continuo 3D no necesitan una tensión de preestirado\(\mathscr{T}\). Volveremos al efecto de la tensión en la siguiente sección.

\({ }^{35}\)Debido a esta diferencia entre\(v_{1}\) y\(v_{\mathrm{t}}\), en geofísica, las ondas longitudinales se conocen como\(P\) -ondas (con la letra P que significa “primaria”) porque llegan al sitio de detección, digamos de un sismo, primero- antes de las olas transversales, llamadas\(S\) -ondas, con S que significa “secundaria”.

\({ }^{36}\)El nombre de Nikolai Alekseevich Umov, quien introdujo este concepto en 1874, diez años antes de que J. Poynting sugiriera una noción similar para las ondas electromagnéticas (véase, por ejemplo, EM Sec. 6.4). En un medio elástico libre de disipación, el vector Umov obedece a la siguiente ecuación de continuidad:\(\partial\left(\rho v^{2} / 2+u\right) / \partial t+\nabla \cdot \boldsymbol{h}=0\), con\(u\) dada por la Ec. (52), que expresa la conservación de la energía total (cinética más potencial) de la deformación elástica.

\({ }^{37}\)Véase, por ejemplo, EM Sec. \(7.5\).

\({ }^{38}\)Su discusión también se puede encontrar en EM Sec. \(7.5\).

\({ }^{39}\)Nombrado, respectivamente, en honor a Lord Rayleigh (nacido J. Strutt, 1842-1919) quien teóricamente ha predicho la existencia misma de ondas acústicas superficiales, y A. Love (1863-1940).

\({ }^{40}\)Desafortunadamente, tampoco tengo tiempo/espacio para reproducir este cálculo; véase, por ejemplo, Sec. 24 en L. Landau y E. Lifshitz, Theory of Elasticidad,\(3^{\text {rd }}\) ed., Butterworth-Heinemann,\(1986 .\)

\({ }^{41}\)Véase, por ejemplo, K. Aki y P. Richards, Quantitative Sismology,\(2^{\text {nd }}\) ed., University Science Books, 2002 y D. Morgan, Surface Acoustic Waves,\(2^{\text {nd }}\) ed., Academic Press,\(2007 .\)