8.3: Cinemática

En contraste con el tensor de tensión, que es útil y simple - ver Ec. (2), el tensor de tensión no es una noción muy útil en mecánica de fluidos. De hecho, además de muy pocas situaciones, los problemas\({ }^{12}\) típicos de este campo involucran el flujo de fluido, es decir, un estado en el que la velocidad de las partículas de fluido tiene algún promedio de tiempo distinto de cero. Esto significa que la trayectoria de cada partícula es una línea larga, y la noción de su desplazamiento\(\mathbf{q}\) se vuelve impracticable. Sin embargo, la velocidad de las partículas\(\mathbf{v} \equiv d \mathbf{q} / d t\) sigue siendo una noción muy útil, especialmente si se considera como una función del punto de observación\(\mathbf{r}\) y (generalmente) del tiempo\(t\). En una clase importante de problema de dinámica de fluidos, el llamado flujo estacionario (o “estable”, o “estático”), la velocidad definida de esta manera no depende del tiempo,\(\mathbf{v}=\mathbf{v}(\mathbf{r})\).

Existe, sin embargo, un precio a pagar por la conveniencia de esta noción: es decir, debido a la diferencia entre los vectores\(\mathbf{q}\) y\(\mathbf{r}\), la aceleración de la partícula\(\mathbf{a}=d^{2} \mathbf{q} / d t^{2}\) (que participa, en particular, en la ley\(2^{\text {nd }}\) Newton) no puede calcularse del mismo modo que la derivada temporal de la velocidad\(\mathbf{v}(\mathbf{r}, t)\). Este hecho es evidente, por ejemplo, para el caso del flujo estático, en el que la aceleración de partículas de fluido individuales puede ser muy significativa aunque\(\mathbf{v}(\mathbf{r})\) no dependa del tiempo, solo piense en la aceleración de una gota de agua que fluye sobre el borde de las Cataratas del Niágara, primero acelerando rápido y luego prácticamente se detiene por debajo, mientras que la velocidad del agua\(\mathbf{v}\) en cada punto en particular, medida desde un marco de referencia basado en bancos, es casi constante. Así, la tarea principal de la cinemática fluida es expresar una vía\(\mathbf{v}(\mathbf{r}, t)\); hagámoslo.

Dado que cada componente cartesiano\(v_{j}\) de la velocidad\(\mathbf{v}\) tiene que ser considerado como una función de cuatro variables escalares independientes: tres componentes cartesianos\(r_{j}\) del vector\(\mathbf{r}\) y tiempo\(t\), su derivada de tiempo completo puede representarse como\[\frac{d v_{j}}{d t}=\frac{\partial v_{j}}{\partial t}+\sum_{j^{\prime}=1}^{3} \frac{\partial v_{j}}{\partial r_{j^{\prime}}} \frac{d r_{j^{\prime}}}{d t} .\] Apliquemos esto relación general con un conjunto específico de cambios infinitesimales\(\left\{d r_{1}, d r_{2}, d r_{3}\right\}\) que sigue a un pequeño desplazamiento\(d \mathbf{q}\) de una determinada partícula particular del fluido, es decir\(d \mathbf{r}=d \mathbf{q}=\mathbf{v} d t\),\[d r_{j}=v_{j} d t .\] en este caso,\(d v_{j} / d t\) es el\(j^{\text {th }}\) componente\(a_{j}\) de la aceleración de la partícula a, de manera que la Ec. ( 17) arroja la siguiente relación clave de la cinemática fluida:\[a_{j}=\frac{\partial v_{j}}{\partial t}+\sum_{j^{\prime}=1}^{3} v_{j^{\prime}} \frac{\partial v_{j}}{\partial r_{j^{\prime}}} .\] Usando el operador del\(\nabla\), este resultado puede ser reescrito en la siguiente forma de vector compacto:\(^{13}\)\[\mathbf{a}=\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}+(\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v} .\] Esta relación ya señala el principal problema técnico de la dinámica de fluidos: muchas ecuaciones que involucran la aceleración de las partículas no es lineal en velocidad, excluyendo una herramienta tan poderosa como el principio de superposición lineal (que se utilizó con tanta frecuencia en los capítulos anteriores de este curso) del arsenal matemático aplicable.

Una relación más básica de la cinemática fluida es la llamada ecuación de continuidad, que es esencialmente solo la versión diferencial de la ley de conservación de masas. Marquemos, dentro de un flujo de fluido, un volumen arbitrario\(V\) limitado por una superficie estacionaria (independiente del tiempo)\(S\). La masa total del fluido dentro del volumen puede cambiar solo debido a su flujo a través del límite:\[\frac{d M}{d t} \equiv \frac{d}{d t} \int_{V} \rho d^{3} r=-\int_{S} \rho v_{n} d^{2} r \equiv-\int_{S} \rho \mathbf{v} \cdot d \mathbf{A},\] donde el vector de área elemental\(d \mathbf{A}\) se define tal como en la Sec. \(7.2-\)ver Figura 7. Ahora usando el mismo teorema de divergencia que se ha usado varias veces en este curso\({ }^{14}\) la integral de superficie en la Ec. (20a) puede transformarse en la integral de\(\nabla(\rho \mathbf{v})\) sobre el volumen\(V\), de manera que esta relación puede ser reescrita como\[\int_{V}\left(\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla \cdot \mathbf{j}\right) d^{3} r=0\] donde\(\mathbf{j} \equiv \rho \mathbf{v}\) se llama el vector o bien la densidad de flujo másico (o la “corriente de masa”). Dado que la Ec. (20b) es válida para un volumen estacionario arbitrario\(V\), la función bajo la integral tiene que desvanecerse en cualquier punto:

\[\ \text{Continuity equation}\quad\quad\quad\quad\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla \cdot \mathbf{j}=0.\]

Fig. 8.7. Derivando la ecuación de continuidad.

Tenga en cuenta que esta ecuación de continuidad es válida no solo para la masa, sino también para otras cantidades físicas conservadas (por ejemplo, la carga eléctrica, probabilidad, etc.), con la adecuada redefinición de\(\rho\) y\(\mathbf{j} .{ }^{15}\)

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\({ }^{12}\)Una de ellas es la propagación del sonido, donde los desplazamientos de partículas\(\mathbf{q}\) suelen ser pequeños, por lo que los resultados de la Sec. \(7.7\)son aplicables. Como recordatorio, muestran que en los fluidos, con\(\mu=0\), el sonido transversal no puede propagarse, mientras que el sonido longitudinal puede - ver Ec. (7.114).

\({ }^{13}\)Tenga en cuenta que la relación de operador\(d / d t=\partial / \partial t+(\mathbf{v} \cdot \nabla)\) es aplicable a una función arbitraria (escalar o vectorial); frecuentemente se llama la derivada convectiva. (Adjetivos alternativos, como “lagrangiano”, “sustancial” o “Stokes”, a veces también se usan para este derivado.) La relación tiene numerosas aplicaciones mucho más allá de la dinámica de fluidos - véanse, por ejemplo, EM Capítulo 9 y QM Capítulo 1.

\({ }^{14}\)Si el lector aún necesita un recordatorio, consulte MA Eq. (12.1).

\({ }^{15}\)Véase, por ejemplo, EM Sec. 4.1, QM Sec. 1.4 y SM Sec. 5.6.