8.4: Dinámica - Fluidos Ideales

Comencemos nuestra discusión sobre la dinámica de fluidos desde el caso más simple cuando el tensor de estrés obedece a la ecuación (2) incluso en movimiento. Físicamente, esto significa que los efectos de la viscosidad del fluido, que conducen a la pérdida de energía mecánica, son insignificantes. (Las condiciones de este supuesto se discutirán en el siguiente apartado.) Entonces la ecuación de movimiento de tal fluido ideal (esencialmente la ley de\(2^{\text {nd }}\) Newton para su volumen unitario) puede obtenerse a partir de la Ec. (7.25) usando las simplificaciones de su lado derecho, discutidas en la Sec. 1:\[\rho \mathbf{a}=-\nabla \mathcal{P}+\mathbf{f} .\] Ahora usando la relación cinemática básica (19), llegamos a la siguiente ecuación de Euler: \({ }^{16}\)\[\rho \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}+\rho(\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v}=-\nabla \mathcal{P}+\mathbf{f} .\]Generalmente, esta ecuación tiene que resolverse junto con la ecuación de continuidad\((21)\) y la ecuación de estado del fluido particular,\(\rho=\rho(\mathcal{P})\). Sin embargo, como ya hemos comentado, en muchas situaciones la compresibilidad del agua y otros líquidos importantes es muy baja y puede ignorarse, por lo que\(\rho\) puede tratarse como una constante dada. Además, en muchos casos las fuerzas a granel\(\mathbf{f}\) son conservadoras y pueden representarse como un gradiente de una determinada función potencial\(u(\mathbf{r})-\) la energía potencial por unidad de volumen:\[\mathbf{f}=-\nabla u\] por ejemplo, para un campo de gravedad vertical uniforme\(u(\mathbf{r})=\rho g y\), donde\(y\) se hace referencia a algunos ( arbitrario) nivel horizontal. En este caso, el lado derecho de la Ec. (23) se vuelve\(-\nabla(\mathcal{P}+u)\). Para estos casos, es beneficioso refundir también la izquierda de esa ecuación, utilizando la siguiente identidad bien conocida de álgebra vectorial\({ }^{17}\)\[(\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v}=\nabla\left(\frac{v^{2}}{2}\right)-\mathbf{v} \times(\nabla \times \mathbf{v})\] Como resultado, la ecuación de Euler toma la siguiente forma:\[\rho \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}-\rho \mathbf{v} \times(\nabla \times \mathbf{v})+\nabla\left(\mathcal{P}+u+\rho \frac{v^{2}}{2}\right)=0\] En un flujo estacionario, el primer término de esta ecuación desaparece. Si el segundo término, que describe la vorticidad del fluido, también es cero, entonces la ecuación (26) tiene la primera integral de movimiento,\[\mathcal{P}+u+\frac{\rho}{2} v^{2}=\text { const }\] llamada ecuación de Bernoulli. \({ }^{18}\)Numerosos ejemplos de la aplicación de la Ec. (27) a problemas simples de flujo estacionario en tuberías, en el campo de gravedad de la Tierra, deberían ser bien conocidos por los lectores de sus cursos de licenciatura, así que espero poder saltarme su discusión sin mucho daño.

En el caso general, un fluido ideal puede tener vorticidad, por lo que la Ec. (27) no siempre es válida. Además, debido a la ausencia de viscosidad en un fluido ideal, la vorticidad, una vez creada, no disminuye a lo largo de la llamada línea aerodinámica, la trayectoria de la partícula de fluido, a la que la velocidad es tangencial en cada punto. \({ }^{19}\)Matemáticamente, este hecho\({ }^{20}\) se expresa por el siguiente teorema de Kelvin:\((\nabla \times \mathbf{v}) \cdot d \mathbf{A}=\) const a lo largo de cualquier pequeño grupo contiguo de líneas de corriente que crucen un área elemental\(d A .{ }^{21}\)

Sin embargo, en muchos casos importantes, la vorticidad del fluido es insignificante. Por ejemplo, si la vorticidad existe en alguna parte del volumen del fluido (digamos, inducida por turbulencia local, ver Sec. 6 a continuación), pero decae debido a la viscosidad del fluido, para ser discutido en la Sec. 5, mucho antes de que llegue a la región de nuestro interés. (Si esta viscosidad es suficientemente pequeña, sus efectos sobre el flujo del fluido en la región de interés son despreciables, es decir, la aproximación ideal-fluido sigue siendo aceptable). Otro caso importante es cuando un cuerpo sólido de forma arbitraria se incrusta en un fluido ideal cuyo flujo es uniforme (es decir, por definición, esa\(\mathbf{v}(\mathbf{r}, t)=\mathbf{v}_{0}=\) const) a grandes distancias,\({ }^{22}\) su vorticidad es cero en todas partes. De hecho, ya que\(\nabla \times \mathbf{v}=0\) en el flujo uniforme, la vorticidad es cero en puntos distantes de cualquier aerodinámica, y según el teorema de Kelvin, debe ser igual a cero en todas partes.En tales casos, la distribución de velocidad, como cualquier campo vectorial libre de rizo, puede representarse como un gradiente de alguna función potencial efectiva ,\[\mathbf{v}=-\nabla \phi \text {. }\] Dicho flujo potencial puede describirse mediante una simple ecuación diferencial. De hecho, la ecuación de continuidad (21) para un flujo constante de un fluido incompresible se reduce a\(\nabla \cdot \mathbf{v}=0\). Al enchufar la Eq. (28) en esta relación, obtenemos la ecuación escalar de Laplace, la\[\nabla^{2} \phi=0,\] cual debe resolverse con condiciones de límite adecuadas. Por ejemplo, el flujo de fluido puede estar limitado por cuerpos sólidos, dentro de los cuales el fluido no puede penetrar. Entonces la velocidad del fluido\(\mathbf{v}\) en los límites del cuerpo sólido no debe tener un componente normal; de acuerdo con la Ec. (28), esto significa\[\left.\frac{\partial \phi}{\partial n}\right|_{\text {surfaces }}=0 \text {. }\] Por otro lado, si a grandes distancias se conoce el flujo de fluido, por ejemplo, uniforme, entonces:\[\nabla \phi=-\mathbf{v}_{0}=\text { const, } \text { at } r \rightarrow \infty .\] Como ya puede saber el lector (por ejemplo, de un curso de electrodinámica\({ }^{23}\)), la ecuación de Laplace (29) es fácilmente solucionable analíticamente en varias situaciones simples (simétricas) pero importantes. Consideremos, por ejemplo, el caso de un cilindro redondo, con radio\(R\), sumergido en un flujo con la velocidad inicial\(\mathbf{v}_{0}\) perpendicular al eje del cilindro (Figura 8). Para este problema, es natural utilizar las coordenadas cilíndricas, coincidiendo el\(z\) eje -con el eje del cilindro. En este caso, la distribución de velocidad es obviamente independiente de\(z\), por lo que podemos simplificar la expresión general del operador de Laplace en coordenadas cilíndricas\({ }^{24}\) tomando\(\partial / \partial z=0\). Como resultado, la Ec. (29) se reduce a\({ }^{25}\)\[\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho \frac{\partial \phi}{\partial r}\right)+\frac{1}{\rho^{2}} \frac{\partial^{2} \phi}{\partial \theta^{2}}=0, \text { at } \rho \geq R \text {. }\] La solución general de esta ecuación se puede obtener utilizando el método de separación de variables, similar al utilizado en la Sec. \(6.5-\)ver Eq. (6.67). El resultado es\(^{26}\)\[\phi=a_{0}+b_{0} \ln \rho+\sum_{n=1}^{\infty}\left(c_{n} \cos n \varphi+s_{n} \sin n \varphi\right)\left(a_{n} \rho^{n}+b_{n} \rho^{-n}\right),\] donde los coeficientes\(a_{n}\) y\(b_{n}\) tienen que ser encontrados a partir de las condiciones límite (30) y (31). Elegir el\(x\) eje -para que sea paralelo al vector\(\mathbf{v}_{0}\) (Figura 8a), para que\(x=r \cos \varphi\), podamos detallar estas condiciones de la siguiente forma:\[\begin{gathered} \frac{\partial \phi}{\partial \rho}=0, \text { at } \rho=R, \\ \phi \rightarrow-v_{0} \rho \cos \varphi+\phi_{0}, \text { at } \rho>>R, \end{gathered}\] donde\(\phi_{0}\) es una constante arbitraria, que no afecta la distribución de velocidad y puede tomarse para cero. La condición (35) es incompatible con cualquier término de la suma (33) excepto el término con\(n=1\) (con\(s_{1}=0\) y\(c_{1} a_{1}=-v_{0}\)), por lo que la Eq. (33) se reduce a\[\phi=\left(-v_{0} \rho+\frac{c_{1} b_{1}}{\rho}\right) \cos \varphi \text {. }\] Ahora, enchufando esta solución a la Eq. (34), obtenemos\(c_{1} b_{1}=-v_{0} R^{2}\), de manera que, finalmente,

Figura 8.8. El flujo de un fluido ideal e incompresible alrededor de un cilindro: (a) superficies equipotenciales y (b) líneas de flujo.

La Figura 8 a muestra las superficies de potencial de velocidad constante\(\phi\) dadas por la Ec. (37a). Para encontrar la velocidad del fluido, es más fácil reescribir esa igualdad en las coordenadas cartesianas\(x=\rho \cos \varphi, y=\rho \sin \varphi\):\[\phi=-v_{0} x\left(1+\frac{R^{2}}{\rho^{2}}\right)=-v_{0} x\left(1+\frac{R^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right) .\] A partir de aquí, podemos calcular fácilmente los componentes cartesianos\(v_{x}=-\partial \phi / \partial x\) y\(v_{y}=-\partial \phi / \partial y\) la velocidad del fluido. La figura\(8 \mathrm{~b}\) muestra las líneas de flujo. (Se pueden encontrar por integración de la ecuación evidente\(d y / d x=v_{y}(x, y) / v_{x}(x, y)\). Para nuestro sencillo problema, esta integración se puede hacer analíticamente, dando\(y\left[1-R^{2} /\left(x^{2}+y^{2}\right)\right]=\) const, donde la constante es específica para cada racionalización.) Se puede ver que el mayor gradiente de potencial, y de ahí la velocidad máxima del fluido, se logra en los extremos del diámetro vertical\((\rho=R, \varphi=\pm \pi / 2)\), donde\[v=v_{x}=-\left.\frac{\partial \phi}{\partial x}\right|_{r=R \atop x=0}=2 v_{0} .\] Ahora la distribución de presión puede calcularse tapando la Eq. (37) en la ecuación de Bernoulli (27) con\(u(\mathbf{r})=0\). El resultado muestra que la presión alcanza su máximo en los extremos del diámetro longitudinal\(y=0\), mientras que en los extremos del diámetro transversal\(x=0\), donde la velocidad es mayor, es menor en\(2 \rho v_{0}{ }^{2}\). (Aquí\(\rho\) está la densidad del fluido otra vez - ¡perdón por el nerviosismo de notación!) Obsérvese que las distribuciones tanto de la velocidad como de la presión son simétricas con respecto al eje transversal\(x\)\(=0\), de manera que el flujo de fluido no crea ninguna fuerza neta de arrastre en su dirección. Se puede demostrar que este resultado, que deriva de la conservación de la energía mecánica de un fluido ideal, sigue siendo válido para un cuerpo sólido de forma arbitraria que se mueve dentro de un volumen infinito de un fluido ideal, la llamada paradoja de D'Alambert. Sin embargo, si un cuerpo se mueve cerca de la superficie de un fluido ideal, su energía puede transformarse en la de las ondas superficiales, y el arrastre se hace posible.

Hablando de las ondas superficiales: la descripción de tales ondas en un campo de gravedad\({ }^{27}\) es un problema más clásico de la dinámica de fluidos ideal. \({ }^{28}\)Consideremos una superficie abierta de un fluido ideal de densidad\(\rho\) en un campo de gravedad uniforme\(\mathbf{f}=\rho \mathbf{g}=-\rho g \mathbf{n}_{y}\) - ver Figura 9. Si la amplitud de onda\(A\) es suficientemente pequeña, podemos descuidar el término no lineal\((\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v} \propto A^{2}\) en la ecuación de Euler (23) en comparación con el primer término\(\partial \mathbf{v} / \partial t\), que es lineal en\(A\). Para una onda con frecuencia\(\omega\) y número de onda\(k\), la velocidad de la partícula\(\mathbf{v}=d \mathbf{q} / d t\) es del orden de\(\omega A\), por lo que esta aproximación es legítima si\(\omega^{2} A \gg k(\omega A)^{2}\), es decir, cuando\[k A<<1,\] es decir, cuando la amplitud de la onda\(A\) es mucho menor que su longitud de onda\(\lambda=2 \pi / k\). Debido a esta suposición, podemos descuidar los efectos de la vorticidad del fluido y (para un fluido incompresible) nuevamente usar la ecuación de Laplace (29) para el análisis de la onda.

Figura 8.9. Onda superficial pequeña sobre un fluido profundo y pesado. Las líneas discontinuas muestran trayectorias de partículas fluidas. (Para mayor claridad, la amplitud de desplazamiento\(A\) es fuertemente exagerada).

Buscando su solución en la forma natural de una onda sinusoidal, uniforme en una de las direcciones horizontales\((x)\),\[\phi=\operatorname{Re}\left[\Phi(y) e^{i(k z-\omega t)}\right],\] obtenemos una ecuación muy simple\[\frac{d^{2} \Phi}{d y^{2}}-k^{2} \Phi=0,\] con una solución exponencial (decayendo correctamente en\(y \rightarrow-\infty), \Phi=\Phi_{A} \exp \{k y\}\), de manera que la Ec. (40) se convierte en\[\phi=\operatorname{Re}\left[\Phi_{A} e^{k y} e^{i(k z-\omega t)}\right]=\Phi_{A} e^{k y} \cos (k z-\omega t),\] donde la última forma es válida si \(\Phi_{A}\)es real - que siempre puede estar arreglado por una selección adecuada de los orígenes de\(z\) y/o\(t\). Tenga en cuenta que la tasa\(k\) de decaimiento de la onda en la dirección vertical es exactamente igual al número de onda de su propagación en la dirección horizontal, a lo largo de la superficie del fluido. Debido a eso, las trayectorias de las partículas de fluido son exactamente circulares - ver Figura 9. En efecto, usando las ecuaciones (28) y (42) para calcular componentes de velocidad,\[v_{x}=0, \quad v_{y}=-\frac{\partial \phi}{\partial y}=-k \Phi_{A} e^{k y} \cos (k z-\omega t), \quad v_{z}=-\frac{\partial \phi}{\partial z}=k \Phi_{A} e^{k y} \sin (k z-\omega t),\] vemos que\(v_{y}\) y\(v_{z}\), a la misma altura\(y\), tienen amplitudes reales iguales, y son desplazados de fase por\(\pi / 2\). Este resultado se vuelve aún más claro si usamos la definición de velocidad\(\mathbf{v}=d \mathbf{q} / d t\) para integrar las ecuaciones (43) a lo largo del tiempo para recuperar la ley de desplazamiento de partículas\(\mathbf{q}(t)\). Debido a la fuerte desigualdad (39), la integración se puede hacer en fijo\(y\) y\(z\):\[q_{y}=q_{A} e^{k y} \sin (k z-\omega t), \quad q_{z}=q_{A} e^{k y} \cos (k z-\omega t), \quad \text { with } q_{A} \equiv \frac{k}{\omega} \Phi_{A} .\] Tenga en cuenta que la fase de oscilaciones de\(v_{z}\) coincide con la de\(q_{y}\). Esto significa, en particular, que en la “cresta” de la ola, las partículas se mueven en la dirección de la propagación de la onda - ver flechas en la Figura\(9 .\)

¡Es notable que toda esta imagen se deduce solo de la ecuación de Laplace! La “única” característica restante para calcular es la ley de dispersión\(\omega(k)\), y para ello, necesitamos combinar la ecuación (42) con lo que queda, en nuestra aproximación lineal, de la ecuación de Euler (23). En esta aproximación, y con el potencial de fuerza aparente\(u=\rho g y\), la ecuación se reduce a\[\nabla\left(-\rho \frac{\partial \phi}{\partial t}+\mathcal{P}+\rho g y\right)=0 \text {. }\] Esta igualdad significa que la función entre paréntesis es constante en el espacio; en la superficie, y a una tensión superficial insignificante, debe ser igual a la presión\(\mathcal{P}_{0}\) sobre la superficie (digamos, la presión atmosférica), que suponemos que es constante. Esto quiere decir que en la superficie, las contribuciones a\(\mathcal{P}\) eso provienen del primer y tercer término en la Ec. (45), deben compensarse entre sí. Tomemos la posición media de la superficie para\(y=0\); luego la superficie con ondas se describe por la relación\(y(z, t)=q_{y}(y, z, t)-\) ver Figura 9. Debido a la fuerte relación (39), podemos usar las ecuaciones (42) y (44) con\(y=0\), para que la condición de compensación anterior rinda\[-\rho \omega \Phi_{A} \sin (k z-\omega t)+\rho g \frac{k}{\omega} \Phi_{A} \sin (k z-\omega t)=0 .\] Esta condición se satisface de manera idéntica en toda la superficie (y para cualquier\(\Phi_{A}\)) tan pronto como\[\omega^{2}=g k,\] Esta igualdad es la relación de dispersión que estábamos buscando . Al observar este simple resultado (que incluye solo una constante,\(g\)), tenga en cuenta, en primer lugar, que no involucra la densidad del fluido. Esto no es demasiado sorprendente, porque debido al principio de equivalencia débil, las masas de partículas siempre abandonan las soluciones de problemas que involucran únicamente a las fuerzas gravitacionales. Segundo, la ley de dispersión (47) es fuertemente no lineal, y en particular no tiene un límite de onda acústica en absoluto. Esto significa que la propagación de la onda superficial es fuertemente dispersiva, con tanto la velocidad\(v_{\mathrm{ph}} \equiv \omega / k=g / \omega\) de fase como la velocidad del grupo\(v_{\mathrm{gr}} \equiv d \omega / d k=g / 2 \omega \equiv v_{\mathrm{ph}} / 2\) divergiendo en\(\omega \rightarrow 0\).

Esta divergencia es un artefacto de nuestra suposición de la capa del fluido infinitamente grueso. Una generalización bastante sencilla de los cálculos anteriores a una capa de espesor finito\(h\), utilizando la condición límite adicional\(\left.v_{y}\right|_{y=h}=0\) (dejada para el ejercicio del lector), produce una relación de dispersión más general:\[\omega^{2}=g k \tanh k h .\] Muestra que ondas relativamente largas, con\(\lambda \gg h\), i.e. con\(k h \ll 1\), propagarse sin dispersión (es decir, tener\(\omega / k=\) const\(\equiv v\)), con la siguiente velocidad:\[v=(g h)^{1 / 2} .\] Para los océanos de la Tierra, esta velocidad es bastante alta, acercándose\(300 \mathrm{~m} / \mathrm{s}(!)\) para\(h=10 \mathrm{~km}\). Este resultado explica, en particular, la propagación muy rápida de las olas de tsunami.

En el límite opuesto de ondas muy cortas (grandes\(k\)), la Eq. (47) tampoco da una buena descripción de los datos experimentales, debido a los efectos de tensión superficial - ver Sec. 2 anterior. Usando la Ec. (13), es fácil (y por lo tanto también se deja para el ejercicio del lector) demostrar que su relato lleva (at\(k h>>1\)) a la siguiente modificación de la ecuación (47):\[\omega^{2}=g k+\frac{\not k^{3}}{\rho} .\] De acuerdo con esta fórmula, la tensión superficial es importante en longitudes de onda menores que la constante capilar\(a_{\mathrm{c}}\) dada por Eq. (14). Ondas mucho más cortas, para eso Eq. (50) rendimientos\(\omega \propto k^{3 / 2}\), se llaman las ondas capilares - o simplemente “ondas”.

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\({ }^{16}\)Fue derivado en 1755 por el mismo Leonhard Euler cuyo nombre ya ha sido (reverentemente) mencionado varias veces en este curso.

\({ }^{17}\)Se desprende fácilmente, por ejemplo, de MA Eq. (11.6) con\(\mathbf{g}=\mathbf{f}=\mathbf{v}\).

\({ }^{18}\)El nombre de Daniel Bernoulli (1700-1782), no debe confundirse con Jacob Bernoulli o uno de varios Johanns de la misma famosa familia Bernoulli, que le dio al mundo tantos matemáticos y científicos famosos.

\({ }^{19}\)Quizás la manifestación más espectacular de la conservación de la vorticidad son los famosos anillos toroidales de vórtice (ver, por ejemplo, una bonita foto y una película en https://en.Wikipedia.org/wiki/Vortex_ring), predichos en 1858 por\(\mathrm{H}\). von Helmholtz, y luego demostrados por P. Tait en una serie de experimentos espectaculares con humo en el aire. La persistencia de tal anillo, una vez creado, sólo está limitada por la viscosidad del fluido - ver la siguiente sección.

\({ }_{20}\)Este teorema fue formulado por primera vez (verbalmente) por Hermann von Helmholtz.

\({ }^{21}\)Su prueba se puede encontrar, por ejemplo, en la Sec. 8 de L. Landau y E. Lifshitz, Fluid Mechanics,\(2^{\text {nd }}\) ed., ButterworthHeineMann,\(1987 .\)

\({ }^{22}\)Este caso es muy importante, porque el movimiento de un cuerpo sólido, con una velocidad constante\(\mathbf{u}\), en el fluido por lo demás estacionario, da exactamente el mismo problema (con\(\mathbf{v}_{0}=-\mathbf{u}\)), en un marco de referencia ligado al cuerpo.

\({ }^{23}\)Véase, por ejemplo, EM Secs. 2.3-2.8.

\({ }^{24}\)Véase, por ejemplo, MA Ec. (10.3).

\({ }^{25}\)Permítanme esperar que la letra\(\rho\), utilizada aquí para denotar la magnitud del\(2 \mathrm{D}\) radio-vector\(\boldsymbol{\rho}=\{x, y\}\), no se confunda con la densidad del fluido -que no participa en este problema de límites-.

\({ }^{26}\)Véase, por ejemplo, EM Eq. (2.112). Tenga en cuenta que la solución más general de la Ec. (32) también incluye un término proporcional a\(\varphi\), pero este término debe ser cero para una función de un solo valor como el potencial de velocidad.

\({ }^{27}\)El término alternativo e histórico “ondas gravitacionales” para este fenómeno puede conducir hoy en día a confusión con el efecto relativista de las ondas gravitacionales, que pueden propagarse en el espacio libre.

\({ }^{28}\)Fue resuelto por Sir George Biddell Airy (1801-19892), de la fama de las funciones Airy. (También fue un destacado astrónomo y, en particular, estableció Greenwich como el meridiano principal).