8.5: Dinámica- Fluidos Viscosos

La viscosidad de muchos fluidos, a velocidades no demasiado altas, puede describirse sorprendentemente bien agregando, al tensor de tensión estática (2), componentes adicionales proporcionales a la velocidad\(\mathbf{v} \equiv d \mathbf{q} / d t\):\[\sigma_{i j^{\prime}}=-\mathcal{P} \delta_{i j^{\prime}}+\tilde{\sigma}_{j j^{\prime}}(\mathbf{v}) .\] A la vista de nuestra experiencia con la ley de Hooke (7.32) expresando un tensor de tensión proporcional a los desplazamientos de partículas\(\mathbf{q}\), podemos esperar una expresión similar con el reemplazo\(\mathbf{q} \rightarrow \mathbf{v}=d \mathbf{q} / d t\):\[\widetilde{\sigma}_{j j^{\prime}}=2 \eta\left(e_{j j}-\frac{1}{3} \delta_{j j^{\prime}} \operatorname{Tr}(\mathrm{e})\right)+3 \zeta\left(\frac{1}{3} \delta_{i j^{\prime}} \operatorname{Tr}(\mathrm{e})\right)\] donde\(e_{i j^{\prime}}\) están los elementos del tensor derivado de la cepa simetrizada:\[e_{i j^{\prime}} \equiv \frac{d s_{j j^{\prime}}}{d t}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial v_{j}}{\partial r_{j^{\prime}}}+\frac{\partial v_{j^{\prime}}}{\partial r_{j}}\right) .\] Experimento confirma que la Ec. (52) da una buena descripción de los efectos de viscosidad en una amplia gama de fluidos isotrópicos. El coeficiente\(\eta\) se llama viscosidad de cizallamiento, o viscosidad dinámica, o simplemente viscosidad, mientras que\(\zeta\) se llama la segunda viscosidad (o masa).

En el caso más frecuente de fluidos prácticamente incompresibles\(\operatorname{Tr}(\mathrm{e})=d[\operatorname{Tr}(\mathrm{s})] / d t=(d V / d t) / V=0\),, de manera que el término proporcional a\(\zeta\) desaparece, y\(\eta\) es el único parámetro de viscosidad importante. \({ }^{29}\)En el Cuadro 1 se muestran los valores aproximados de la viscosidad, junto con la densidad de masa\(\rho\), para varios fluidos representativos.

Cuadro 8.1. Parámetros importantes de varios fluidos representativos (valores aproximados)

Fluido (todo a 300 K, hasta que se indique lo contrario)	\(\eta(\mathrm{mPa} \cdot \mathrm{s})\)	\(\rho\left(\mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3}\right)\)
Vidrios	\ (\ eta (\ mathrm {MPa}\ cdot\ mathrm {s})\)” style="text-align:center; ">\(10^{21}-10^{24}\)	\ (\ rho\ izquierda (\ mathrm {kg}/\ mathrm {m} ^ {3}\ derecha)\)” style="text-align:center; ">\(2,200-2,500\)
Magmas terrestres (a 800 a 1,400 K)	\ (\ eta (\ mathrm {MPa}\ cdot\ mathrm {s})\)” style="text-align:center; ">\(10^{4}-10^{14}\)	\ (\ rho\ izquierda (\ mathrm {kg}/\ mathrm {m} ^ {3}\ derecha)\)” style="text-align:center; ">\(2,200-2,800\)
Aceites para máquinas (SAE 10W-40 W)	\ (\ eta (\ mathrm {MPa}\ cdot\ mathrm {s})\)” style="text-align:center; ">\(65-320\)	\ (\ rho\ izquierda (\ mathrm {kg}/\ mathrm {m} ^ {3}\ derecha)\)” style="text-align:center; ">900
Agua	\ (\ eta (\ mathrm {MPa}\ cdot\ mathrm {s})\)” style="text-align:center; ">\(0.89\)	\ (\ rho\ izquierda (\ mathrm {kg}/\ mathrm {m} ^ {3}\ derecha)\)” style="text-align:center; ">1,000
Mercurio	\ (\ eta (\ mathrm {MPa}\ cdot\ mathrm {s})\)” style="text-align:center; ">\(1.53\)	\ (\ rho\ izquierda (\ mathrm {kg}/\ mathrm {m} ^ {3}\ derecha)\)” style="text-align:center; ">13,530
Helio líquido 4 (a 4.2K, 10\(\mathrm{Pa}\))	\ (\ eta (\ mathrm {MPa}\ cdot\ mathrm {s})\)” style="text-align:center; ">\(0.019\)	\ (\ rho\ izquierda (\ mathrm {kg}/\ mathrm {m} ^ {3}\ derecha)\)” style="text-align:center; ">130
Aire (a 10\(\mathrm{Pa}\))	\ (\ eta (\ mathrm {MPa}\ cdot\ mathrm {s})\)” style="text-align:center; ">\(0.018\)	\ (\ rho\ izquierda (\ mathrm {kg}/\ mathrm {m} ^ {3}\ derecha)\)” style="text-align:center; ">\(1.3\)

Se puede ver que\(\eta\) puede variar en límites muy amplios; los casos extremos de los líquidos son los vidrios (que, algo contraintuitivamente, no son sólidos estables incluso a temperatura ambiente, sino que pueden “fluir”, aunque extremadamente lentamente, hasta que finalmente cristalizan) y helio líquido (cuya viscosidad es del orden del de los gases,\({ }^{30}\) a pesar de su densidad mucho mayor).

Incorporando los componentes adicionales de\(\sigma_{j j}\), a la ecuación\((23)\) del movimiento fluido, absolutamente similar a como se hizo en la derivación de la Ec. (7.107) de la teoría de la elasticidad, y con el relato de la Ec. (19), llegamos a la famosa ecuación de Navier-Stokes:\({ }^{31}\) \[\rho \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}+\rho(\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v}=-\nabla \mathcal{P}+\mathbf{f}+\eta \nabla^{2} \mathbf{v}+\left(\zeta+\frac{\eta}{3}\right) \nabla(\nabla \cdot \mathbf{v})\]La aparente simplicidad de esta ecuación no debe enmascarar una enorme gama de fenómenos, entre ellos la turbulencia (ver la siguiente sección), que son descritos por ella, y la complejidad de sus soluciones incluso para algunas geometrías simples. En la mayoría de los problemas interesantes para la práctica, la única opción es utilizar métodos numéricos, pero debido a una gran cantidad de parámetros\((\rho, \eta, \zeta\), más parámetros geométricos de los cuerpos involucrados, más la distribución de fuerzas masivas\(\mathbf{f}\), más condiciones de límite), de esta manera está fuertemente plagada por la maldición de dimensionalidad que se discutió al final de la Sec. 5.8.

Veamos cómo funciona la ecuación de Navier-Stokes, en varios ejemplos simples. Como el caso más simple, consideremos el llamado flujo Couette de una capa de fluido incompresible entre dos placas anchas y horizontales (Figura 10), causado por su deslizamiento mutuo con una velocidad relativa constante\(\mathbf{v}_{0}\).

Figura 8.10. El problema más simple del flujo de fluido viscoso.

Supongamos un flujo de fluido laminar (libre de vorticismo). (Como se discutirá en el siguiente apartado, este supuesto sólo es válido dentro de ciertos límites.) Entonces podemos usar la simetría evidente del problema, para tomar, en el marco de referencia que se muestra en la Figura\(10, \mathbf{v}=\mathbf{n}_{2} v(y)\). Deje que las fuerzas a granel sean verticales\(\mathbf{f}=\mathbf{n}_{y} f\), para que no den un impulso adicional al flujo de fluido. Entonces, para el flujo estacionario\((\partial \mathbf{v} / \partial t=0)\), el\(y\) componente vertical de la ecuación de Navier-Stokes se reduce a la ecuación estática de Pascal (6), mostrando que la distribución de presión no se ve afectada por el movimiento de la placa (y del fluido). En la horizontal,\(z\) componente de la ecuación, solo un término,\(\nabla^{2} v\), sobrevive, de modo que para el único componente cartesiano de la velocidad del fluido obtenemos la ecuación de\(1 \mathrm{D}\) Laplace\[\frac{d^{2} v}{d y^{2}}=0 .\] En contraste con el fluido ideal (ver, por ejemplo, la Figura 8b), la velocidad relativa de un fluido viscoso y un pared sólida por la que fluye debe acercarse a cero en la pared, de\({ }^{32}\) manera que la Ec. (54) debe resolverse con condiciones de contorno\[v= \begin{cases}0, & \text { at } y=0, \\ v_{0}, & \text { at } y=d .\end{cases}\] Usando la solución evidente de este problema límite\(v(y)=(y / d) v_{0}\), ilustrado por flechas en la Figura 10, ahora podemos calcular la fuerza de arrastre horizontal que actúa sobre un área unitaria de cada plato. Para la placa inferior,

\[\frac{F_{z}}{A_{y}}=\left.\sigma_{z y}\right|_{y=0}=\left.\eta \frac{\partial v}{\partial y}\right|_{y=0}=\eta \frac{v_{0}}{d} .\](Para la placa superior, la derivada\(\partial v / \partial y\) tiene el mismo valor, pero el signo de\(d A_{y}\) tiene que cambiarse para reflejar la dirección de la normal exterior a la superficie sólida para que obtengamos una fuerza similar pero con el signo negativo.) El resultado conocido (56) se suele utilizar, en cursos de licenciatura en física, para una definición de la viscosidad dinámica\(\eta\), y de hecho muestra muy bien su significado. \({ }^{33}\)

Como ejemplo siguiente, un poco menos trivial, consideremos el llamado problema de Poiseuille: 34 encontrar la relación entre el gradiente de presión externa constante\(\chi \equiv-\partial \mathcal{P} / \partial z\) aplicado a lo largo de una tubería redonda con radio interno\(R\) (Figura 11), y la llamada descarga\(Q\) -definida como la masa de fluido que fluye a través de la sección transversal de la tubería en unidad de tiempo.

Figura 8.11. El problema de Poiseuille.

De nuevo asumiendo un flujo laminar, podemos involucrar la uniformidad del problema a lo largo del\(z\) eje y su simetría axial para inferir eso\(\mathbf{v}=\mathbf{n}_{z} v(\rho)\), y\(\mathcal{P}=-\chi z+f(\rho, \varphi)+\operatorname{const}\) (donde nuevamente\(\rho=\{\rho, \varphi\}\) está el radio-vector 2D en lugar de la densidad del fluido), de manera que la ecuación de Navier-Stokes (53) para un fluido incompresible ( con\(\nabla \cdot \mathbf{v}=0\)) se reduce a la siguiente ecuación 2D de Poisson:\[\eta \nabla_{2}^{2} v=-\chi\] Después de deletrear el operador\(2 \mathrm{D}\) Laplace en coordenadas polares para nuestro caso axialmentesimétrico\(\partial / \partial \varphi=0\), la ecuación (57) se convierte en una ecuación diferencial ordinaria simple,\[\eta \frac{1}{\rho} \frac{d}{d \rho}\left(\rho \frac{d v}{d \rho}\right)=-\chi,\] que tiene que resolverse en el segmento \(0 \leq \rho \leq R\), con las siguientes condiciones límite:\[\begin{aligned} &v=0, \quad \text { at } \rho=R, \\ &\frac{d v}{d \rho}=0, \quad \text { at } \rho=0 . \end{aligned}\] (Esta última condición es requerida por la simetría axial.) Una sencilla doble integración rinde: de\[v=\frac{\chi}{4 \eta}\left(R^{2}-\rho^{2}\right),\] manera que la (fácil) integración de la densidad de flujo másico sobre la sección transversal de la tubería, nos da\[Q \equiv \int_{A} \rho v d^{2} r=2 \pi \rho \frac{\chi}{4 \eta} \int_{0}^{R}\left(R^{2}-\rho^{\prime 2}\right) \rho^{\prime} d \rho^{\prime},\] inmediatamente la llamada ley Poiseuille (o “Hagen-Poiseuille”) para la descarga de fluido:\[Q=\frac{\pi}{8} \rho \frac{\chi}{\eta} R^{4}\] donde (¡perdón!) \(\rho\)es la densidad de masa otra vez. La característica más prominente (y prácticamente importante) de este resultado es la fuerte dependencia de la descarga en el radio de la tubería.

Por supuesto, no para cada forma de sección transversal, la ecuación de Poisson 2D (57) es tan fácilmente solucionable. Por ejemplo, considere una sección transversal muy simple, de forma cuadrada con lado\(a\) (Figura 12). En este caso, es natural utilizar las coordenadas cartesianas, de manera que la Ec. (57) se convierte\[\frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} v}{\partial y^{2}}=-\frac{\chi}{\eta}=\text { const, } \quad \text { for } 0 \leq x, y \leq a,\] y (para la elección de coordenadas que se muestra en la Figura 12) tiene que resolverse con condiciones de contorno\[v=0, \quad \text { at } x, y=0, a .\]

Figura 8.12. Aplicación del método de diferencia finita con una malla muy gruesa (con paso\(h=a / 2\)) al problema del flujo de fluido viscoso en una tubería de sección transversal cuadrada.

Para este problema de límites, los métodos analíticos como la separación de variables dan respuestas en forma de sumas infinitas (series),\({ }^{35}\) que en última instancia requieren computadoras de todos modos, para su trazado y comprensión. Permítanme usar este pretexto para discutir cómo explícitamente se pueden usar métodos numéricos para tales problemas, o para cualquier ecuación diferencial parcial que involucre al operador de Laplace. El más simple de ellos es el método de diferencia finita\(^{36}\) en el que la función a calcular\(f(\mathbf{r})\),, está representada por sus valores\(f\left(\mathbf{r}_{1}\right), f\left(\mathbf{r}_{2}\right), \ldots\) en puntos discretos de una cuadrícula rectangular (frecuentemente llamada malla) de la dimensionalidad correspondiente (Figura 13).

Figura 8.13. La idea del método de diferencia finita en (a) una y (b) dos dimensiones.

En la Sec. 5.7, ya hemos discutido cómo usar tal cuadrícula para aproximar la primera derivada de la función - ver Ec. (5.97). Su extensión a la segunda derivada es sencilla - ver Figura 13a:37\[\frac{\partial^{2} f}{\partial r_{j}^{2}} \equiv \frac{\partial}{\partial r_{j}}\left(\frac{\partial f}{\partial r_{j}}\right) \approx \frac{1}{h}\left(\left.\frac{\partial f}{\partial r_{j}}\right|_{\rightarrow}-\left.\frac{\partial f}{\partial r_{j}}\right|_{\leftarrow}\right) \approx \frac{1}{h}\left[\frac{f_{\rightarrow}-f}{h}-\frac{f-f_{\leftarrow}}{h}\right] \equiv \frac{f_{\rightarrow}+f_{\leftarrow}-2 f}{h^{2}} .\] El error relativo de esta aproximación es del orden de\(h^{2} \partial^{4} f / \partial r_{j}^{4}\), bastante aceptable en muchos casos. Como resultado, el lado izquierdo de la Ec. (63), tratado en una malla cuadrada con escalón\(h\) (Figura 13b), puede aproximarse con el llamado esquema de cinco puntos:\[\frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} v}{\partial y^{2}} \approx \frac{v_{\rightarrow}+v_{\leftarrow}-2 v}{h^{2}}+\frac{v_{\uparrow}+v_{\downarrow}-2 v}{h^{2}}=\frac{v_{\rightarrow}+v_{\leftarrow}+v_{\uparrow}+v_{\downarrow}-4 v}{h^{2}} .\] (La generalización al esquema de siete puntos, apropiado para problemas 3D, es sencilla.) Apliquemos este esquema a la tubería con la sección transversal cuadrada, utilizando una malla extremadamente gruesa con escalón\(h\)\(=a / 2\) (Figura 12). En este caso, la velocidad del fluido\(v\) debe ser igual a cero en las paredes, es decir, en todos los puntos del esquema de cinco puntos excepto en el punto central (en el que la velocidad es evidentemente la mayor), de manera que las ecuaciones (63) y (66) rinden 38\[\frac{0+0+0+0-4 v_{\max }}{(a / 2)^{2}} \approx-\frac{\chi}{\eta}, \quad \text { i.e. } v_{\max } \approx \frac{1}{16} \frac{\chi a^{2}}{\eta}\] Este resultado para la velocidad máxima solo es\(\sim 20 \%\) diferente del valor exacto. El uso de una malla ligeramente más fina con\(h=a / 4\), lo que da un sistema fácilmente solucionable de tres ecuaciones lineales para tres valores de velocidad diferentes (el ejercicio que queda para el lector), nos lleva dentro de solo un par de por ciento del resultado exacto. Por lo que tales métodos numéricos pueden ser prácticamente más eficientes que los “analíticos”, incluso si la única herramienta disponible es una aplicación de calculadora en su teléfono inteligente en lugar de una computadora avanzada.

Por supuesto, muchos problemas prácticos de la dinámica de fluidos sí requieren computación de alto rendimiento, especialmente en condiciones de turbulencia (ver la siguiente sección) con su compleja e irregular estructura espacio-temporal. En estas condiciones, el enfoque de diferencia finita discutido anteriormente puede llegar a ser insatisfactorio, ya que implica la misma precisión de la aproximación derivada a través de toda el área de interés. Un enfoque más potente (pero también mucho más complejo para la implementación) es el método de elementos finitos en el que la malla de punto discreto se basa en triángulos con lados irregulares, y se genera (en la mayoría de los casos, automáticamente) de acuerdo con la geometría del sistema, dando muchos más puntos de malla en la (s) ubicación (es) de los gradientes más altos de la función calculada (Figura 14), y por lo tanto una mejor precisión de cálculo para el mismo número total de puntos. Desafortunadamente, no tengo tiempo para entrar en los detalles de ese método, por lo que se remite al lector interesado a la literatura especial sobre este tema. \({ }^{39}\)

Figura 8.14. Una malla típica de elementos finitos generada automáticamente para un sistema con geometría relativamente compleja: una carcasa cilíndrica redonda dentro de otra, con ejes mutuamente perpendiculares. (Adaptado del original por I. Zureks, https://commons.wikimedia.org/w/in dex.php? curid\(=2358783\), bajo la licencia CC BY-SA 3.0.)

Antes de pasar a nuestro siguiente tema, permítanme mencionar un problema más importante que se puede resolver analíticamente usando la ecuación de Navier-Stokes: una cámara lenta de una esfera sólida de radio\(R\), con una velocidad constante\(\mathbf{v}_{0}\), a través de un fluido viscoso incompresible, o equivalentemente, un flujo lento del fluido (uniforme a grandes distancias) alrededor de una esfera inmóvil. En efecto, en el límite\(v \rightarrow 0\), el segundo término en el lado izquierdo de la Ec. (53) es despreciable (al igual que en el análisis de ondas superficiales en la Sec. 3), y la ecuación toma la forma\[-\nabla \mathcal{P}+\eta \nabla^{2} \mathbf{v}=0,\] que debe complementarse con la condición de incompresibilidad\(\nabla \cdot \mathbf{v}=0\) y las condiciones de límite\[\begin{aligned} &\mathbf{v}=0, \quad \text { at } r=R, \\ &\mathbf{v} \rightarrow \mathbf{v}_{0}, \text { at } r \rightarrow \infty . \end{aligned}\] En coordenadas esféricas, con el eje polar dirigido a lo largo del vector\(\mathbf{v}_{0}\), este problema límite tiene la simetría axial (de manera que\(\partial \mathbf{v} / \partial \varphi=0\) y\(v_{\varphi}=0\)), y permite la siguiente solución analítica:\[v_{r}=v_{0} \cos \theta\left(1-\frac{3 R}{2 r}+\frac{R^{3}}{2 r^{2}}\right), \quad v_{\theta}=-v_{0} \sin \theta\left(1-\frac{3 R}{4 r}-\frac{R^{3}}{4 r^{2}}\right) .\] Calcular la distribución de presión a partir de la Ec. (68), e integrarla sobre la superficie de la esfera, ahora es sencillo obtener la famosa fórmula de Stokes para la fuerza de arrastre que actúa sobre la esfera:\[F=6 \pi \eta R v_{0} .\] Históricamente, esta fórmula ha jugado un papel importante en el primer cálculo preciso (mejor que\(1 \%\)) de la carga\(e\) eléctrica fundamental de R. Millikan y H. Fletcher de sus famosos experimentos de gotas de petróleo en 1909-1913.

Para lo que sigue en la siguiente sección, es conveniente refundir este resultado en la siguiente forma:\[C_{\mathrm{d}}=\frac{24}{R e},\] donde\(C_{\mathrm{d}}\) se define el coeficiente de arrastre como\[C_{\mathrm{d}} \equiv \frac{F}{\rho v_{0}^{2} A / 2},\]\(A \equiv \pi R^{2}\) siendo la sección transversal de la esfera “visto por el flujo de fluido incidente”, y\(\operatorname{Re}\) es el llamado número de Reynolds . \({ }^{40}\)En el caso general, el número se define como\[\operatorname{Re} \equiv \frac{\rho v l}{\eta},\] dónde\(l\) está la escala de tamaño lineal del problema, y\(v\) es su escala de velocidad. (En el caso particular de la Ec. (72) para la esfera,\(l\) se identifica con el diámetro de la esfera\(D=2 R\), y\(v\) con\(v_{0}\)). El sentido físico de estas dos definiciones se discutirá en la siguiente sección.

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\({ }^{29}\)Probablemente el efecto más importante que echamos de menos al descuidar\(\zeta\) es la atenuación de las ondas acústicas (longitudinales), en las que la segunda viscosidad hace una contribución importante (y en algunos casos, la principal), cuyo análisis (bastante sencillo) se deja para el ejercicio del lector.

\({ }^{30}\)En realidad, a temperaturas aún más bajas (para\(\mathrm{He} 4\), at\(T<T_{\lambda} \approx 2.17 \mathrm{~K}\)), el helio se convierte en un superfluido, es decir, pierde su viscosidad por completo, como resultado de la condensación de Bose-Einstein - véase, e.g., SM Sec. 3.4.

\({ }^{31}\)El nombre de Claude-Louis Navier (1785-1836) que había sugerido la ecuación, y Sir George Gabriel Stokes (1819-1903) que ha demostrado su relevancia resolviendo la ecuación para varias situaciones clave.

\({ }^{32}\)Esto es esencialmente un hecho experimental adicional, pero puede entenderse de la siguiente manera. El componente tangencial de la velocidad debe ser continuo en la interfaz entre dos fluidos viscosos, para evitar tensiones infinitas ver Ec. (52), y el sólido puede ser considerado como un caso último de fluido, con viscosidad infinita.

\({ }^{33}\)La noción misma de viscosidad\(\eta\) fue introducida (por nadie más que el mismo Sir Isaac Newton) a través de una fórmula similar a la Ec. (56), de manera que cualquier efecto que resulte en una fuerza de arrastre proporcional a la velocidad se denomina frecuentemente la viscosidad newtoniana.

\({ }^{34}\)Fue resuelto por G. Stokes en 1845 para explicar los resultados experimentales obtenidos por Gotthilf Hagen en 1839 y (independientemente) por Jean Poiseuille en 1840-41.

\({ }^{35}\)Véase, por ejemplo, EM Sec. \(2.5\).

\({ }^{36}\)Para más detalles ver, por ejemplo, R. Leveque, Métodos de Diferencia Finita para Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y Parciales, SIAM,\(2007 .\)

\({ }^{37}\)Como recordatorio, al inicio de la Sec. \(6.4\)ya hemos discutido la transición recíproca -de una suma similar a la segunda derivada en el límite continuo\((h \rightarrow 0)\).

\({ }^{38}\)Tenga en cuenta que el valor (67) de\(v_{\max }\) es exactamente el mismo que el dado por la fórmula analítica (60) para la sección transversal redonda con el radio\(R=a / 2\). Esto no es una coincidencia ocasional. La distribución de velocidad dada por (60) es una función cuadrática de ambos\(x\) y\(y\). Para tales funciones, con todas las derivadas superiores a\(\partial^{2} f / \partial r_{j}^{2}\) igual a cero, la ecuación (66) es más exacta que aproximada.

\({ }^{39}\)Puedo recomendar, por ejemplo, C. Johnson, Solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales por el método de elementos finitos, Dover, 2009, o T. Hughes, El método del elemento finito, Dover,\(2000 .\)

\({ }^{40}\)Esta noción fue introducida en 1851 por el mismo G. Stokes pero finalmente nombrada en honor a O. Reynolds quien la popularizó tres décadas después.