9.2: Caos en Sistemas Dinámicos

Pasando a la discusión del caos en los sistemas dinámicos, es más natural, con nuestros antecedentes, ilustrar esta discusión no con las ecuaciones de Lorenz (1), sino con el sistema de ecuaciones que describen un péndulo disipativo impulsado por una fuerza externa sinusoidal, que fue discutida repetidamente en el Capítulo 5. Introduciendo dos nuevas variables, el momento\(p \equiv(d q / d t) / \omega_{0}\) normalizado y la fase completa de la fuerza externa\(\psi \equiv \omega t\), podemos reescribir la Eq. (5.42) describiendo el péndulo, en una forma similar a la Ec. (1), es decir, como un sistema de tres ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden:\[\begin{aligned} &\dot{q}=\omega_{0} p, \\ &\dot{p}=-\omega_{0} \sin q-2 \delta p+\left(f_{0} / \omega_{0}\right) \cos \psi, \\ &\dot{\psi}=\omega . \end{aligned}\] Figura 4 varios resultados de un solución numérica de la Ec. (10). \({ }^{10}\)En todos los casos, los parámetros\(\delta, \omega_{0}\), y\(f_{0}\) son fijos, mientras que la frecuencia externa\(\omega\) se cambia gradualmente. Para el caso que se muestra en el panel superior, el sistema aún tiende a una solución periódica estable, con contenidos muy bajos de armónicos superiores. Si la frecuencia de la fuerza externa se reduce en un poco por ciento, el\(3^{\text {rd }}\) subarmónico puede estar excitado. (Este efecto ya se discutió en la Sec. \(5.8\)- véase, por ejemplo, la Figura 5.15.) El siguiente panel muestra que solo una pequeña reducción adicional de la frecuencia\(\omega\) conduce a una nueva triplicación del período, es decir, la generación de una forma de onda compleja con el\(9^{\text {th }}\) subarmónico. Finalmente (ver el panel inferior de la Figura 4), incluso un cambio menor adicional de\(\omega\) derivaciones a oscilaciones sin ningún período visible, por ejemplo, al caos.

Para rastrear esta transición, una inspección directa de las formas de onda de oscilación no\(q(t)\) es muy conveniente, y las trayectorias en el plano de fase\([q, p]\) también se vuelven desordenadas si se trazan durante muchos períodos de la frecuencia externa. En situaciones como esta, el plano Poincaré (o “estroboscopico”), ya discutido en la Sec. 5.6, es mucho más útil. Como recordatorio, esto es esencialmente solo el plano de fase\([q, p]\), pero con los puntos resaltados solo una vez al período, por ejemplo, en\(\psi=2 \pi n\), con\(n=1,2, \ldots\) En este plano, las oscilaciones periódicas de frecuencia\(\omega\) se representan solo como un punto fijo - ver, por ejemplo, el panel superior en la columna derecha de Figura 4. La generación\(3^{\text {rd }}\) subarmónica, mostrada en el siguiente panel, significa que el período de oscilación se triplicó y se refleja en el plano Poincaré como división del punto fijo en tres. Es evidente que esta transición es similar a la bifurcación de duplicación de períodos en el mapa logístico, además del hecho (ya discutido en la Sec. 5.8) que en sistemas con una no linealidad antisimétrica, como el péndulo (10), el\(3^{\text {rd }}\) subarmónico es más fácil de excitar. A partir de este punto, la generación\(9^{\text {th }}\) armónica (mostrada en el\(3^{\text {rd }}\) panel de la Figura 4), es decir, una división más de los puntos en el plano Poincare, puede entenderse como un paso más en la ruta al caos similar a Feigenbaum - ver el panel inferior de esa figura.

Figura 9.4. Oscilaciones en un péndulo con amortiguación débil\(\delta / \omega_{0}=0.1\), impulsadas por una fuerza externa sinusoidal con una amplitud efectiva fija\(f_{0} / \omega_{0}{ }^{2}=1\), y varios valores cercanos de la frecuencia\(\omega\) (enumerados en los paneles). Columna del panel izquierdo: las formas de onda de oscilación\(q(t)\) registradas después de ciertos intervalos transitorios iniciales. Columna derecha: representaciones de los mismos procesos en el plano Poincaré de las variables\([q, p]\), con el\(q\) eje girado verticalmente, para mayor comodidad de comparación con los paneles izquierdos. Entonces, la transición al caos en los sistemas dinámicos puede ser al menos cualitativamente similar a que en los mapas 1D, con una ley similar a la Ec. (6) para los valores críticos de algún parámetro del sistema (en la Figura 4, frecuencia\(\omega\)), aunque con un valor específico del sistema del coeficiente\(\delta\). Además, podemos considerar las dos primeras ecuaciones diferenciales del sistema (10) como un mapa 2D que relaciona el vector\(\left\{q_{n+1}, p_{n+1}\right\}\) de la coordenada y el momento, medido en\(\psi=2 \pi(n+1)\), con el valor previo\(\left\{q_{n}, p_{n}\right\}\) de ese vector, alcanzado en\(\psi=2 \pi n\).

Desafortunadamente, esta similitud también implica que el caos determinista en los sistemas dinámicos es al menos tan complejo, y es tan poco entendido, como en los mapas. Por ejemplo, la Figura 5 muestra (una parte de) el diagrama de fases del péndulo accionado externamente, con la barra roja que marca la ruta al caos trazada en la Figura 4, y los estilos de sombreado/sombreado marcando diferentes regímenes de oscilación. Se puede ver que el patrón es al menos tan complejo como el mostrado en las figuras 2 y 3, y, además de algunas características,\({ }^{11}\) es igualmente impredecible a partir de la forma de la ecuación.

 

Figura 9.5. El diagrama de fases de un péndulo accionado externamente con amortiguación débil\(\left(\delta / \omega_{0}=0.1\right)\). Las regiones de oscilaciones con el periodo básico no están sombreadas; la notación para otras regiones es la siguiente. Apuntado: generación subarmónica; rayado: caos; eclosionado: ya sea el caos o el período básico (dependiendo de las condiciones iniciales); rayado punteado: ya sea el período básico o subarmónicos. Las líneas continuas muestran los límites de las regiones de régimen único, mientras que las líneas discontinuas son los límites de las regiones donde son posibles varios tipos de movimiento. (Figura cortesía V. Kornev.)

¿Hay algún resultado general valioso sobre el caos determinista en los sistemas dinámicos? El resultado más importante (aunque casi evidente) es que este fenómeno es imposible en cualquier sistema descrito por una o dos ecuaciones diferenciales de primer orden con lados derecho independientes del tiempo. En efecto, comencemos con una sola ecuación\[\dot{q}=f(q),\] donde\(f(q)\) está cualquier función de un solo valor. Esta ecuación puede integrarse directamente para dar\[t=\int^{q} \frac{d q^{\prime}}{f\left(q^{\prime}\right)}+\text { const },\] muestra que la relación entre\(q\) y\(t\) es única y por lo tanto no deja lugar para el caos.

A continuación, exploremos un sistema de dos ecuaciones de este tipo:\[\begin{aligned} &\dot{q}_{1}=f_{1}\left(q_{1}, q_{2}\right), \\ &\dot{q}_{2}=f_{2}\left(q_{1}, q_{2}\right) . \end{aligned}\] Consideremos su plano de fase mostrado esquemáticamente en la Figura 6. En un sistema “habitual”, las trayectorias se aproximan a algún punto fijo (Figura 6a) que describe el equilibrio estático, o bien a un ciclo límite (Figura 6b) que describe oscilaciones periódicas. (Ambas nociones están unidas por el término atractor porque “atraen” trayectorias lanzadas desde diversas condiciones iniciales). Por otro lado, las trayectorias de plano de fase de un sistema caótico de ecuaciones que describen variables físicas (que no pueden ser infinitas), deben limitarse a un área de plano de fase limitada, y simultáneamente no pueden comenzar a repetirse entre sí. (Esta topología se llama frecuentemente el atractor extraño). Para eso, las trayectorias 2D necesitan cruzarse - ver, por ejemplo, el punto A en la Figura\(6 \mathrm{c}\).

Figura 9.6. Atractores en sistemas dinámicos: (a) un punto fijo, (b) un ciclo límite, y (c) un atractor extraño.

Sin embargo, en el caso descrito por las ecuaciones (13), tal cruce es claramente imposible, porque según estas ecuaciones, la tangente de una trayectoria de plano de fase es una función única de las coordenadas\(\left\{q_{1}, q_{2}\right\}\):\[\frac{d q_{1}}{d q_{2}}=\frac{f_{1}\left(q_{1}, q_{2}\right)}{f_{2}\left(q_{1}, q_{2}\right)} .\] Así, en este caso el caos determinista es imposible. \({ }^{12}\)Sin embargo, se vuelve fácilmente posible si los lados derechos de un sistema similar a la Ec. (13) dependen de otras variables del sistema o del tiempo. Por ejemplo, si consideramos las dos primeras ecuaciones diferenciales del sistema (10), en el caso de\(f_{0}=0\) que tengan la estructura del sistema (13) y de ahí que el caos sea imposible, incluso\(\delta<0\) cuando (como sabemos por la Sec. 5.4) el sistema permite la autoexcitación de oscilaciones -conduciendo a un límite- atractor de ciclo. No obstante\(f_{0} \neq 0\), si, este argumento ya no funciona, y (como ya hemos visto) el sistema puede tener un atractor extraño -que es, para los sistemas dinámicos, sinónimo del caos determinista.

Así, el caos solo es posible en sistemas dinámicos autónomos descritos por tres o más ecuaciones diferenciales de primer orden. \({ }^{13}\)

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\({ }^{10}\)En la simulación real, se ha agregado un término\(\varepsilon q\) pequeño\(\varepsilon<1\), con, al lado izquierdo de esta ecuación. Este término marca ligeramente la tendencia de la solución a extenderse a lo largo del\(q\) eje, y facilita la presentación de los resultados, sin afectar demasiado la dinámica del sistema.

\({ }^{11}\)En algunos casos, es posible predecir una región paramétrica donde el caos no puede ocurrir, debido a la falta de cualquier mecanismo de inestabilidad-amplificación. Desafortunadamente, típicamente los límites analíticos predichos de una región de este tipo forman una envoltura bastante suelta de las regiones caóticas reales (simuladas numéricamente).

\({ }^{12}\)Una formulación matemáticamente estricta de esta afirmación se llama teorema de Poincare-Bendixon, que fue probado por Ivar Bendixon ya en\(1901 .\)

\({ }^{13}\)Dado que un sistema dinámico típico con un grado de libertad es descrito por dos de tales ecuaciones, el número de ecuaciones de primer orden que describen un sistema dinámico a veces se denomina el número de sus medios grados de libertad. Esta noción es muy útil y popular en la mecánica estadística - ver, e.g., SM Sec. \(2.2\)y en.