10.1: Ecuaciones de Hamilton

A lo largo de este curso, hemos visto cómo la mecánica analítica, en su forma lagrangiana, es invaluable para resolver diversos problemas particulares de la mecánica clásica. Ahora discutamos varias formulaciones alternativas\({ }^{1}\) que pueden no ser mucho más útiles para este propósito, sino que arrojan luz adicional sobre posibles extensiones de la mecánica clásica, lo más importante a la mecánica cuántica.

Como ya se discutió en la Sec. 2.3, la derivada parcial que\(p_{j} \equiv \partial L / \partial \dot{q}_{j}\) participa en la ecuación de Lagrange (2.19),\[\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}-\frac{\partial L}{\partial q_{j}}=0\] puede considerarse como el impulso generalizado correspondiente a la coordenada generalizada\(q_{i}\), y el conjunto completo de estos momentos puede ser utilizado para definir el Función hamiltoniana (2.32):\[H \equiv \sum_{j} p_{j} \dot{q}_{j}-L .\] Ahora reescribamos el diferencial completo de esta función\(^{2}\) en la siguiente forma:\[\begin{aligned} d H &=d\left(\sum_{j} p_{j} \dot{q}_{j}-L\right)=\sum_{j}\left[d\left(p_{j}\right) \dot{q}_{j}+p_{j} d\left(\dot{q}_{j}\right)\right]-d L \\ &=\sum_{j}\left[d\left(p_{j}\right) \dot{q}_{j}+p_{j} d\left(\dot{q}_{j}\right)\right]-\left[\frac{\partial L}{\partial t} d t+\sum_{j}\left(\frac{\partial L}{\partial q_{j}} d\left(q_{j}\right)+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}} d\left(\dot{q}_{j}\right)\right)\right] . \end{aligned}\] De acuerdo con la definición del impulso generalizado, los segundos términos de cada suma sobre\(j\) en la última expresión se cancelan entre sí , mientras que según la ecuación de Lagrange (1), la derivada\(\partial L / \partial q_{j}\) es igual a\(\dot{p}_{j}\), por\[d H=-\frac{\partial L}{\partial t} d t+\sum_{j}\left(\dot{q}_{j} d p_{j}-\dot{p}_{j} d q_{j}\right)\] lo que hasta ahora, esto es sólo una identidad universal. Ahora viene el truco principal del enfoque de Hamilton: consideremos\(H\) como una función de los siguientes argumentos independientes: el tiempo\(t\), las coordenadas generalizadas\(q_{j}\), y el momento generalizado,\(p_{j}\) más que las velocidades generalizadas\(\dot{q}_{j}\). Con este compromiso, la “regla de la cadena” general de diferenciación de una función de varios argumentos da\[d H=\frac{\partial H}{\partial t} d t+\sum_{j}\left(\frac{\partial H}{\partial q_{j}} d q_{j}+\frac{\partial H}{\partial p_{j}} d p_{j}\right)\] dónde\(d t, d q_{j}\), y\(d p_{j}\) son diferenciales independientes. Dado que la Ec. (5) debe ser válida para cualquier elección de estos diferenciales de argumento, debe sostenerse en particular si corresponden a la ley real del movimiento, para lo cual la Ec. (4) también es válida. La comparación de las ecuaciones (4) y (5) nos da tres relaciones:\[\begin{gathered} \frac{\partial H}{\partial t}=-\frac{\partial L}{\partial t} . \\ \dot{q}_{j}=\frac{\partial H}{\partial p_{j}}, \quad p_{j}=-\frac{\partial H}{\partial q_{j}} . \end{gathered}\] Comparando la primera de ellas con la ecuación (2.35), vemos ese\[\frac{d H}{d t}=\frac{\partial H}{\partial t},\] significado que la función\(H\left(t, q_{j}, p_{j}\right)\) puede cambiar en el tiempo solo a través de su dependencia explícita de\(t\). Dos ecuaciones (7) son aún más sustanciales: siempre que dicha función\(H\left(t, q_{j}, p_{j}\right)\) haya sido calculada, nos dan dos ecuaciones diferenciales de primer orden (llamadas ecuaciones de Hamilton) para la evolución temporal de la coordenada generalizada y el impulso generalizado de cada grado de libertad del sistema. \({ }^{3}\)

Echemos un vistazo a estas ecuaciones para el caso más simple de un sistema con un grado de libertad, con la función lagrangiana (3.3):\[L=\frac{m_{\mathrm{ef}}}{2} \dot{q}^{2}-U_{\mathrm{ef}}(q, t)\] En este caso\(p \equiv \partial L / \partial \dot{q}=m_{\text {ef }} \dot{q}\),, y\(H \equiv p \dot{q}-L=m_{\text {ef }} \dot{q}^{2} / 2+U_{\text {ef }}(q, t) .\) Para honrar nuestro nuevo compromiso, necesitamos expresar la función hamiltoniana explícitamente vía\(t, q\), y \(p\)(en lugar de\(\dot{q}\)). De la expresión anterior para\(p\), inmediatamente tenemos\(\dot{q}=p / m_{\text {ef }}\); tapando esta expresión de nuevo a la Eq. (9), obtenemos\[H=\frac{p^{2}}{2 m_{\mathrm{ef}}}+U_{\mathrm{ef}}(q, t) .\] Ahora podemos deletrear Eqs. (7) para este caso particular:\[\begin{gathered} \dot{q} \equiv \frac{\partial H}{\partial p}=\frac{p}{m_{\mathrm{ef}}}, \\ \dot{p} \equiv-\frac{\partial H}{\partial q}=-\frac{\partial U_{\mathrm{ef}}}{\partial q} . \end{gathered}\]  Mientras que la primera de estas ecuaciones simplemente repite la definición de lo generalizado momentum correspondiente a la coordenada\(q\), el segundo da la ecuación de cambio de momentum. Diferenciando la Ec. (11) a lo largo del tiempo, y tapando la Ec. (12) en el resultado, obtenemos:\[\ddot{q}=\frac{\dot{p}}{m_{\mathrm{ef}}}=-\frac{1}{m_{\mathrm{ef}}} \frac{\partial U_{\mathrm{ef}}}{\partial q} .\] Entonces, hemos vuelto a la misma ecuación (3.4) que se había derivado del enfoque lagrangiano. \({ }^{4}\)

Así, el formalismo hamiltoniano no da mucha novedad para la solución de este problema -y de hecho la mayoría de los problemas de la mecánica clásica-. (Es por ello que su discusión se había pospuesto hasta el final mismo de este curso.) Además, dado que la función hamiltoniana\(H\left(t, q_{j}, p_{j}\right)\) no incluye explícitamente las velocidades generalizadas, la introducción fenomenológica de la disipación en este enfoque es menos sencilla que la de las ecuaciones lagrangianas, cuya forma precursora (2.17) también es válida para las fuerzas disipativas. Sin embargo, las ecuaciones de Hamilton (7), que tratan las coordenadas generalizadas y los momentos de una manera manifiestamente simétrica, son heurísticamente fructíferas, además de ser muy atractivas estéticamente. Esto es especialmente cierto en los casos en\(H\) que estos argumentos participan de manera similar. Por ejemplo, en el caso muy importante de un oscilador lineal (“armónico”) libre de disipación, para lo cual\(U_{\text {ef }}=\kappa_{\text {ef }} q^{2} / 2\), la ecuación (10) da la famosa forma\[H=\frac{p^{2}}{2 m_{\mathrm{ef}}}+\frac{\kappa_{\mathrm{ef}} x^{2}}{2} \equiv \frac{p^{2}}{2 m_{\mathrm{ef}}}+\frac{m_{\mathrm{ef}} \omega_{0}^{2} x^{2}}{2}, \quad \text { where } \omega_{0}^{2} \equiv \frac{\kappa_{\mathrm{ef}}}{m_{\mathrm{ef}}} .\] simétrica Las ecuaciones de Hamilton (7) para este sistema preservan esa simetría, especialmente evidente si introducimos el impulso normalizado \(p \equiv p / m_{\text {ef }} \omega_{0}\)(ya utilizado en Secs. \(5.6\)y 9.2):\[\frac{d q}{d t}=\omega_{0} p, \quad \frac{d p}{d t}=-\omega_{0} q .\] Más prácticamente, el enfoque de Hamilton da herramientas adicionales para la búsqueda de las integrales del movimiento. Para ver eso, consideremos la derivada a tiempo completo de una función arbitraria\(f\left(t, q_{j}, p_{j}\right)\):\[\frac{d f}{d t}=\frac{\partial f}{\partial t}+\sum_{j}\left(\frac{\partial f}{\partial q_{j}} \dot{q}_{j}+\frac{\partial f}{\partial p_{j}} \dot{p}_{j}\right) .\] Plugging in\(\dot{q}_{j}\) y\(\dot{p}_{j}\) a partir de las ecuaciones de Hamilton (7), obtenemos\[\frac{d f}{d t}=\frac{\partial f}{\partial t}+\sum_{j}\left(\frac{\partial H}{\partial p_{j}} \frac{\partial f}{\partial q_{j}}-\frac{\partial H}{\partial q_{j}} \frac{\partial f}{\partial p_{j}}\right) \equiv \frac{\partial f}{\partial t}+\{H, f\} .\] El último término en el lado derecho de esta expresión es el llamado Poisson corchete,\({ }^{5}\) y se define, para dos funciones arbitrarias\(f\left(t, q_{j}, p_{j}\right)\) y\(g\left(t, q_{j}, p_{j}\right)\), como A\[\{g, f\} \equiv \sum_{j}\left(\frac{\partial g}{\partial p_{j}} \frac{\partial f}{\partial q_{j}}-\frac{\partial f}{\partial p_{j}} \frac{\partial g}{\partial q_{j}}\right)\] partir de esta definición, se puede verificar fácilmente que además de las relaciones evidentes\(\{f, f\}=0\) y\(\{f, g\}=-\{g, f\}\), los corchetes de Poisson obedecen la siguiente identidad jacobi importante: \[\{f,\{g, h\}\}+\{g,\{h, f\}\}+\{h,\{f, g\}\}=0 .\]Ahora usemos estas relaciones para una búsqueda de integrales de movimiento. Primero, la Ec. (17) muestra que si una función\(f\) no depende del tiempo explícitamente, y\[\{H, f\}=0,\] luego\(d f f d t=0\), es decir, esa función es una integral del movimiento. Además, resulta que si ya conocemos dos integrales de movimiento, digamos\(f\) y, entonces la siguiente función\(g\), también\[F \equiv\{f, g\}\] es una integral del movimiento -el llamado teorema de Poisson. Para probarlo, podemos usar la identidad jacobi (19) con\(h=H\). A continuación, usando la Ec. (17) para expresar los corchetes de Poisson\(\{g, H\},\{H, g\}\)\(\{H,\{f\), y,\(g\}\}=\{H, F\}\) a través de las derivadas de tiempo completo y parcial de las funciones\(f, g\)\(F\), y, obtenemos de\[\left\{f, \frac{\partial g}{\partial t}-\frac{d g}{d t}\right\}+\left\{g, \frac{d f}{d t}-\frac{\partial f}{\partial t}\right\}+\frac{d F}{d t}-\frac{\partial F}{\partial t}=0\] manera que si\(f\) y\(g\) son de hecho integrales de movimiento, es decir\(d f / d t=d g / d t=0\), luego\[\frac{d F}{d t}=\frac{\partial F}{\partial t}+\left\{g, \frac{\partial f}{\partial t}\right\}-\left\{f, \frac{\partial g}{\partial t}\right\}=\frac{\partial F}{\partial t}-\left[\left\{\frac{\partial f}{\partial t}, g\right\}+\left\{f, \frac{\partial g}{\partial t}\right\}\right] \text {. }\] Tapando la Eq. (21) en el primer término del lado derecho de esta ecuación, y diferenciándolo por partes, obtenemos,\(F\) es decir\(d F / d t=0\), es de hecho también una integral del movimiento.

Por último, un papel más importante del formalismo Hamilton es que permite trazar la estrecha conexión formal entre la mecánica clásica y la cuántica. En efecto, usando la Ec. (18) para calcular los corchetes de Poisson de las coordenadas generalizadas y momenta, obtenemos fácilmente\[\left\{q_{j}, q_{j^{\prime}}\right\}=0, \quad\left\{p_{j}, p_{j^{\prime}}\right\}=0, \quad\left\{q_{j}, p_{j^{\prime}}\right\}=-\delta_{j j^{\prime}} .\] En mecánica cuántica, los operadores de estas variables (“observables”) obedecen relaciones de conmutación\(^{6}\)\[\left[\hat{q}_{j}, \hat{q}_{j^{\prime}}\right]=0, \quad\left[\hat{p}_{j}, \hat{p}_{j^{\prime}}\right]=0, \quad\left[\hat{q}_{j}, \hat{p}_{j^{\prime}}\right]=i \hbar \delta_{j j^{\prime}},\] donde la definición del conmutador, \([\hat{g}, \hat{f}] \equiv \hat{g} \hat{f}-\hat{f} \hat{g}\), es en cierta medida\(^{7}\) similar a la (18) del paréntesis de Poisson. Vemos que las relaciones clásicas (24) son similares a las relaciones cuántico-mecánicas\((25)\) si se ha realizado el siguiente paralelo:

\[\{g, f\} \leftrightarrow \frac{i}{\hbar}[\hat{g}, \hat{f}] .\]Esta analogía se extiende mucho más allá de las ecuaciones (24) - (25). Por ejemplo, al hacer el reemplazo (26) en la Ec. (17), obtenemos\[\frac{d \hat{f}}{d t}=\frac{\partial \hat{f}}{\partial t}+\frac{i}{\hbar}[\hat{H}, \hat{f}], \quad \text { i.e. } i \hbar \frac{d \hat{f}}{d t}=i \hbar \frac{\partial \hat{f}}{\partial t}+[\hat{f}, \hat{H}]\] cuál es la ecuación correcta de la evolución del operador en el cuadro Heisenberg de la mecánica cuántica. \({ }^{8}\)El paralelo (26) puede dar pistas importantes en la búsqueda del operador cuántico-mecánico adecuado de un observable dado, lo cual no siempre es elemental.

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\({ }^{1}\)Debido no sólo a William Rowan Hamilton (1805-1865), sino también a Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851).

\({ }^{2}\)En realidad, este diferencial ya estaba explicado (pero parcial e implícitamente) en la Sec. \(2.3\)- ver Eqs. (2.33) - (2.35).

\({ }^{3}\)Por supuesto, el lado derecho de cada ecuación (7) puede incluir coordenadas y momentos de otros grados de libertad también, de manera que las ecuaciones de movimiento para diferentes generalmente\(j\) se acoplan.

\({ }^{4}\)Se anima mucho al lector a realizar una comprobación similar por algunos problemas más, por ejemplo los enumerados al final del capítulo, para tener una mejor idea de cómo funciona el formalismo hamiltoniano.

\({ }^{5}\)Nombrado así por Siméon Denis Poisson (1781-1840), de la ecuación de Poisson y la fama de distribución estadística de Poisson.

\({ }^{6}\)Véase, por ejemplo, QM Sec. \(2.1\)

\({ }^{7}\)Existe, por supuesto, una diferencia conceptual entre los productos “habituales” de las derivadas de funciones que participan en los paréntesis de Poisson, y el operador “productos” (es decir, su acción secuencial sobre un vector de estado) que forma el conmutador.

\({ }^{8}\)Véase, por ejemplo, QM Sec. \(4.6 .\)