10.2: Invarianza adiabática

Una aplicación más del formalismo hamiltoniano en la mecánica clásica es la solución del siguiente problema. \({ }^{9}\)Anteriormente en el curso, ya estudiamos algunos efectos de variación temporal de parámetros de un solo oscilador (Sec. 5.5) y osciladores acoplados (Sec. 6.5). Sin embargo, esas discusiones se centraron en el caso cuando la velocidad de variación del parámetro es comparable con la propia frecuencia de oscilación (o frecuencias) del sistema. Otro caso prácticamente importante es cuando el parámetro de algún sistema (llamémoslo\(\lambda\)) se cambia mucho más lentamente (adiabáticamente\(^{10}\)),\[\left|\frac{\dot{\lambda}}{\lambda}\right|<<\frac{1}{T},\] donde\(\tau\) es un periodo típico de oscilaciones en el sistema. Consideremos un sistema 1D cuyo hamiltoniano\(H(q, p, \lambda)\) depende del tiempo solo a través de una evolución tan lenta de dicho parámetro\(\lambda=\lambda(t)\), y cuya energía inicial restringe el movimiento del sistema a un intervalo de coordenadas finito; véase, por ejemplo, la Figura 3.2c.

Entonces, como sabemos a partir de la Sec. 3.3, si el parámetro\(\lambda\) es constante, el sistema realiza un movimiento periódico (aunque no necesariamente sinusoidal) de ida y vuelta al\(q\) eje, o, en un lenguaje diferente, a lo largo de una trayectoria cerrada en el plano de fase\([q, p]\) - ver Figura\(1 .{ }^{11}\) Según la Ec. ( 8), en este caso\(H\) es constante a lo largo de la trayectoria. (Para distinguir este valor particular de la función hamiltoniana como tal, lo llamaré\(E\), lo que implica que esta constante coincide con la energía mecánica completa\(E-\) como lo hace para el hamiltoniano (10), aunque esta suposición no es necesaria para el cálculo que se hace a continuación.)

El período de oscilación\(T\) puede calcularse como una integral de contorno a lo largo de esta trayectoria cerrada:\[\tau \equiv \int_{0}^{\tau} d t=\oint \frac{d t}{d q} d q \equiv \oint \frac{1}{\dot{q}} d q .\] Usando la primera de las ecuaciones de Hamilton (7), podemos representar esta integral como\[\tau=\oint \frac{1}{\partial H / \partial p} d q .\] En cada punto dado\(q, H=E\) es una función de\(p\) solo, de modo que puede voltear la derivada parcial en el denominador al igual que la derivada completa, y reescribir la Ec. (30) como\[\tau=\oint \frac{\partial p}{\partial E} d q \text {. }\] Para el hamiltoniano particular (10), esta relación se reduce inmediatamente a la Ec. (3.27), ahora en forma de integral de contorno:\[\tau=\left(\frac{m_{\mathrm{ef}}}{2}\right)^{1 / 2} \oint \frac{1}{\left[E-U_{\mathrm{ef}}(q)\right]^{1 / 2}} d q\]

Fig. 10.1. Representación en el plano de fase de oscilaciones periódicas de un sistema hamiltoniano 1D, para dos valores de energía (esquemáticamente).

Ingenuamente, puede parecer que estas fórmulas también se pueden usar para encontrar el cambio del período de movimiento cuando el parámetro\(\lambda\) se está cambiando adiabáticamente, por ejemplo, enchufando las funciones dadas\(m_{\mathrm{ef}}(\lambda)\) y\(U_{\mathrm{ef}}(q, \lambda)\) en la Ec. (32). No obstante, no hay garantía de que la energía\(E\) en esa integral se mantenga constante a medida que cambie el parámetro, y de hecho veremos a continuación que no es necesariamente así. Aún más interesante, en el caso más importante del oscilador armónico\(\left(U_{\mathrm{ef}}=\kappa_{\mathrm{ef}} q^{2} / 2\right)\), cuyo período de oscilación\(\tau\) no depende de\(E\) (ver Ec. (3.29) y su discusión), su variación en el límite adiabático (28) puede predecirse fácilmente:\(\tau(\lambda)=2 \pi / \omega_{0}(\lambda)=2 \pi\left[m_{\mathrm{ef}}(\lambda) / \kappa_{\mathrm{ef}}(\lambda)\right]^{1 / 2}\), pero la dependencia del la energía de oscilación\(E\) (y por lo tanto la amplitud de oscilación) en no\(\lambda\) es inmediatamente obvia.

Para abordar este tema, utilicemos la Ec. (8) (con\(E=H\)) para representar la tasa del cambio de energía con\(\lambda(t)\), es decir, en el tiempo, como\[\frac{d E}{d t}=\frac{\partial H}{\partial t}=\frac{\partial H}{\partial \lambda} \frac{d \lambda}{d t} .\] Dado que estamos interesados en una evolución temporal muy lenta (adiabática) de la energía, podemos promediar la Ec. (33) sobre oscilaciones rápidas en el sistema, por ejemplo durante un periodo de oscilación\(T\), tratándose\(d \lambda / d t\) como una constante durante este promedio. (Este es el punto más crítico de esta argumentación, porque a cualquier tasa de cambio de parámetro que no se desvanezca, las oscilaciones son, estrictamente hablando, no periódicas. \({ }^{12}\)) El promedio de rendimientos\[\overline{\frac{d E}{d t}}=\frac{d \lambda}{d t} \frac{\overline{\partial H}}{\partial \lambda} \equiv \frac{d \lambda}{d t} \frac{1}{\tau} \int_{0}^{\tau} \frac{\partial H}{\partial \lambda} d t .\] Transformando este tiempo integral al contorno uno, tal como lo hicimos en la transición de la Ec. (29) a la Eq. (30), y luego usando la Eq. (31) para\(\tau\), obtenemos\[\frac{\overline{d E}}{d t}=\frac{d \lambda}{d t} \frac{\oint \frac{\partial H / \partial \lambda}{\partial H / \partial p} d q}{\oint \frac{\partial p}{\partial E} d q}\] En cada punto\(q\) del contorno,\(H\) es un función de no sólo\(\lambda\), sino también de\(p\), que también puede ser\(\lambda\) dependiente, de manera que si\(E\) es fija, la diferenciación parcial de la relación\(E=H\) sobre\(\lambda\) rendimientos\[\frac{\partial H}{\partial \lambda}+\frac{\partial H}{\partial p} \frac{\partial p}{\partial \lambda}=0, \text { i.e. } \frac{\partial H / \partial \lambda}{\partial H / \partial p}=-\frac{\partial p}{\partial \lambda} .\] Tapando la última relación a la Eq. (35), obtenemos \[\frac{\overline{d E}}{d t}=-\frac{d \lambda}{d t} \frac{\oint \frac{\partial p}{\partial \lambda} d q}{\oint \frac{\partial p}{\partial E} d q}\]Dado que el lado izquierdo de la Ec. (37) y la derivada\(d \lambda / d t\) no dependen de\(q\), podemos moverlas a las integrales\(q\) como constantes, y reescribir la Eq. (37) como\[\oint\left(\frac{\partial p}{\partial E} \frac{\overline{d E}}{d t}+\frac{\partial p}{\partial \lambda} \frac{d \lambda}{d t}\right) d q=0 .\] Ahora consideremos la siguiente integral sobre el mismo contorno de fase-plano, \[J \equiv \frac{1}{2 \pi} \oint p d q,\]llamada la variable action. Sólo para entender su sentido físico, calculemos\(J\) para un oscilador armónico (14). Como sabemos muy bien del Capítulo 5, para tal oscilador,\(q=A \cos \Psi, p=-\)\(m_{\text {ef }} \omega_{0} A \sin \Psi\) (con\(\Psi=\omega_{0} t+\) const), de modo que\(J\) pueda expresarse fácilmente ya sea a través de la amplitud de las oscilaciones\(A\), o a través de su energía\(E=H=m_{\mathrm{ef}} \omega_{0}^{2} A^{2} / 2\):\[J=\frac{1}{2 \pi} \oint p d q=\frac{1}{2 \pi} \int_{\Psi=0}^{\Psi=2 \pi}\left(-m_{\mathrm{ef}} \omega_{0} A \sin \Psi\right) d(A \cos \Psi)=\frac{m_{\mathrm{ef}} \omega_{0}}{2} A^{2}=\frac{E}{\omega_{0}} .\]  Volviendo a un sistema general con parámetro adiabáticamente cambiado\(\lambda\), usemos la definición de\(J\), Eq. (39), para calcular su derivada de tiempo, nuevamente tomando en cuenta que en cada punto\(q\) de la trayectoria,\(p\) es una función de\(E\) y\(\lambda\):\[\frac{d J}{d t}=\frac{1}{2 \pi} \oint \frac{d p}{d t} d q=\frac{1}{2 \pi} \oint\left(\frac{\partial p}{\partial E} \frac{d E}{d t}+\frac{\partial p}{\partial \lambda} \frac{d \lambda}{d t}\right) d q .\] Dentro del precisión de nuestra aproximación, en la que las integrales de contorno (38) y (41) se calculan a lo largo de una trayectoria cerrada, el factor\(d E / d t\) es indistinguible de su promedio de tiempo, y estas integrales coinciden de manera que el resultado (38) también es aplicable a la Ec. (41). De ahí que finalmente hayamos llegado a un resultado muy importante: a una variación lenta del parámetro, es decir\(d J / d t=0\), la variable de acción permanece constante:\[J=\text { const }\] Esta es la famosa invarianza adiabática. \({ }^{13}\)En particular, según la ecuación (40), en un oscilador armónico, la energía de las oscilaciones cambia proporcionalmente a su propia frecuencia (cambiada lentamente) .Antes de continuar, permítanme señalar brevemente que la invarianza adiabática no es la única aplicación de la variable de acción\(J\). Dado que la elección inicial de las coordenadas y velocidades generalizadas (y por ende el momento generalizado) en la mecánica analítica es arbitraria (ver Sec. 2.1), es casi evidente que se\(J\) puede tomar para un nuevo impulso generalizado correspondiente a una determinada nueva coordenada generalizada\(\Theta,{ }^{14}\) y que el par\(\{J, \Theta\}\) debe satisfacer las ecuaciones de Hamilton (7), en particular,\[\frac{d \Theta}{d t}=\frac{\partial H}{\partial J} .\] Siguiendo el compromiso de la Sec. 1 (hecho ahí para los argumentos “antiguos”\(q_{j}, p_{j}\)), antes de la diferenciación en el lado derecho de la Ec. (43),\(H\) debe expresarse como una función (además \(t\)) de los “nuevos” argumentos\(J\) y\(\Theta\). Para sistemas hamiltonianos independientes del tiempo,\(H\) se define de manera única por\(J-\) ver, por ejemplo, la Ec. (40). De ahí que en este caso el lado derecho de la Eq. (43) no dependa de ninguna\(t\) o\(\Theta\), de manera que según esa ecuación,\(\Theta\) (llamada la variable de ángulo) es una función lineal del tiempo:\[\Theta=\frac{\partial H}{\partial J} t+\text { const } .\] Para un oscilador armónico, de acuerdo con la Ec. (40), la derivada \(\partial H / \partial J=\partial E / \partial J\)es justo\(\omega_{0} \equiv 2 \pi / T\), así que esa\(\Theta=\omega_{0} t+\) const, es decir, es solo la fase completa\(\Psi\) que se utilizó repetidamente en este curso\(-\) especialmente en el Capítulo 5. Se puede demostrar que una forma más general de esta relación,\[\frac{\partial H}{\partial J}=\frac{2 \pi}{\tau},\] es válida para un sistema arbitrario descrito por la Ec. (10). Así, la Ec. (44) se convierte\[\Theta=2 \pi \frac{t}{\tau}+\text { const } \text {. }\] Esto significa que para un oscilador 1D arbitrario (no lineal), la variable de ángulo\(\Theta\) es una generalización conveniente de la fase completa\(\Psi\). Por esta razón, las variables\(J\) y\(\Theta\) presentan una herramienta conveniente para la discusión de ciertos puntos finos de la dinámica de los osciladores fuertemente no lineales -para cuya discusión, lamentablemente, no tengo tiempo/espacio. \({ }^{15}\)

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\({ }_{9}\)Diversos aspectos de este problema y sus extensiones cuántico-mecánicas fueron discutidos por primera vez por L. Le Cornu (1895), Lord Rayleigh (1902), H. Lorentz (1911), P. Ehrenfest (1916), y M. Born y V. Fock (1928).

\({ }_{10}\)Este término también se utiliza en termodinámica y mecánica estadística, donde implica no sólo una variación lenta de parámetros (si la hay) sino también aislamiento térmico del sistema - ver, e.g., SM Sec. 1.3. Evidentemente, esta última condición es irrelevante en nuestro contexto actual.

\({ }^{11}\)En la Sec. 5.6, discutimos este plano para el caso particular de oscilaciones sinusoidales - ver Figura\(5.9\)

\({ }^{12}\)Debido a la naturaleza implícita de esta conjetura (que está muy cerca de los supuestos hechos en la derivación de las ecuaciones reducidas en la Sec. 5.3), todavía se ofrecen en la literatura pruebas nuevas, más estrictas (pero también mucho más engorrosas) de la ecuación final (42); véase, por ejemplo, C. Wells y S. Siklos , Eur. J. Phys. 28, 105 (2007) y/o A. Lobo et al., Eur. J. Phys. 33, 1063 (2012).

\({ }^{13}\)Para ciertos osciladores particulares, por ejemplo, un péndulo puntual, la ecuación (42) también puede probarse directamente, un ejercicio muy recomendable para el lector.

\({ }_{14}\)Esto, de nuevo, es un argumento plausible pero no una prueba estricta. En efecto: aunque, según su definición (39), no\(J\) es más que una suma de varios (formalmente, el número infinito de) valores del impulso\(p\), no son independientes, sino que tienen que ser seleccionados en la misma trayectoria cerrada en el plano de fase. Para mayor vigor matemático, se remite al lector a la Sec. 45 de Mecánica de Landau y Lifshitz (que se citó repetidamente anteriormente), que discute las reglas generales de las llamadas transformaciones canónicas de un conjunto de argumentos hamiltonianos a otro - digamos de\(\{p, q\}\) a\(\{J, \Theta\}\).

\({ }^{15}\)Un lector interesado puede ser referido, por ejemplo, al Capítulo 6 en J. Jose y E. Saletan, Classical Dynamics, Cambridge U. Press,\(1998 .\)