8.2: Función del tiempo de punto final
- Page ID
- 130357
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
¿Qué pasa con la acción en función del tiempo de llegada al punto final?
Desde\ (\ begin {ecuación}
S=\ int_ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} L d t,\ text {la derivada del tiempo total} d S/d t_ {2} =L\ izquierda (q^ {(2)}, t_ {2}\ derecha)
\ end {ecuación}\),
el valor del Lagrangiano en el punto final. Recuerden que estamos definiendo la acción en un punto como ese desde la integración por el verdadero camino hasta ese punto.
Landau denota\ (\ begin {ecuación}
t_ {2}\ text {por solo} t,\ text {así escribe} d S/d t=L
\ end {ecuación}\)
y vamos a estar haciendo esto, pero es crucial tener en cuenta que la posición de punto final y el tiempo son las variables aquí!
Si ahora permitimos un incremento incremental de tiempo,\ (\ begin {equation}
t_ {2}\ rightarrow t_ {2} +d t
\ end {ecuación}\), con la posición final de la coordenada como parámetro libre, la trayectoria dinámica continuará ahora, hasta un punto final incrementalmente diferente.
Esto dará (con t entendido de ahora en adelante para significar\ (\ begin {ecuación}
t_ {2},\ text {y} q_ {i}\ text {means}\ left.q_ {i} ^ {(2)}\ right)
\ end {ecuación}\)
\ begin {ecuación}
\ frac {d S\ izquierda (q_ {i}, t\ derecha)} {d t} =\ frac {\ parcial S} {\ parcial t} +\ suma_ {i}\ frac {\ parcial S} {\ parcial q_ {i}}\ punto {q} _ {i} =\ frac {\ parcial S} {\ parcial} +\ sum_ {i} p_ {i}\ punto {q} _ _ {i}
\ fin {ecuación}
Armando esto con\ (\ begin {ecuación}
d S/d t=L
\ end {ecuación}\) da inmediatamente la derivada de tiempo parcial
\ begin {ecuación}
\ parcial S/\ parcial t=L-\ suma_ {i} p_ {i}\ punto {q} _ _ {i} =-H
\ final {ecuación}
y por tanto, combinando esto con el resultado\ (\ begin {ecuación}
\ parcial S/\ parcial q_ {i} =p_ {i}
\ end {ecuación}\) de la sección anterior,
\ begin {ecuación}
d S\ izquierda (q_ {i}, t\ derecha) =\ suma_ {i} p_ {i} d q_ {i} -H d t
\ end {ecuación}
Esto, entonces, es el diferencial total de la acción en función de las coordenadas espaciales y temporales del final del camino.