9.2: No se trata de tiempo
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¡Pero eso no es lo que te interesa hacer! Por supuesto que quieres que el balón entre en el hoyo, pero no estás obsesionado con el tiempo que lleva llegar ahí. Sin embargo, sin ese requisito de tiempo, obviamente hay muchos caminos posibles. Si lo golpeas muy rápido, por lo que su energía cinética es mucho mayor que las variaciones de energía potencial gravitacional en el verde lleno de baches, se acercará a una línea recta (estamos asumiendo que cuando supere el agujero, caerá). A medida que disminuyas la velocidad, el camino ganador se desviará de una línea recta debido al terreno desigual. Por lo que el camino físico al agujero variará continuamente con la energía cinética inicial.
El principio de Maupertuis es sobre cuál es el camino\ (\ begin {ecuación}
y (x)
\ end {ecuación}\) al agujero, digamos de\ (\ begin {ecuación}
\ left (x_ {1}, y_ {1}, t_ {1}\ right)\ text {a}\ left (x_ {2}, y_ {2},\ text {any} t right\)
\ end { ecuación}\) f o una energía inicial dada E.
Entonces ahora estamos fijando los puntos inicial y final en el espacio, pero permitiendo una posible variación en el tiempo final. Además, estamos arreglando la energía:\ (\ begin {ecuación}
H\ left (x, y, p_ {x}, p_ {y}\ right) =E
\ end {ecuación}\) Esto significa que al variar el camino para minimizar la acción, debemos restringirnos a la clase de caminos que tienen energía E. En el putting green lleno de baches, estás dando la pelota una velocidad inicial fija\ (\ begin {equation}
v_ {0}
\ end {equation}\), y probando diferentes direcciones iniciales para meterla en el hoyo.
A partir de la expresión para el diferencial de acción en términos de variar el punto final (así como el resto de la ruta, recuerde, que da el término integral que desaparece a lo largo del camino dinámico), tenemos todos\ (\ begin {ecuación}
\ delta q_ {i} =0
\ end {ecuación}\) (la punto final se fija en el agujero), dejando
\ begin {ecuación}
\ delta S=\ suma_ {i} p_ {i}\ delta q_ {i} -H\ delta t=-e\ delta t
\ final {ecuación}
(Ya que estamos restringiendo caminos con energía E, H puede ser reemplazado por E.)