9.3: La Acción Abreviada

Escribiendo la acción en la forma integral a lo largo de este camino de energía constante, podemos trivialmente hacer la integral del tiempo:

\[ S=\int \sum_{i} p_{i} d q_{i}-E\left(t-t_{1}\right)=S_{0}-E\left(t-t_{1}\right) \]

Por lo tanto, del resultado\( \delta S=-E \delta t \) se deduce necesariamente que

\[ \delta S_{0}=\delta \int \sum_{i} p_{i} d q_{i}=0 \]

\( S_{0} \)se llama la acción abreviada: este es el principio de Maupertuis.

La acción abreviada para el camino físico es la mínima entre todos los caminos que satisfacen la conservación de energía con la energía total E y que pasan por el punto final designado, no nos importa cuándo. Tenga en cuenta que no todos los valores de E funcionarán, por ejemplo, si empezamos a poner la pelota desde un punto bajo en el green, tendremos que darle suficiente energía para salir del hueco para empezar. Pero habrá caminos físicos válidos para una amplia gama de valores energéticos, ya que la hora de llegada final es flexible.

Naturalmente, ya que este es un camino a través del espacio de configuración, para evaluar la acción abreviada

\[ S_{0}=\int \sum_{i} p_{i} d q_{i} \]

debe expresarse en términos de las q's. Para el lagrangiano habitual\( L=T\left(q_{i}, \dot{q}_{i}\right)-V\left(q_{i}\right) \), con\( T=\frac{1}{2} \sum a_{i k}(q) \dot{q}_{i} \dot{q}_{k} \), y momenta

\[ p_{i}==\sum a_{i k}(q) \dot{q}_{k} \]

encontramos la acción abreviada

\[ S_{0}=\int \sum_{i} p_{i} d q_{i}=\int \sum_{i} a_{i k} d q_{i} d q_{k} / d t \]

Esto es de hecho una integral a lo largo de un camino en el espacio de configuración, pero necesitamos deshacernos del dt. Físicamente, podemos ver cómo hacer esto, ya que conocemos la energía total E, la energía cinética en un punto es\( E-V\left(q_{i}\right) \) tal que determina la velocidad, de ahí el tiempo\( d t \text { to move by } d q_{i} \).

Es decir, (siguiendo a Landau)

\[ E-V(q)=\frac{1}{2} \sum a_{i k}(q) \dot{q}_{i} \dot{q}_{k}=\frac{\sum a_{i k}(q) d q_{i} d q_{k}}{2(d t)^{2}} \]

de la cual

\[ d t=\sqrt{\sum \frac{a_{i k} d q_{i} d q_{k}}{2(E-V)}} \]

(Esto no parece un objeto matemático muy saludable, pero como verás, está bien.)

De ahí

\[ S_{0}=\int \sum_{i} p_{i} d q_{i}=\int \sum_{i} a_{i k} d q_{i} d q_{k} / d t=\int \sqrt{\left[2(E-V) \sum a_{i k} d q_{i} d q_{k}\right]} \]

Para tomar un caso muy sencillo; si no hay potencial, y solo una partícula libre,\( a_{i k}=m \delta_{i k} \) esto no es más que la longitud del camino multiplicada por\( \sqrt{2 m E} \), minimizada por una línea recta entre los dos puntos.

Si tenemos una partícula de masa m en un potencial espacialmente variable\( V(\vec{r}) \), la acción abreviada se reduce a

\[ S_{0}=\int \sqrt{2 m(E-V)} d \ell \]

donde\( d \ell \) es un elemento de longitud de trayectoria. (Esto es obvio, en realidad: la raíz cuadrada es el valor absoluto del impulso, y el vector de impulso, por supuesto, apunta a lo largo del camino).

La matriz\(a_{i k}\) a veces llamada matriz de masa, es evidentemente una métrica, una medida en el espacio de configuración, mediante la cual se mide la “longitud” de las trayectorias, y particularmente la trayectoria de acción mínima.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Usa el principio de Maupertuis para encontrar el camino de una bala de cañón, energía E, disparada contra un objetivo que está a x metros de distancia horizontalmente, estando tanto cañón como objetivo al nivel del mar (¡piensa en barcos!).