11.5: Jacobiano para la evolución del tiempo
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Como hemos establecido, el desarrollo del tiempo es equivalente a una transformación de coordenadas canónicas,
\ begin {ecuación}
\ izquierda (p_ {t}, q_ {t}\ derecha)\ derecha)\ fila derecha\ izquierda (p_ {t+\ tau}, q_ {t+\ tau}\ derecha)\ equiv (P, Q)
\ end {ecuación}
Como ya sabemos que el número de puntos dentro de un volumen cerrado es constante en el tiempo, el teorema de Liouville se prueba si podemos demostrar que el volumen encerrado por la superficie cerrada es constante, es decir, con\ (\ begin {ecuación}
V^ {\ prime}
\ end {ecuación}\)
denotando el volumen V evoluciona para convertirse, debemos probar
\ begin {ecuación}
\ int_ {V^ {\ prime}} d Q_ {1}\ lpuntos d Q_ {s} d P_ {1}\ lpuntos d P_ {s} =\ int_ {V} d q_ {1}\ lpuntos d q_ {s} d p_ {1}\ lpuntos d p_ {s}?
\ end {ecuación}
Si estás familiarizado con los jacobianos, sabes que (por definición)
\ begin {ecuación}
\ int d Q_ {1}\ lpuntos d Q_ {s} d P_ {1}\ lpuntos d P_ {s} =\ int D d q_ {1}\ lpuntos d q_ {s} d p_ {1}\ lpuntos d p_ {s}
\ fin {ecuación}
donde el jacobiano
\ begin {ecuación}
D=\ frac {\ parcial\ izquierda (Q_ {1},\ ldots, Q_ {s}, P_ {1},\ ldots, P_ {s}\ derecha)} {\ parcial\ izquierda (q_ {1},\ ldots, q_ {s}, p_ {1},\ ldots, p_ {s}\ derecha)} final
\ {ecuación}
Por lo tanto, el teorema de Liouville se prueba si podemos establecer que D=1. Si no estás familiarizado con los jacobianos, o necesitas recordarte, ¡lee la siguiente sección!