11.6: Jacobianos 101

Supongamos que estamos integrando una función sobre alguna región del espacio tridimensional ordinario,

\[I=\int_{V} f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) d x_{1} d x_{2} d x_{3}\]

pero queremos cambiar las variables de integración a un conjunto diferente de coordenadas\(\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}\right)\) como, por ejemplo,\(\begin{equation}(r, \theta, \phi)\end{equation}\). Las nuevas coordenadas son por supuesto funciones de las originales\ (\ begin {ecuación} q_ {1}\ left (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}\ right)
\ end {ecuación}\) etc., y suponemos que en la región de integración son funciones suaves y de buen comportamiento. No podemos simplemente reexpresar f en términos de las nuevas variables, y reemplazar el diferencial de volumen\(\begin{equation}d x_{1} d x_{2} d x_{3} \text { by } d q_{1} d q_{2} d q_{3}\end{equation}\) que da la respuesta equivocada, en un plano, no se puede reemplazar\(dxdy\) con\(drd\theta\), hay que usar\(r\,dr\,d\theta\). Ese factor extra\(r\) se llama jacobiano, es claro que en el plano un elemento pequeño con lados de longitudes fijas\(\begin{equation}(\delta r, \delta \theta)\end{equation}\) es mayor cuanto más lejos está del origen, no todos los\(\begin{equation}\delta r \delta \theta\end{equation}\) elementos son iguales, por así decirlo. Nuestra tarea es construir el jacobiano para un cambio general de coordenadas.

Hay que pensar detenidamente en los volúmenes en el espacio tridimensional representado por\(d x_{1} d x_{2} d x_{3}\) y por\(d q_{1} d q_{2} d q_{3}\). Por supuesto, los\(x_{i}\)'s son solo ejes cartesianos perpendiculares ordinarios así que el volumen es solo el producto de los tres lados de la cajita,\(d x_{1} d x_{2} d x_{3}\) .Imagínese esta cajita, su esquina más cercana al origen en\(\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)\) y su punto más alejado en el otro extremo de la diagonal del cuerpo en\(\left(x_{1}+d x_{1}, x_{2}+d x_{2}, x_{3}+d x_{3}\right)\) Let's tomar estos dos puntos en las coordenadas qi para estar en\(\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}\right) \text { and }\left(q_{1}+d q_{1}, q_{2}+d q_{2}, q_{3}+d q_{3}\right)\). Al visualizar esto, hay que tener en cuenta que los ejes q no necesitan ser perpendiculares entre sí (pero no pueden estar todos en un plano, eso no estaría bien portado).

Para la integración de\(x\) coordenadas, imaginamos llenar el espacio con pequeñas cajas cubicas. Para la\(q\) integración, contamos con un sistema de espacio que llena paralelepípedos infinitesimales, en general apuntando diferentes caminos en diferentes regiones (piense\((r, \theta)\). Lo que necesitamos encontrar es el volumen del paralelepípedo incremental con lados que escribiremos como vectores en coordenadas x,\(d \vec{q}_{1}, d \vec{q}_{2}, d \vec{q}_{3}\). Estos tres vectores incrementales se encuentran a lo largo de los ejes de\(q\) coordenadas correspondientes, y los tres agregados son el desplazamiento de\(\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \text { to }\)

\[\left(x_{1}+d x_{1}, x_{2}+d x_{2}, x_{3}+d x_{3}\right) \equiv\left(q_{1}+d q_{1}, q_{2}+d q_{2}, q_{3}+d q_{3}\right)\]

Por lo tanto, en los componentes,

\[d \vec{q}_{1}=\left(\dfrac{\partial q_{1}}{\partial x_{1}} d x_{1}, \dfrac{\partial q_{1}}{\partial x_{2}} d x_{2}, \dfrac{\partial q_{1}}{\partial x_{3}} d x_{3}\right)\]

Ahora el volumen del paralelepípedo con lados los tres vectores de la\(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \text { is } \vec{a} \cdot \vec{b} \times \vec{c} \text { (recall }|\vec{b} \times \vec{c}| \text { is the }\) zona de origen del paralelogramo, luego el producto punto distingue el componente de\(\vec{a}\) perpendicular al plano de\(\vec{b}, \vec{c}\)).

Entonces, el volumen correspondiente a los incrementos\(d q_{1}, d q_{2}, d q_{3}\) en el\(q\) espacio es

\ [d\ vec {q} _ {1}\ cdot d\ vec {q} _ {2}\ veces d\ vec {q} _ {3} =\ izquierda|\ begin {array} {lll}
\ dfrac {\ parcial q_ {1}} {\ parcial x_ {1}} &\ dfrac {\ parcial q_ {1}} {\ parcial _ {2}} &\ dfrac {\ parcial q_ {1}} {\ parcial x_ {3}}\
\ dfrac {\ parcial q_ {2}} {\ parcial x_ {1}} &\ dfrac {\ parcial q_ {2}} {\ parcial x_ {2}} &\ dfrac {\ parcial q_ {2}} {\ parcial x_ {3}}\
\ dfrac {\ parcial q_ {3}} {\ parcial x_ {1}} &\ dfrac {\ parcial q_ {3}} {\ parcial x_ {2}} &\ dfrac {\ parcial q_ {3}} {parcial\ x_ {3}}
\ end {array}\ derecha| d x_ {1} d x_ {2} d x_ {3} =\ nombreoperador {Ddx_ _ _ {1} d x_ {2} d x_ {3}\]

escritura\(D\) (notación de Landau) para el determinante, que de hecho es el jacobiano, a menudo denotado por\(J\).

La notación estándar para este jacobiano determinantal es

\[D=\dfrac{\partial\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}\right)}{\partial\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)}\]

Entonces, el reemplazo apropiado para el elemento de volumen incremental tridimensional representado en la integral por\(d q_{1} d q_{2} d q_{3}\) es

\[d q_{1} d q_{2} d q_{3} \rightarrow \dfrac{\partial\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}\right)}{\partial\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)} d x_{1} d x_{2} d x_{3}\]

La inversa

\[D^{-1}=\dfrac{\partial\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)}{\partial\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}\right)}\]

se establece fácilmente usando la regla de la cadena para la diferenciación.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

¡comprueba esto!

Así, el cambio de variables en una integral se logra reescribiendo el integrando en las nuevas variables, y reemplazando

\[I=\int_{V} f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) d x_{1} d x_{2} d x_{3}=\int_{V} f\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}\right) \dfrac{\partial\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)}{\partial\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}\right)} d q_{1} d q_{2} d q_{3}\]

El argumento en dimensiones superiores es igual: al ir a la dimensión\(n + 1\), el elemento hipervolumen es igual al del elemento\(n\) dimensional multiplicado por el componente del nuevo vector perpendicular al elemento\(n\) dimensional. La forma determinantal hace esto automáticamente, ya que un determinante con dos filas idénticas es cero, por lo que al agregar un nuevo vector solo contribuye el componente perpendicular a todos los vectores anteriores.

Hemos visto que la regla de la cadena para la diferenciación da lo inverso como solo el jacobiano con numerador y denominador invertidos, también rinde fácilmente

\[\dfrac{\partial\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)}{\partial\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}\right)} \cdot \dfrac{\partial\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}\right)}{\partial\left(r_{1}, r_{2}, r_{3}\right)}=\dfrac{\partial\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)}{\partial\left(r_{1}, r_{2}, r_{3}\right)}\]

y esto se extiende trivialmente a n dimensiones.

También es evidente desde la forma determinantal del jacobiano que

\[\dfrac{\partial\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)}{\partial\left(q_{1}, q_{2}, x_{3}\right)}=\dfrac{\partial\left(x_{1}, x_{2}\right)}{\partial\left(q_{1}, q_{2}\right)}\]

variables idénticas en numerador y denominador pueden ser canceladas. Nuevamente, esto se extiende fácilmente a\(n\) las dimensiones.