11.7: Prueba jacobiana del teorema de Liouville
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Después de este largo desvío hacia la teoría jacobiana, recordemos que estamos tratando de establecer que el volumen de una región en el espacio de fases no se ve afectado por una transformación canónica, necesitamos demostrar que
\[\int d Q_{1} \ldots d Q_{s} d P_{1} \ldots d P_{s}=\int d q_{1} \ldots d q_{s} d p_{1} \ldots d p_{s}\]
y eso significa que tenemos que demostrar que el jacobiano
\[D=\frac{\partial\left(Q_{1}, \ldots, Q_{s}, P_{1}, \ldots, P_{s}\right)}{\partial\left(q_{1}, \ldots, q_{s}, p_{1}, \ldots, p_{s}\right)}=1\]
Usando los teoremas anteriores sobre la inversa de un jacobiano y el producto de regla de cadena,
\[D=\frac{\partial\left(Q_{1}, \ldots, Q_{s}, P_{1}, \ldots, P_{s}\right)}{\partial\left(q_{1}, \ldots, q_{s}, P_{1}, \ldots, P_{s}\right)} / \frac{\partial\left(q_{1}, \ldots, q_{s}, p_{1}, \ldots, p_{s}\right)}{\partial\left(q_{1}, \ldots, q_{s}, P_{1}, \ldots, P_{s}\right)}\]
Ahora invocando la regla de que si aparecen las mismas variables tanto en el numerador como en el denominador, se pueden cancelar,
\[D=\left\{\frac{\partial\left(Q_{1}, \ldots, Q_{s}\right)}{\partial\left(q_{1}, \ldots, q_{s}\right)}\right\}_{P=\text { constant }} /\left\{\frac{\partial\left(p_{1}, \ldots, p_{s}\right)}{\partial\left(P_{1}, \ldots, P_{s}\right)}\right\}_{q=\text { constant }}\]
Hasta este punto, las ecuaciones son válidas para cualquier transformación no singular, pero para probar que el numerador y el denominador son iguales en esta expresión requiere que la ecuación sea canónica, es decir, estar dada por una función generadora, como se explicó anteriormente.
Recordemos ahora las propiedades de la función generadora\(\Phi(q, P, t)\)
\[d \Phi(q, P, t)=d\left(F+\sum P_{i} Q_{i}\right)=\sum p_{i} d q_{i}+\sum Q_{i} d P_{i}+\left(H^{\prime}-H\right) d t\]
de la cual
\[p_{i}=\partial \Phi(q, P, t) / \partial q_{i}, \quad Q_{i}=\partial \Phi(q, P, t) / \partial P_{i}, \quad H^{\prime}=H+\partial \Phi(q, P, t) / \partial t\]
En la expresión para el jacobiano\(D\)\(i\), el,\(k\) elemento del numerador es\(\partial Q_{i} / \partial q_{k}\).
En cuanto a la función generadora\(\Phi(q, P) \text { this element is } \partial^{2} \Phi / \partial q_{k} \partial P_{i}\).
Exactamente el mismo procedimiento para el denominador da el\(i\),\(k\) elemento a ser\(\partial P_{i} / \partial p_{k}=\partial^{2} \Phi / \partial q_{i} \partial P_{k}\)
En otras palabras, los dos determinantes son los mismos (se conmutan filas y columnas, pero eso no afecta el valor de un determinante). Esto significa D=1, y se prueba el teorema de Liouville.