12.3: Separación de Variables para un Potencial Central; Variables Cíclicas

Landau presenta en algunos detalles el método de separación de variables para un\(1/r\) potencial, interesante aquí porque da como resultado ecuaciones que ya has conocido antes, las que surgen en el tratamiento cuántico estándar del átomo de hidrógeno.

¿Cómo avanzamos con estas formidables ecuaciones diferenciales? Una posibilidad es que algunas coordenadas sean cíclicas, es\(q_{1}\) decir, que dicen, no aparecen explícitamente en el hamiltoniano, por ejemplo, una variable de ángulo en un campo esféricamente simétrico. Entonces tenemos de inmediato que el impulso correspondiente,\(p_{1}=\partial S / \partial q_{1}=\alpha_{1}\), una constante.

El hamiltoniano para un potencial central es:

\ begin {ecuación}
H=\ frac {1} {2 m}\ izquierda (p_ {r} ^ {2} +\ frac {p_ {\ theta} ^ {2}} {r^ {2}} +\ frac {p_ {\ phi} ^ {2}} {r^ {2}\ sin ^ {2}\ theta}\ derecha) +V (r)
\ end {ecuación}

Por lo tanto, la ecuación de Hamilton-Jacobi es

\ begin {ecuación}
\ frac {1} {2 m}\ izquierda (\ frac {\ parcial S_ {0}} {\ r parcial}\ derecha) ^ {2} +V (r) +\ frac {1} {2 m r^ {2}}\ izquierda (\ frac {\ parcial S_ {0}} {\ parcial\ theta}\ derecha) ^ {2} +\ frac {1} {2 m r^ {2}\ sin ^ {2}\ theta}\ izquierda (\ frac {\ parcial S_ {0}} {\ parcial\ phi}\ derecha) ^ {2} =E
\ final {ecuación}

Lo primero a tener en cuenta es que\(\phi\) es cíclico (no aparece en el hamiltoniano), por lo que podemos reemplazar de inmediato\(\partial S_{0} / \partial \phi \text { with a constant } p_{\phi}\).

Entonces tenemos:

\ begin {ecuación}
\ frac {1} {2 m}\ izquierda (\ frac {\ parcial S_ {0}} {\ r parcial}\ derecha) ^ {2} +V (r) +\ frac {1} {2 m r^ {2}}\ izquierda [\ izquierda (\ frac {\ parcial S_ {0}} {\ parcial\ theta}\ derecha) ^ {^} +\ frac {p_ {\ phi} ^ {2}} {\ sin ^ {2}\ theta}\ derecha] =E
\ final {ecuación}

Ahora buscamos una solución de la forma

\ begin {ecuación}
S_ {0} (r,\ theta,\ phi) =S_ {r} (r) +S_ {\ theta} (\ theta) +p_ {\ phi}\ phi
\ fin {ecuación}

Sustituyendo en la ecuación, observe que la expresión entre corchetes se convertirá

\ begin {ecuación}
\ izquierda (\ frac {\ parcial S_ {\ theta}} {\ parcial\ theta}\ derecha) ^ {2} +\ frac {p_ {\ phi} ^ {2}} {\ sin ^ {2}\ theta}
\ end {ecuación}

independiente de\(r\), pero al multiplicar la ecuación completa por\(r^{2}\), y mirando fijamente el resultado, vemos que de hecho es puramente una función de\(r\). Esto quiere decir que es una constante, digamos

\ begin {ecuación}
\ izquierda (\ frac {\ parcial S_ {\ theta}} {\ parcial\ theta}\ derecha) ^ {2} +\ frac {p_ {\ phi} ^ {2}} {\ sin ^ {2}\ theta} =\ beta
\ end {ecuación}

y luego

\ begin {ecuación}
\ frac {1} {2 m}\ izquierda (\ frac {\ parcial S_ {r}} {\ r parcial}\ derecha) ^ {2} +V (r) +\ frac {\ beta} {2 m r^ {2}} =E
\ final {ecuación}

Estas ecuaciones de primer orden pueden entonces ser resueltas, al menos numéricamente (y por supuesto exactamente para algunos casos). Físicamente,\(\beta=\ell^{2}, \quad \ell\) siendo el momento angular total, y\(E\) es la energía total.

Nota: recordemos que en la mecánica cuántica, por ejemplo al resolver la ecuación de Schrödinger para el átomo de hidrógeno, la separación de variables se logró escribiendo la función de onda como producto de funciones pertenecientes a las diferentes variables. Aquí usamos una suma —recuerda que la acción corresponde estrechamente a la fase de un sistema mecánico cuántico, por lo que una suma de acciones es análoga a un producto de funciones de onda.