16.3: La Sección Transversal Diferencial
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En un experimento de dispersión real, la información sobre el dispersor se puede averiguar a partir de las diferentes tasas de dispersión a diferentes ángulos. Los detectores se colocan en varios ángulos\((\theta, \phi)\). Por supuesto, un detector físico recoge partículas dispersas sobre algún ángulo sólido distinto de cero. La notación habitual para el ángulo sólido infinitesimal es\(d \Omega=\sin \theta d \theta d \phi\). El ángulo sólido completo (todas las dispersiones posibles) es\(\int d \Omega=4 \pi\) el área de una esfera de radio unitario. (Nota: Landau usa dο para el incremento de ángulo sólido, pero se\(d \Omega\) ha convertido en estándar.)
La sección transversal diferencial, escrita\(d \sigma / d \Omega\) es la fracción del número total de partículas dispersas que salen en el ángulo sólido\(d \Omega\), por lo que la velocidad de dispersión de partículas a este detector es\(n d \sigma / d \Omega, \text { with } n\) la intensidad del haz como se definió anteriormente.
Ahora, asumiremos que el potencial es esféricamente simétrico. Imagínese una línea paralela a las partículas entrantes pasando por el centro del átomo. Para una partícula entrante dada, su parámetro de impacto se define como la distancia a la que se encuentra su línea de vuelo entrante desde esta línea central. Landau llama a esto\(\rho\), seguiremos el uso moderno y lo llamaremos\(b\).
Una partícula que entra con un parámetro de impacto entre\(b\) y se\(b+db\) dispersará a través de un ángulo entre\(\chi\) y\(\chi+d \chi\) donde vamos a calcular,\(\chi(b)\) resolviendo la ecuación de movimiento de una sola partícula en una fuerza repulsiva de cuadrados inversos.
Nota: hemos cambiado para esta ocasión de\(\theta \text { to } \chi\) por el ángulo disperso porque queremos ahorrar\(\theta\) para las\((r, \theta)\) coordenadas que describen la trayectoria completa, u órbita, de la partícula dispersa.
Entonces, una sección transversal entrante\(d \sigma=2 \pi b d b\) dispersa las partículas en un área esférica saliente (centrada en el dispersor)\(2 \pi R \sin \chi R d \chi\), es decir, un ángulo sólido\(d \Omega=2 \pi \sin \chi d \chi\)
Por lo tanto, la sección transversal diferencial de dispersión
\ begin {ecuación}\ frac {d\ sigma} {d\ Omega} =\ frac {b (\ chi)} {\ sin\ chi}\ izquierda|\ frac {d b} {d\ chi}\ derecha|\ fin {ecuación}
(Tenga en cuenta que\(d \chi / d b\) es claramente negativo: aumentar b significa aumentar la distancia desde el dispersor, por lo que un menor\(\chi\))