19.3: Comparación con Operadores de Elevación
- Page ID
- 130838
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
En realidad, estas matrices están relacionadas con el operador de elevación y descenso para el momento angular (y los osciladores armónicos simples) en mecánica cuántica. Por ejemplo, las\(4 \times 4\) matrices serían para un giro 3/2, con\(S_{z}\) cuatro autoestados.
Las matrices mecánicas cuánticas de elevación y descenso parecen
\ begin {ecuación}
\ left (\ begin {array} {llll}
0 & 1 & 0 & 0\\ 0 &
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\ end {array}\ derecha),\ quad\ left (\ begin {array} {llll}
0 & 0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0 &
0\\ 0 & 1 & 0 & 0 &
0 & 0 & 1 & 0
\ end {array}\ right)
\ end {ecuación}
Mueven el\(S_{z}\) componente de giro hacia arriba (y hacia abajo) en una muesca, excepto que al aplicar el operador de elevación, el estado superior\(S_{z}=3 / 2\) es aniquilado, de manera similar el operador de bajada en el estado inferior.
Nuestras generalizaciones circulares tienen un elemento extra:
\ begin {ecuación}
\ left (\ begin {array} {llll}
0 & 1 & 0 & 0\\ 0 &
0 & 0 & 1 & 0\\ 0 &
0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0 & 0 & 0
\ end {array}\ derecha),\ quad\ left (\ begin {array} {llll}
0 & 0 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0 & 0 &
0\\ 0 & 1 & 0 & 0 &
0 & 0 & 1 & 0
\ end {array}\ right)
\ end {ecuación}
Esto hace que las matrices circulen, y les da una propiedad de “reciclaje”: el elemento superior no se tira, solo va al fondo de la pila.
(Y hay que tener en cuenta que la notación estándar para un vector tiene el índice más bajo (0 o 1) para el elemento superior, así que cuando doblamos la escalera en un círculo, el operador de “elevación” en realidad se mueve al siguiente número inferior, es decir, es un desplazamiento a la izquierda.)
Tomaremos este operador de turno P como nuestra matriz básica:
\ begin {ecuación}
P=\ left (\ begin {array} {llll}
0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 &
0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
1 & 0 & 0 & 0 & 0
\ end {array}\ right),\ text {del cual} P^ {2} =\ left (\ begin {array} {llll}
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 &
1\\ 1 & 0 & 0 &
0 & 0 & 0 & 0
\ end {array}\ derecha)
\ end {ecuación}
De esto debería ser evidente que la matriz circulante que tiene fila superior\(c_{0}, c_{1}, c_{2}, c_{3}\) es solo la matriz\(c_{0} I+c_{1} P+c_{2} P^{2}+c_{3} P^{3}\).
Esto generaliza trivialmente a\(N \times N\) matrices.