19.4: Encontrar los vectores propios

Ahora veamos los vectores propios, comenzaremos con los de\(P\) .Llamemos al valor propio\(\lambda\)

Entonces, para un estado propio del operador shift, el vector desplazado debe ser solo un múltiplo del vector original:

\ begin {ecuación}\ left (\ begin {array} {cccc} 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0\ end {array}\ derecha)\ left (\ begin {array} {c} A_ {1}\\ A_ {2}\\ A_ {3}\ A_ {4}\ end {array}\ right) =\ left (\ begin {array} {c} A_ {2}\\ A_ {3}\\ A_ {4}\\ A_ {1}\ end {array}\ derecha) =\ lambda\ left (\ begin {array} {c} A_ {1}\\ A_ {2}\\ A_ {3}\\
A_ {4}\ end {array}\ derecha)\ end {ecuación}

Leyendo la equivalencia elemento por elemento de los dos vectores,

\ begin {ecuación}
A_ {2} =\ lambda A_ {1},\ quad A_ {3} =\ lambda A_ {2},\ quad A_ {4} =\ lambda A_ {3},\ quad A_ {1} =\ lambda A_ {4}
\ final {ecuación}

Las tres primeras igualdades nos dicen que el vector propio tiene la forma\(\left(1, \lambda, \lambda^{2}, \lambda^{3}\right)^{T}\), la última nos dice eso\(\lambda^{4}=1\).

De nuestra discusión anterior sobre matrices circulantes, escribir la fase más pequeña\(N^{\text {th }}\) raíz no trivial de unidad como\(\omega=e^{2 \pi i / N}\), las raíces de la ecuación\(\lambda^{N}=1\) son solo esta raíz básica levantada a N poderes diferentes: las raíces son \(1, \omega, \omega^{2}, \omega^{3}, \ldots, \omega^{N-1}\)

Esto establece que los vectores propios de\(P\) tienen la forma

\ begin {ecuación}
\ left (1,\ omega^ {j},\ left (\ omega^ {j}\ right) ^ {2},\ left (\ omega^ {j}\ right) ^ {3},\ ldots,\ left (\ omega^ {j}\ right) ^ {N-1}\ right) ^ {T}
\ end {ecuación}

donde\(j=0,1,2,3, \ldots, N-1\) con el valor propio correspondiente la raíz básica elevada a la\(j^{\text {th }} \text { power, } \omega^{j}=e^{2 \pi i j / N}\). Pruébalo por 3×3: los valores propios están dados por

\ begin {ecuación}
\ izquierda|\ begin {array} {ccc}
-\ lambda & 1 & 0\\
0 & -\ lambda & 1\\
1 & 0 & -\ lambda
\ end {array}\ right|=0,\ quad\ lambda^ {3} =1,\ quad\ lambda=1,\ omega,\ omega^ {2};\ quad\ omega^ {3} =1
\ end {ecuación}

Se encuentra que los vectores propios correspondientes son

\ begin {ecuación}
\ left (\ begin {array} {l}
1\\

1\
\ end {array}\ right),\ quad\ left (\ begin {array} {c}
1\
\ omega\
\ omega^ {2}
\ end {array}\ right),\ quad\ left (\ begin {array} {c}
1\\
\ omega^ {2}\\
\ omega
\ end {array}\ derecha)
\ final {ecuación}

Para el\(N×N\) caso, existen\(N\) diferentes vectores linealmente independientes de esta forma, por lo que este es un conjunto completo de vectores propios de\(P\).

También son, por supuesto, vectores propios de\ (\ begin {ecuación}
P^ {2}, P^ {3}\ text {all} N-1\ text {powers of} P
\ end {ecuación}\) y por lo tanto de todas las matrices circulantes! Esto significa que todas las matrices\(N×N\) circulantes se desplazan.