19.5: Autovectores de la Cadena Lineal

Volvamos a nuestra cadena, con la ecuación de función propia del movimiento el equivalente\(N\) dimensional de

\ begin {ecuación}
-m\ Omega^ {2}\ left (\ begin {array} {c}
A_ {1}\\
A_ {2}\\
A_ {3}\\
A_ {4}
\ end {array}\ derecha) =\ left (\ begin {array} {cccc}
-2\ kappa &\ kappa & 0 &\ kappa\
\ kappa & -2 \ kappa &\ kappa & 0\\
0 &\ kappa & -2\ kappa &\ kappa &\ kappa\
\ kappa & 0 &\ kappa y 0 &\ kappa & -2
\ kappa\ end {array}\\ derecha)\ izquierda (\ begin {array} {c}
A_ {1}\\
A_ {2}\\
A_ {3}\\
A_ {4}
\ end {array}\ derecha)
\ end {ecuación}

. Vemos que la matriz es circulante, así sabemos que los vectores propios son de la forma

\ begin {ecuación}
\ left (1,\ omega^ {j},\ left (\ omega^ {j}\ right) ^ {2},\ left (\ omega^ {j}\ right) ^ {3},\ ldots,\ left (\ omega^ {j}\ right) ^ {N-1}\ right) ^ {T}
\ end {ecuación}

, que ahora escribiremos

\ begin {ecuación}
\ izquierda (1, e^ {2\ pi i j/N}, e^ {2\ pi i 2 j/N}, e^ {2\ pi i 3 j/N},\ ldots, e^ {2\ pi i j (N-1)/N}\ derecha)
\ end {ecuación}

¿Qué significa esto para nuestro sistema de cadenas? Recuerde que el\(n^{\mathrm{th}}\) elemento del vector propio representa el desplazamiento del\(n^{\mathrm{th}}\) átomo de la cadena desde su posición de equilibrio, que sería proporcional a\(e^{2 \pi i j n / N}\)

La progresión de la fase estable al dar la vuelta a la cadena\(n=0,1,2,3, \ldots\) deja claro que se trata esencialmente de una onda (longitudinal). (El desplazamiento real de las\(n^{\mathrm{th}}\) partículas es la parte real del\(n^{\mathrm{th}}\) elemento, pero podría haber un factor complejo general fijando la fase).