19.7: Encontrar los valores propios

Los valores propios se encuentran operando sobre el vector propio que acabamos de encontrar con la matriz, es decir, la generalización\(N\) dimensional de

\ begin {ecuación}
-m\ Omega^ {2}\ left (\ begin {array} {c}
1\\
e^ {i k_ {n} a}\\
e^ {i k_ {n} 2 a}\\
e^ {i k_ {n} 3 a}
\ end {array}\ derecha) =\ left (\ begin {array} {cccc}
-2\ kappa &\ kappa & 0 &\ kappa\\
\ kappa & -2\ kappa &\ kappa & 0\\
0 &\ kappa & -2\ kappa &\ kappa &\ kappa
\\ kappa & 0 &\ kappa & -2\ kappa
\ end {array}\ derecha)\ left (\ begin {array} {c}
1\\
e^ {i k_ {n} a}\\
e^ {i k_ {n} 2 a}\\
e^ {i k_ {n} 3 a}
\ end {array}\ derecha)
\ final {ecuación}

Aplicar la matriz al vector de columna

\ begin {ecuación}
\ izquierda (1, e^ {i k_ {n} a}, e^ {2 i k_ {n} a}, e^ {3 i k_ {n} a},\ ldots, e^ {i (N-1) k_ {n} a}\ derecha) ^ {T}
\ end {ecuación}

, y cancelando el\(e^{i k_{n} n a}\) factor común, tenemos

\ begin {ecuación}
-m\ Omega_ {n} ^ {2} =\ kappa\ izquierda (e^ {i k_ {n} a} +e^ {-i k_ {n} a} -2\ derecha)
\ end {ecuación}

(Por supuesto, este mismo resultado viene de cada fila.)

El conjunto completo de valores propios se da insertando en la expresión anterior

\ begin {ecuación}
k_ {n} =2\ pi n/N a,\ quad n=0,1,2,\ lpuntos, N-1\ texto {así} e^ {i k_ {n} a} =e^ {2\ pi i n/N}
\ end {ecuación}

así\(n=0\) es el desplazamiento del sistema en su conjunto, como es\(n=N\).

Los valores de número de onda\(k_{n} \text { beyond } n=N\) repiten los propios estados que ya tenemos, ya que

\ begin {ecuación}
e^ {i k_ {n+n} a} =e^ {i\ frac {2\ pi (n+n) a} {N a}} =e^ {2\ pi i} e^ {2\ pi i n/N} =e^ {2\ pi i n/N} =e^ {i k_ {n} a}
\ end {ecuación}

k están restringidos a

\ begin {ecuación}
\ Omega_ {n} =2\ sqrt {\ frac {\ kappa} {m}}\ sin\ izquierda (\ frac {k_ {n} a} {2}\ derecha) =2\ sqrt {\ frac {\ kappa} {m}}\ sin\ izquierda (\ frac {n\ pi} {N}\ derecha)
\ end {ecuación}

\ begin {ecuación}
0\ leq k<2\ pi/a
\ end {ecuación}

o equivalentemente

\ begin {ecuación}
-\ pi/a<k\ leq\ pi/a
\ end {ecuación}

La ecuación del valor propio es

\ begin {ecuación}
\ Omega_ {n} ^ {2} =2 (\ kappa/m)\ izquierda (1-\ cos k_ {n} a\ derecha)
\ end {ecuación}

o

\ begin {ecuación}
\ Omega_ {n} =2\ sqrt {\ frac {\ kappa} {m}}\ sin\ izquierda (\ frac {k_ {n} a} {2}\ derecha) =2\ sqrt {\ frac {\ kappa} {m}}\ sin\ izquierda (\ frac {n\ pi} {N}\ derecha)
\ end {ecuación}

Para ver la dinámica de este autoestado

\ begin {ecuación}
\ izquierda (1, e^ {i k_ {n} a}, e^ {2 i k_ {n} a}, e^ {3 i k_ {n} a},\ ldots, e^ {i k_ {n} (N-1) a}\ derecha)
\ end {ecuación}

, necesitamos multiplicar por la dependencia del tiempo\(e^{i \Omega_{n} t}\), luego finalmente tomar la parte real de la solución:

\ begin {ecuación}
\ izquierda (\ cos\ Omega_ {n} t,\ quad\ cos\ izquierda (k_ {n} a+\ Omega_ {n} t\ derecha),\ quad\ cos\ izquierda (2 k_ {n} a+\ Omega_ {n} t\ derecha),\ quad\ cos\ izquierda (3 k_ {n} a+\ Omega_ {n} t derecha\),\ lpuntos,\ cos\ izquierda ((N-1) k_ {n} a+\ Omega_ {n} t\ derecha)\ derecha)
\ final {ecuación}

Observe que en el límite continuo, que significa N grande y pequeña a, el desplazamiento atómico en función de la posición tiene la forma,\(\cos (k x+\Omega t)\) en otras palabras, estamos viendo una perturbación de onda sinusoidal con número de onda\(k_{n}\) aquí.

Ahora, también\(-k_{n}\) es una solución, pero eso es\(n^{\prime}=N-n\) lo mismo ya que hay que tener cuidado de no sobrecontar. Las dos frecuencias\(\pm \Omega_{n}\) corresponden a ondas que van en direcciones opuestas.