19.8: La Transformada Discreta de Fourier

Vale la pena revisar esto una vez más desde una perspectiva ligeramente diferente. Al encontrar la energía de una cuerda continua oscilante, un enfoque estándar es analizar el movimiento de la cuerda en términos de una serie infinita de Fourier de oscilaciones de longitud de onda cada vez más cortas, encontrar la energía en cada uno de estos modos y sumar para encontrar la energía total. Aplicaremos el mismo enfoque aquí, pero con una diferencia. Dado que las ondas solo tienen significado en nuestra cadena en un conjunto discreto de puntos uniformemente espaciados, el conjunto de ondas necesario para dar cuenta de todos los movimientos posibles es finito. De hecho, es lo mismo que el número de puntos. Como hemos comentado anteriormente, una onda con un número de onda más alto da un conjunto idéntico de desplazamientos de los átomos que algunos inferiores. Entonces, un análisis completo de Fourier de los desplazamientos en estos puntos de\(N\) igual espacio solo necesita combinaciones lineales de\(N\) ondas. Esta es la Transformada Discreta de Fourier (DFT).

Escribir el coeficiente complejo (amplitud y fase) del propio estado de\(n^{\text {th }}\) frecuencia\(X_{n}\), la posición del\(j^{t h}\) átomo en una superposición de tales ondas (con la convención de normalización estándar)

\[x_{j}=\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} X_{n} e^{i k_{n} j a}=\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} X_{n} e^{i 2 \pi n j / N}\]

Dadas las posiciones\(x_{j}\) de los átomos, los coeficientes de amplitud se pueden encontrar usando el mapeo inverso:

\[ X_{n}=\sum_{j=0}^{N-1} x_{j} e^{-i 2 \pi j n / N}=\sum_{j=0}^{N-1} \frac{1}{N} \sum_{n^{\prime}=0}^{N-1} X_{n^{\prime}} e^{i 2 \pi n^{\prime} j / N} e^{-i 2 \pi j n / N}\]

luego usando

\[\sum_{j=1}^{N} e^{-i 2 \pi n j / N} e^{i 2 \pi n^{\prime} j / N}=\sum_{j=1}^{N} e^{i 2 \pi\left(n^{\prime}-n\right) j / N}=N \delta_{n^{\prime} n}\]

da\(X_{n}=X_{n}\), estableciendo que tenemos la forma correcta para la transformación inversa.

La configuración instantánea del sistema está completamente definida por el conjunto\(\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{N}\right)\) e igualmente por el conjunto\(\left(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{N}\right)\). Todos los posibles desplazamientos de partículas en los sitios\(N\) igualmente espaciados pueden mapearse en\(N\) amplitudes de las\(N\) distintas ondas (vectores propios).

(Este mapeo DFT es ampliamente utilizado en el dominio del tiempo en el procesamiento de señales: la amplitud de la señal se muestrea, digamos cada milisegundo, luego los datos pueden ser DFT'd para dar los componentes de onda a una frecuencia mínima alrededor de un milisegundo. Una señal de voz de buena calidad necesitaría un intervalo de tiempo más corto, tal vez 0.2 milisegundos).

Ahora, desde

\[x_{j}=\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} X_{n} e^{i 2 \pi n j / N}\]

\[\sum_{j=1}^{N} x_{j}^{*} x_{j}=\frac{1}{N^{2}} \sum_{j=1}^{N} \sum_{m=0}^{N-1} X_{m}^{*} e^{-i 2 \pi m j / N} \sum_{n=0}^{N-1} X_{n} e^{i 2 \pi n j / N}\]

y otra vez usando

\[\sum_{j=1}^{N} e^{-i 2 \pi m j / N} e^{i 2 \pi n j / N}=\sum_{j=1}^{N} e^{i 2 \pi(n-m) j / N}=N \delta_{m n}\]

encontramos

\[\sum_{j=1}^{N} x_{j}^{*} x_{j}=\frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} X_{n}^{*} X_{n}\]

De vuelta a nuestra cadena: para una configuración física de los átomos, todos los\(x_{j}\) deben ser reales, así desde

\[X_{n}=\sum_{j=0}^{N-1} x_{j} e^{-i 2 \pi j n / N}\]

nosotros

ver eso\(X_{n}^{*}=X_{-n}=X_{N-n}\). (Esto reduce el número de grados aparentes de libertad en la representación X al N. correcto\(X_{0} \text { is real, } X_{1}^{*}=X_{N-1}\), etc., y si hay un medio\(X_{n}\), debe ser real.)

La energía cinética de las partículas de la cadena,

\[\sum_{j=1}^{N}\left|\dot{x}_{j}\right|^{2}=\frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N}\left|\dot{X}_{n}\right|^{2}\]

Podemos encontrar energía potencial de manera similar:

\[\sum_{j=1}^{N}\left(x_{j+1}-x_{j}\right)=\sum_{j=1}^{N} \sum_{n=0}^{N-1} X_{n} e^{i 2 \pi n j / N}\left(e^{2 \pi i n / N}-1\right)\]

y utilizando la misma rutina que antes,

\[\sum_{j=1}^{N}\left(x_{j+1}-x_{j}\right)^{2}=\sum_{n=0}^{N-1}\left|X_{n}\right|^{2}\left|e^{2 \pi i n / N}-1\right|^{2}=\sum_{n=0}^{N-1}\left|X_{n}\right|^{2}\left|e^{i k_{n} a}-1\right|^{2}\]

Por último,

\[\left|e^{i k_{n} a}-1\right|^{2}=4 \sin ^{2}\left(\frac{k_{n} a}{2}\right)\]

Armando todo esto, el lagrangiano se puede escribir en términos de las variables transformadas:

\[L=\frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N}\left[\frac{1}{2} m\left|\dot{X}_{n}\right|^{2}-2 \kappa \sin ^{2}\left(\frac{k_{n} a}{2}\right)\left|X_{n}\right|^{2}\right]\]

La ecuación del movimiento es entonces

\[m \ddot{X}_{n}=-4 \kappa \sin ^{2}\left(\frac{k_{n} a}{2}\right) X_{n}\]

con valores propios

\[\Omega_{n}=\sqrt{\frac{\kappa}{m}} \cdot 2 \sin \left(\frac{k_{n} a}{2}\right)=\sqrt{\frac{\kappa}{m}} \cdot 2 \sin \left(\frac{n \pi}{N}\right)\]

Este es por supuesto el mismo resultado que encontramos anteriormente, pero quizás valga la pena ver cómo proviene del análisis DFT (matemáticamente equivalente).