22.3: Resonancia en un oscilador lineal accionado por amortiguado- Una breve reseña
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Esto es sólo para recordarles lo que cubrimos en la conferencia 18, antes de agregar términos anarmónicos en la siguiente sección.
El oscilador accionado lineal amortiguado tiene una ecuación de movimiento:
\[\ddot{x}+2 \lambda \dot{x}+\omega_{0}^{2} x=(f / m) e^{i \gamma t}\]
(Siguiendo la notación de Landau aquí nota que significa que la fuerza de arrastre de fricción real es\(2 \lambda m \dot{x}\))
Buscando cerca de resonancia para soluciones de estado estacionario a la frecuencia de conducción, con amplitud\(b\), retraso\(\delta\) de fase, es decir\(x(t)=b e^{i(\gamma t+\delta)}\),, encontramos
\[b e^{i \delta}\left(-\gamma^{2}+2 i \lambda \gamma+\omega_{0}^{2}\right)=(f / m)\]
Para una frecuencia de conducción casi resonante
\[\gamma=\omega_{0}+\varepsilon\]
y suponiendo que la amortiguación sea lo suficientemente pequeña como para que podamos dejar caer el término junto con, los términos de orden principal dan
\[b e^{i \delta}=-f / 2 m(\varepsilon-i \lambda) \omega_{0}\]
por lo que la respuesta, la dependencia de la amplitud de\(b\) la frecuencia de conducción\(\Omega=\omega_{0}+\varepsilon\) es a esta precisión
\[b=\frac{f}{2 m \omega_{0} \sqrt{\left(\gamma-\omega_{0}\right)^{2}+\lambda^{2}}}=\frac{f}{2 m \omega_{0} \sqrt{\varepsilon^{2}+\lambda^{2}}}\]
(Tenga en cuenta también que la frecuencia resonante es bajada por la amortiguación, otro efecto de segundo orden que ignoraremos).
La tasa de absorción de energía es igual a la pérdida por fricción. La fuerza de fricción\(2 \lambda m \dot{x}\) sobre la masa\(\dot{x}\) que se mueve está trabajando a una tasa promedio:
\[2 \lambda m \overline{x^{2}}=\lambda m b^{2} \gamma^{2}\]
El ancho medio de la curva de resonancia en función de\(\gamma\) viene dado por la amortiguación. El área total bajo la curva es independiente de la amortiguación.
Para uso futuro, escribiremos la ecuación anterior para la amplitud\(b\) en términos de desviación\(\varepsilon\) de la frecuencia resonante\(\omega_{0}\).
\[b^{2}\left(\varepsilon^{2}+\lambda^{2}\right)=\frac{f^{2}}{4 m^{2} \omega_{0}^{2}}, \quad \varepsilon=\gamma-\omega_{0}\]