22.4: Oscilador no lineal conducido amortiguado- Discusión Cualitativa
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Ahora agregamos al oscilador lineal accionado amortiguado un término potencial cuártico positivo, dando ecuación de movimiento
\[\ddot{x}+2 \lambda \dot{x}+\omega_{0}^{2} x=(f / m) \cos \gamma t-\beta x^{3}\]
Como se mencionó anteriormente, para una partícula que oscila en este potencial\(\frac{1}{2} \omega_{0}^{2} x^{2}+\frac{1}{4} \beta x^{4}\) la frecuencia aumenta con la amplitud: los columpios más grandes encuentran un potencial cada vez más fuerte que el simple oscilador armónico.
Entonces, si impulsamos el oscilador del reposo a la frecuencia que resuena con sus pequeñas oscilaciones de amplitud (donde el término\(\frac{1}{4} \beta x^{4}\) potencial tiene un efecto despreciable), a medida que la amplitud se acumula, la frecuencia del oscilador aumenta, y la fuerza impulsora cae fuera de sincronía.
La manera de mantener la amplitud en aumento es evidentemente aumentar gradualmente la frecuencia de la fuerza impulsora para que coincida con la frecuencia natural a la amplitud aumentada. (Nota al margen: este es el principio del sincrociclotrón excepto, en ese caso la frecuencia se baja a medida que aumenta la energía, porque las partículas van a órbitas cada vez más grandes a medida que sus mases aumentan relativisticamente.) De esta manera, una pequeña fuerza impulsora externa (suficiente para superar la amortiguación por fricción) puede mantener una oscilación de gran amplitud a una frecuencia muy por encima de la frecuencia\(\omega_{0}\) de pequeñas oscilaciones.
Pero, ¿y si aplicamos esta alta frecuencia a un sistema inicialmente en reposo, en lugar de aumentar gradualmente en sincronía con las oscilaciones? Entonces, para una pequeña fuerza motriz, podemos tratar el sistema como un oscilador armónico simple amortiguado, y esta fuerza fuera de resonancia impulsará oscilaciones de amplitud relativamente pequeñas.
La línea de fondo es que para la misma fuerza impulsora externa, con frecuencia en algún rango arriba\(\omega_{0}\), puede haber dos posibles amplitudes de oscilación en estado estacionario, dependiendo de la historia del sistema.