24.3: Rotación de un Cuerpo alrededor de un Eje Fijo
- Page ID
- 130590
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
Como preliminar, veamos un cuerpo firmemente unido a una varilla fijada en el espacio, y que gira con\(\Omega\) radianes de velocidad angular/seg. alrededor de ese eje. Recordarás de la física de primer año que el momento angular y la energía rotacional están\(L_{z}=I \Omega, \quad E_{\mathrm{rot}}=\frac{1}{2} I \Omega^{2}\) donde
\ begin {ecuación}
I=\ suma_ {i} m_ {i} r_ {\ perp i} ^ {2} =\ int d x d y d z\ rho (x, y, z) r_ {\ perp} ^ {2}
\ fin {ecuación}
\(\text { (here } r_{\perp}=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \text { is the distance from the axis). }\)
Pero también sabes que tanto la velocidad angular como el momento angular son vectores. Obviamente, para este ejemplo, la velocidad angular es un vector apuntando a lo largo del eje de rotación,\(\vec{\Omega}=\left(0,0, \Omega_{z}\right)\). Uno podría tener la tentación de concluir que el momento angular también apunta a lo largo del eje, pero no siempre es así. Un ejemplo instructivo lo proporcionan dos masas m en los extremos de una varilla de longitud\(2\alpha\) sostenida en un ángulo fijo\(\theta\) con respecto al eje z, que es el eje de rotación.
Evidentemente,
\ begin {ecuación}
L_ {z} =2 m a^ {2}\ sin ^ {2}\ theta\ cdot\ Omega
\ fin {ecuación}
Pero fíjense que, asumiendo que la varilla está momentáneamente en el plano xz, como se muestra, entonces
\ (\ comenzar {ecuación}
L_ {x} =-2 m a^ {2}\ cos ^ {2}\ theta\ cdot\ Omega
\ final {ecuación}\)
¡El momento angular total no es paralelo a la velocidad angular total!
De hecho, como debería ser evidente, el momento angular total está girando alrededor del vector de velocidad angular constante, por lo que el eje debe estar proporcionando un par. Es por esto que las ruedas desequilibradas del automóvil estresan el eje.