25.2: Análisis del Movimiento Rodante

Energía cinética de un cono rodando en un plano

El cono rueda sin deslizarse en el plano XY horizontal. La línea momentánea de contacto con el plano es OA, en un ángulo θ en el plano horizontal desde el eje X.

El punto importante es que esta línea de contacto, considerada como parte del cono rodante, se encuentra momentáneamente en reposo cuando está en contacto con el plano. Esto significa que, en ese momento, el cono está girando alrededor de la línea estacionaria OA. Por tanto, el vector de velocidad angular\(\vec{\Omega}\) apunta a lo largo de OA

Tomando el cono para tener ángulo semi-vertical\(\alpha\) (es decir, este es el ángulo entre OA y el eje central del cono) el centro de masa, que es una distancia a del vértice, y en la línea central, se mueve a lo largo de un círculo a la altura\(a \sin \alpha\) por encima del plano, estando este círculo centrado en el eje Z, y teniendo radio\(a \cos \alpha\). El centro de masa se mueve a velocidad\(V=\dot{\theta} a \cos \alpha\), por lo que aporta energía cinética traslacional

\[\dfrac{1}{2} M V^{2}=\dfrac{1}{2} M \dot{\theta}^{2} a^{2} \cos ^{2} \alpha\]

Ahora visualice el cono rodante girando alrededor de la línea momentáneamente fija OA: el centro de masa, en altura\(a \sin \alpha\), se mueve en V, por lo que la velocidad angular

\[\Omega=\dfrac{V}{a \sin \alpha}=\dot{\theta} \cot \alpha.\]

A continuación, primero definimos un nuevo conjunto de ejes con origen O: uno,\(x_{3}\) es la propia línea central del cono, otro,\(x_{2}\) es perpendicular a eso y a OA, esto determina\(x_{1}\) (Para estos dos últimos, ya que están a través del vértice, el momento de inercia es el que se trabajó al final de el apartado anterior, véase más arriba.)

Desde\(\vec{\Omega} \text { is along } O A, \text { its components with respect to these axes }\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \text { are }(\Omega \sin \alpha, 0, \quad \Omega \cos \alpha)\)

Sin embargo, para calcular la energía cinética total, para la contribución rotacional necesitamos usar un conjunto paralelo de ejes a través del centro de masa. Esto solo significa restar del vértice los momentos perpendiculares de inercia encontrados por encima de un factor\(M a^{2}\).

La energía cinética total es

\[\begin{align*} T &=\dfrac{1}{2} M \dot{\theta}^{2} a^{2} \cos ^{2} \alpha+\dfrac{1}{2} I_{1} \dot{\theta}^{2} \cos ^{2} \alpha+\dfrac{1}{2} I_{3} \dot{\theta}^{2} \dfrac{\cos ^{4} \alpha}{\sin ^{2} \alpha} \\[4pt] &=3 M h^{2} \dot{\theta}^{2}\left(1+5 \cos ^{2} \alpha\right) / 40 \end{align*}\]

usando

\[I_{1}=\dfrac{3}{20} M R^{2}+\dfrac{3}{80} M h^{2}, \quad I_{3}=\dfrac{3}{10} M R^{2}, \quad a=\dfrac{3}{4} h, \quad R=h \tan \alpha\]