1.5: Métodos variacionales en física

Pierre de Fermat (1601-1665) revivió el principio de menor tiempo, que establece que la luz viaja entre dos puntos dados a lo largo del camino de menor tiempo y se utilizó para derivar la ley de Snell en 1657. Esta enunciación de principios variacionales en la física jugó un papel clave en el desarrollo histórico del principio variacional de menor acción que subyace a las formulaciones analíticas de la mecánica clásica.

Gottfried Leibniz (1646-1716) hizo contribuciones significativas al desarrollo de principios variacionales en la mecánica clásica. En contraste con las leyes del movimiento de Newton, que se basan en el concepto de impulso, Leibniz ideó una nueva teoría de la dinámica basada en la energía cinética y potencial que anticipa el enfoque variacional analítico de Lagrange y Hamilton. Leibniz abogó por una cantidad llamada “vis viva”, que es latina para fuerza viva, que equivale al doble de la energía cinética. Leibniz argumentó que el cambio en la energía cinética es igual al trabajo realizado. En 1687 Leibniz propuso que el camino óptimo se basa en minimizar la integral de tiempo del vis viva, lo que equivale a la integral de acción. Leibniz utilizó argumentos filosóficos y causales en su obra que fueron aceptables durante la Era de la Ilustración. Desafortunadamente para Leibniz, su enfoque analítico basado en energías, que son escalares, parecía contradictorio con el tratamiento vectorial intuitivo de Newton de la fuerza y el impulso. Hubo considerables prejuicios y oposición filosófica al enfoque variacional que asume que la naturaleza es ahorrativa en todas sus acciones. El enfoque variacional se consideró especulativo y “metafísico” en contraste con los argumentos causales que sustentan la mecánica newtoniana. Esta oposición retrasó la apreciación plena del enfoque variacional hasta el inicio del\(^{th}\) siglo XX.

Johann Bernoulli (1667-1748) fue un matemático suizo que era estudiante del cálculo de Leibniz, y se puso del lado de Leibniz en la disputa de Newton-Leibniz sobre el crédito por desarrollar cálculo. También Bernoulli se puso del lado de la teoría vórtice de la gravitación de Descartes que retrasó la aceptación de la teoría de la gravitación de Newton en Europa. Bernoulli fue pionero en el desarrollo del cálculo de las variaciones al resolver los problemas de la catenaria, la brachistocrona y el principio de Fermat. El hijo de Johann Bernoulli, Daniel, jugó un papel importante en el desarrollo del conocido Principio de Bernoulli en la hidrodinámica.

Pierre Louis Maupertuis (1698-1759) fue alumno de Johann Bernoulli y concibió la hipótesis universal de que en la naturaleza hay una cierta cantidad llamada acción que se minimiza. Si bien esta audaz suposición anticipa correctamente el desarrollo del enfoque variacional de la mecánica clásica, obtuvo su hipótesis por un método completamente incorrecto. Era un diletante cuya destreza matemática estaba detrás de los altos estándares de esa época, y no pudo establecer satisfactoriamente la cantidad a minimizar. Su argumento teleológico ¹ estuvo influenciado por el principio de Fermat y la teoría corpúscula de la luz que implicaba una estrecha conexión entre óptica y mecánica.

Leonhard Euler (1707-1783) fue el matemático suizo preeminente\(^{th}\) del siglo 18 y fue alumno de Johann Bernoulli. Euler desarrolló, con pleno rigor matemático, el cálculo de variaciones siguiendo los pasos de Johann Bernoulli. Euler utilizó el cálculo variacional para resolver problemas isoperimétricos mínimo/máximos que habían atraído y desafiado a los primeros desarrolladores del cálculo, Newton, Leibniz y Bernoulli. Euler también fue el primero en resolver el problema de rotación de cuerpo rígido utilizando los tres componentes de la velocidad angular como variables cinemáticas. Euler quedó ciego en ambos ojos hacia 1766 pero eso no obstaculizó su prolífica producción en matemáticas debido a su notable memoria y capacidades mentales. Las contribuciones de Euler a las matemáticas son notables en calidad y cantidad; por ejemplo, durante 1775 publicó un artículo matemático por semana a pesar de ser ciego. Euler implicó implícitamente el principio de menor acción usando vis visa que no es la forma exacta desarrollada explícitamente por Lagrange.

Jean le Rond d'Alembert (1717-1785) fue un matemático y físico francés que tuvo la inteligente idea de extender el uso del principio del trabajo virtual de la estática a la dinámica. El Principio de D'Alembert reescribe el principio del trabajo virtual en la forma

\[\sum_{i=1}^{N}(\mathbf{F}_i-\mathbf{\dot{p}}_i) \delta \mathbf{r}_i = 0\nonumber\]

donde\({\bf \dot{p}}\) se resta la fuerza de reacción inercial de la fuerza correspondiente\({\bf F}\). Esta extensión del principio del trabajo virtual se aplica por igual tanto a la estática como a la dinámica que conduce a un solo principio variacional.

Joseph Louis Lagrange (1736-1813) fue un matemático italiano y estudiante de Leonhard Euler. En 1788 Lagrange publicó su monumental tratado sobre mecánica analítica titulado Mécanique Analytique, que introduce su técnica analítica de mecánica lagrangiana basada en el Principio de Trabajo Virtual de d'Alembert. La mecánica lagrangiana es una técnica notablemente poderosa que equivale a minimizar la integral de acción\(S\) definida como

\[S = \int^{t_2}_{t_1} L dt \nonumber\]

El lagrangiano\(L\) frecuentemente se define como la diferencia entre la energía cinética\(T\) y la energía potencial\(V\). Su teoría solo requirió la forma analítica de estas cantidades escalares. En el prefacio de su libro se refiere modestamente a sus extraordinarios logros con la afirmación “El lector no encontrará cifras en la obra. Los métodos que expongo no requieren ni construcciones ni razonamientos geométricos o mecánicos: sino únicamente operaciones algebraicas, sujetas a una regla de procedimiento regular y uniforme.” Lagrange también introdujo el concepto de multiplicadores indeterminados para manejar condiciones auxiliares que desempeñan una parte vital de la mecánica teórica. William Hamilton, figura destacada en la formulación analítica de la mecánica clásica, llamó a Lagrange el “Shakespeare de las matemáticas”, por la extraordinaria belleza, elegancia y profundidad de los métodos lagrangianos. Lagrange también fue pionero en numerosas contribuciones significativas a las matemáticas. Por ejemplo, Euler, Lagrange y d'Alembert desarrollaron gran parte de las matemáticas de las ecuaciones diferenciales parciales. Lagrange sobrevivió a la Revolución Francesa y, a pesar de ser extranjero, Napoleón nombró a Lagrange a la Legión de Honor y lo convirtió en Conde del Imperio en 1808. Lagrange fue honrado por ser enterrado en el Panteón.

Carl Friedrich Gauss (1777-1855) fue un niño prodigio alemán que hizo muchas contribuciones significativas a las matemáticas, la astronomía y la física. No trabajó directamente en el enfoque variacional, pero la ley de Gauss, el teorema de la divergencia y la distribución estadística gaussiana son ejemplos importantes de conceptos que desarrolló y que ocupan un lugar destacado en la mecánica clásica así como en otras ramas de la física y las matemáticas.

Simeón Poisson (1781-1840), fue un matemático brillante que fue estudiante de Lagrange. Desarrolló la distribución estadística de Poisson así como la ecuación de Poisson que ocupa un lugar destacado en las teorías electromagnéticas y de otros campos. Su mayor contribución a la mecánica clásica es el desarrollo, en 1809, del formalismo de soporte de Poisson que ocupó un lugar destacado en el desarrollo de la mecánica hamiltoniana y la mecánica cuántica.

El cenit en el desarrollo del enfoque variacional de la mecánica clásica ocurrió durante el\(^{th}\) siglo XIX principalmente debido a la obra de Hamilton y Jacobi.

William Hamilton (1805-1865) fue un brillante físico, astrónomo y matemático irlandés que fue nombrado profesor de astronomía en Dublín cuando apenas tenía 22 años. Desarrolló el formalismo mecánico hamiltoniano de la mecánica clásica que ahora juega un papel fundamental en la mecánica clásica y cuántica moderna. Abrió un mundo completamente nuevo más allá de los desarrollos de Lagrange. Mientras que las ecuaciones de movimiento de Lagrange son complicadas ecuaciones diferenciales de segundo orden, Hamilton logró transformarlas en un conjunto de ecuaciones diferenciales de primer orden con el doble de variables que consideran momenta y sus posiciones conjugadas como variables independientes. Las ecuaciones diferenciales de Hamilton son lineales, tienen derivadas separadas y representan la forma más simple y deseable posible para que las ecuaciones diferenciales sean utilizadas en un enfoque variacional. De ahí el nombre de “variables canónicas” dado por Jacobi. Hamilton aprovechó el principio d'Alembert para dar la primera formulación exacta del principio de menor acción que subyace a los principios variacionales utilizados en la mecánica analítica. La forma derivada de Euler y Lagrange empleó el principio de una manera que solo se aplica para casos conservadores (escleronómicos). Un descubrimiento significativo de Hamilton es su comprensión de que la mecánica clásica y la óptica geométrica pueden manejarse desde un punto de vista unificado. En ambos casos utiliza una función “característica” que tiene la propiedad de que, por mera diferenciación, la trayectoria del cuerpo, o rayo de luz, puede ser determinada por las mismas ecuaciones diferenciales parciales. Esta solución es equivalente a la solución de las ecuaciones de movimiento.

Carl Gustave Jacob Jacobi (1804-1851), matemático prusiano y contemporáneo de Hamilton, realizó desarrollos significativos en la mecánica hamiltoniana. De inmediato reconoció la extraordinaria importancia de la formulación hamiltoniana de la mecánica. Jacobi desarrolló la teoría de la transformación canónica y demostró que la función, utilizada por Hamilton, es solo un caso especial de funciones que generan transformaciones canónicas adecuadas. Demostró que cualquier solución completa de la ecuación diferencial parcial, sin las condiciones de límite específicas aplicadas por Hamilton, es suficiente para la integración completa de las ecuaciones de movimiento. Esto extiende en gran medida la utilidad de las ecuaciones diferenciales parciales de Hamilton. En 1843 Jacobi desarrolló tanto los soportes de Poisson como el Hamilton-Jacobi, formulaciones de la mecánica hamiltoniana. Esta última da una única ecuación diferencial parcial de primer orden para la función de acción en términos de las coordenadas\(n\) generalizadas, lo que simplifica enormemente la solución de las ecuaciones de movimiento. También derivó un principio de menor acción para casos independientes del tiempo que habían sido estudiados por Euler y Lagrange. Jacobi desarrolló una aproximación superior a la integral variacional que, al eliminar el tiempo de la integral, determinó el camino sin decir nada sobre cómo ocurre el movimiento en el tiempo.

James Clerk Maxwell (1831-1879) fue un físico y matemático teórico escocés. Su logro más destacado fue formular una teoría electromagnética clásica que uniera observaciones previamente no relacionadas, más ecuaciones de electricidad, magnetismo y óptica, en una teoría consistente. Las ecuaciones de Maxwell demostraron que la electricidad, el magnetismo y la luz son todas manifestaciones del mismo fenómeno, es decir, el campo electromagnético. En consecuencia, todas las demás leyes clásicas y ecuaciones del electromagnetismo fueron casos simplificados de las ecuaciones de Maxwell. Los logros de Maxwell en cuanto al electromagnetismo han sido llamados la “segunda gran unificación en física”. Maxwell demostró que los campos eléctricos y magnéticos viajan a través del espacio en forma de ondas, y a una velocidad constante de la luz. En 1864 Maxwell escribió “Una teoría dinámica del campo electromagnético” que proponía que la luz era de hecho ondulaciones en el mismo medio que es la causa de los fenómenos eléctricos y magnéticos. Su trabajo en la producción de un modelo unificado de electromagnetismo es uno de los mayores avances en la física. Maxwell, en colaboración con Ludwig Boltzmann (1844-1906), también ayudó a desarrollar la distribución Maxwell—Boltzmann, que es un medio estadístico para describir aspectos de la teoría cinética de los gases. Estos dos descubrimientos ayudaron a marcar el comienzo de la era de la física moderna, sentando las bases para campos como la relatividad especial y la mecánica cuántica. Boltzmann fundó el campo de la mecánica estadística y fue un firme defensor temprano de la existencia de átomos y moléculas.

Henri Poincaré (1854-1912) fue un físico teórico y matemático francés. Fue el primero en presentar las transformaciones de Lorentz en su forma simétrica moderna y descubrió las transformaciones relativistas restantes de velocidad. Aunque existe similitud con la Teoría Especial de la Relatividad de Einstein, Poincaré y Lorentz todavía creían en el concepto del éter y no comprendieron completamente el cambio filosófico revolucionario que implicaba Einstein. Poincaré trabajó en la solución del problema de los tres cuerpos en el movimiento planetario y fue el primero en descubrir un sistema determinista caótico que sentó las bases de la teoría moderna del caos. Rechazó la visión determinista de larga data de que si la posición y las velocidades de todas las partículas se conocen a la vez, entonces es posible predecir el futuro para todos los tiempos.

Las dos últimas décadas del\(^{th}\) siglo XIX vieron la culminación de la física clásica y varios descubrimientos importantes que llevaron a una revolución en la ciencia que derrocó a la física clásica de su trono. El final del\(^{th}\) siglo XIX fue una época en la que se produjeron tremendos avances tecnológicos; se desarrollaron el vuelo, el automóvil y los barcos propulsados por turbinas, las Cataratas del Niágara se aprovecharon para obtener energía, etc. Durante este período, Heinrich Hertz (1857-1894) produjo ondas electromagnéticas confirmando su derivación usando ecuaciones de Maxwell. Simultáneamente descubrió el efecto fotoeléctrico que era evidencia crucial en apoyo de la física cuántica. Los desarrollos técnicos, como la fotografía, la bobina de inducción y la bomba de vacío jugaron un papel importante en los descubrimientos científicos realizados durante la década de 1890. A finales del\(^{th}\) siglo XIX, los científicos pensaban que se entendieron las leyes básicas y les preocupaba que la física futura estuviera en el quinto decimal; a algunos científicos les preocupaba que poco les quedara por descubrir. No obstante, quedaron algunas discrepancias, presuntas menores, inexplicables, más nuevos descubrimientos que llevaron a la revolución en la ciencia que se produjo a principios del\(^{th}\) siglo XX.

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¹ La teleología es cualquier relato filosófico que sostiene que las causas finales existen en la naturaleza, análogas a los propósitos que se encuentran en las acciones humanas, la naturaleza tiende inherentemente hacia fines definidos.