1.6: La revolución física del siglo XX

Los dos mayores logros de la física moderna ocurrieron a principios del siglo XX. El primero fue el desarrollo de Einstein de la Teoría de la Relatividad; la Teoría Especial de la Relatividad en 1905 y la Teoría General de la Relatividad en 1915. Esto fue seguido en 1925 por el desarrollo de la mecánica cuántica.

Albert Einstein (1879-1955) desarrolló la Teoría Especial de la Relatividad en 1905 y la Teoría General de la Relatividad en 1915; ambas teorías revolucionarias tuvieron un profundo impacto en la mecánica clásica y la filosofía subyacente de la física. Se demostró que la formulación newtoniana de la mecánica es una aproximación que sólo se aplica a bajas velocidades mientras que la Teoría General de la Relatividad reemplazó a la Ley de Gravitación de Newton y explicó el Principio de Equivalencia. Los conceptos newtonianos de un marco de referencia absoluto, más el supuesto de la separación del tiempo y el espacio se mostraron inválidos a velocidades relativistas. El postulado de Einstein de que las leyes de la física son las mismas en todos los marcos inerciales requiere un cambio revolucionario en la filosofía del tiempo, el espacio y los marcos de referencia, lo que lleva a una ruptura en el formalismo newtoniano de la mecánica clásica. Por el contrario, los formalismos variacionales lagrange y hamiltonianos de la mecánica, más el principio de menor acción, permanecen intactos utilizando un lagrangiano relativisticamente invariante. La independencia del enfoque variacional de los marcos de referencia es precisamente el formalismo necesario para la mecánica relativista. La invarianza para coordinar los marcos de las ecuaciones básicas de campo también debe permanecer invariante para la Teoría General de la Relatividad. Así, el desarrollo de la Teoría de la Relatividad demostró inequívocamente la superioridad de la formulación variacional de la mecánica clásica sobre la formulación vectorial newtoniana, y así el considerable esfuerzo realizado por Euler, Lagrange, Hamilton, Jacobi y otros en el desarrollo de la analítica el formalismo variacional de la mecánica clásica finalmente llegó a buen término a principios del siglo XX. Los dos logros coronadores de Newton, las Leyes del Movimiento y las Leyes de la Gravitación, que habían reinado supremo desde que se publicaron en los Principia en 1687, fueron derribados del trono por Einstein.

Emmy Noether (1882-1935) ha sido descrita como “la mejor matemática de la historia”. En 1915 propuso un teorema de que una ley de conservación está asociada a cualquier simetría diferenciable de un sistema físico. El teorema de Noether evoluciona naturalmente a partir de la mecánica lagrangiana y hamiltoniana y lo aplicó al mundo cuatridimensional de la relatividad general. El teorema de Noether ha tenido un impacto importante en guiar el desarrollo de la física moderna.

Otros desarrollos profundos que tuvieron impactos revolucionarios en la mecánica clásica fueron la física cuántica y la teoría cuántica de campos. El modelo de estructura atómica de 1913 de Niels Bohr (1885-1962) y las posteriores mejoras de Arnold Sommerfeld (1868-1951), se basaron completamente en la mecánica clásica hamiltoniana. La propuesta de dualidad onda-partícula de Louis de Broglie (1892-1987), realizada en su tesis de 1924, fue el catalizador que condujo al desarrollo de la mecánica cuántica. En 1925 Werner Heisenberg (1901-1976) y Max Born (1882-1970) desarrollaron una representación matricial de la mecánica cuántica utilizando variables conjugadas de posición y momento no conmutables.

Paul Dirac (1902-1984) demostró en su tesis doctoral que la representación matricial de Heisenberg se basa en la generalización del Bracket de Poisson de la mecánica hamiltoniana, que, en contraste con las ecuaciones canónicas de Hamilton, permite variables conjugadas que no se desplazan. En 1926 Erwin Schrödinger (1887-1961) introdujo de forma independiente el punto de vista operativo y reinterpretó la ecuación diferencial parcial de Hamilton-Jacobi como una ecuación de onda. Su punto de partida fue la analogía óptico-mecánica de Hamilton que es una característica incorporada de la teoría Hamilton-Jacobi. Schrödinger demostró entonces que la mecánica de olas que desarrolló, y la mecánica de matriz de Heisenberg, son representaciones equivalentes de la mecánica cuántica. En 1928 Dirac desarrolló su ecuación relativista del movimiento para el electrón y fue pionero en el campo de la electrodinámica cuántica. Dirac también introdujo el Lagrangiano y el principio de menor acción a la mecánica cuántica y estas ideas se desarrollaron en la formulación integral de la mecánica cuántica y la teoría de la electrodinámica de Richard Feynman (1918-1988).

Los conceptos de dualidad onda-partícula, y cuantificación de observables, ambos están más allá de las nociones clásicas de subdivisiones infinitas en la física clásica. A pesar de la desviación radical de la mecánica cuántica de los conceptos clásicos anteriores, la característica básica de las ecuaciones diferenciales de la física cuántica es su carácter autoadjoint, lo que significa que son derivables de un principio variacional. Así, tanto la Teoría de la Relatividad como la física cuántica son consistentes con el principio variacional de la mecánica, e inconsistentes con la mecánica newtoniana. Como consecuencia, la mecánica newtoniana ha sido desalojada del trono que ocupó desde 1687, y se han validado los principios variacionales intelectualmente hermosos y poderosos de la mecánica analítica.

La observación de las ondas gravitacionales en 2015 es una notable confirmación reciente de la Teoría General de la Relatividad de Einstein y la validez de los principios variacionales subyacentes en la física. Otro avance en la física es la comprensión de la evolución del caos en sistemas no lineales que se han hecho durante las últimas cuatro décadas. Este avance se debe a la disponibilidad de computadoras que ha reabierto esta interesante rama de la mecánica clásica, que fue pionera por Henri Poincaré hace aproximadamente un siglo. Si bien la mecánica clásica es la rama más antigua y madura de la física, aún quedan nuevas oportunidades de investigación en este campo de la física.

El objetivo de este libro es introducir los principios generales del enfoque del principio matemático variacional, y sus aplicaciones a la mecánica clásica. Se demostrará que los principios variacionales, que se desarrollaron en la mecánica clásica, ahora juegan un papel crucial en la física y las matemáticas modernas, además de muchos otros campos de la ciencia y la tecnología.

Referencias

Excelentes fuentes de información sobre la historia de los principales actores en el campo de la mecánica clásica se pueden encontrar en Wikipedia, y en el libro “Principio variacional de la mecánica” de Lanczos. [La49]