4.1: Introducción a los sistemas no lineales y al caos

En la naturaleza solo un subconjunto de sistemas tiene ecuaciones de movimiento que son lineales. Contrariamente a la impresión que dan las soluciones analíticas presentadas en los cursos de licenciatura en física, la mayoría de los sistemas dinámicos en la naturaleza exhiben un comportamiento no lineal que conduce a un movimiento complicado. Las soluciones de ecuaciones no lineales generalmente no tienen soluciones analíticas, la superposición no se aplica y predicen fenómenos como atractores, bifurcación de período discontinuo, sensibilidad extrema a las condiciones iniciales, movimiento rodante y caos. Durante las últimas cuatro décadas, se han hecho descubrimientos emocionantes en la mecánica clásica que están asociados con el reconocimiento de que los sistemas no lineales pueden exhibir caos. Se han observado fenómenos caóticos en la mayoría de los campos de la ciencia y la ingeniería como, patrones climáticos, flujo de fluidos, movimiento de planetas en el sistema solar, epidemias, poblaciones cambiantes de animales, aves e insectos, y el movimiento de electrones en átomos. El complicado comportamiento dinámico predicho por las ecuaciones diferenciales no lineales no se limita a la mecánica clásica, sino que es una manifestación de las propiedades matemáticas de las soluciones de las ecuaciones diferenciales involucradas, y por lo tanto es generalmente aplicable a soluciones de no- ecuaciones diferenciales lineales. Es importante entender que los sistemas discutidos en este capítulo siguen una evolución totalmente determinista predicha por las leyes de la mecánica clásica, cuya evolución se basa en la historia previa. Este comportamiento es completamente diferente de una caminata aleatoria donde cada paso se basa en un proceso aleatorio. El complicado movimiento de los sistemas no lineales deterministas proviene en parte de la sensibilidad a las condiciones iniciales. Hay muchos ejemplos de flujo turbulento y laminar.

Al matemático francés Poincaré se le atribuye ser el primero en reconocer la existencia del caos durante su investigación del problema gravitacional de tres cuerpos en la mecánica celeste. A finales del siglo XIX Poincaré notó que tales sistemas exhiben una alta sensibilidad a las condiciones iniciales características del movimiento caótico, y la existencia de no linealidad que se requiere para producir el caos. La obra de Poincaré recibió poca atención, en parte fue eclipsada por el desarrollo paralelo de la Teoría de la Relatividad y la mecánica cuántica a principios de\(20^{th}\) siglo. Además, es difícil resolver ecuaciones no lineales de movimiento, lo que desalentó el trabajo sobre la mecánica no lineal y el movimiento caótico. El campo floreció durante el\(1960^{\prime }s\) momento en que las computadoras se volvieron lo suficientemente poderosas para resolver las ecuaciones no lineales requeridas para calcular las historias de largo tiempo necesarias para documentar la evolución del comportamiento caótico.

Laplace, y muchos otros científicos, creían en la visión determinista de la naturaleza que supone que si se conocen la posición y las velocidades de todas las partículas, entonces uno puede predecir inequívocamente el movimiento futuro usando la mecánica newtoniana. Investigadores en muchos campos de la ciencia ahora se dan cuenta de que este “universo mecánico” no es válido. Es decir, conocer las leyes de la naturaleza puede ser insuficiente para predecir la evolución de los sistemas no lineales en que la evolución temporal puede ser extremadamente sensible a las condiciones iniciales aunque sigan un desarrollo completamente determinista. Hay dos clasificaciones principales de sistemas no lineales que conducen al caos en la naturaleza. La primera clasificación abarca sistemas hamiltonianos no disipativos como el sistema mecánico celeste de tres cuerpos de Poincaré. La otra clasificación principal involucra sistemas oscilatorios accionados, amortiguados y no lineales.

La no linealidad y el caos es un campo amplio y activo y, por lo tanto, este capítulo se centrará únicamente en algunos ejemplos que ilustran las características generales de los sistemas no lineales. La falta de linealidad débil se utiliza para ilustrar soluciones de bifurcación y atractores asintóticos para las cuales el sistema evoluciona independientemente de las condiciones iniciales. El péndulo plano linealmente amortiguado accionado sinusoidalmente común ilustra varios rasgos característicos de la evolución de un sistema no lineal del orden al caos. Se discute el impacto de la no linealidad en las velocidades de propagación de paquetes de ondas y la existencia de soluciones de solitones. El ejemplo del problema de los tres cuerpos se discute en el capítulo\(11\). La transición del flujo laminar al flujo turbulento se ilustra por la mecánica de fluidos discutida en el capítulo\(16.8\). Las soluciones analíticas de sistemas no lineales generalmente no están disponibles y por lo tanto se debe recurrir a simulaciones por computadora. Como consecuencia, la presente discusión se centra en las principales características de las soluciones para estos sistemas e ignora cómo se resuelven las ecuaciones de movimiento.